1、尸漢第六曲教列LiT 與61等差數列及其前以項和基礎知識自主學習fl知識梳理要點講解深層突破1 .等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差,泗賞用字母d 表示.2 .等差數列的通項公式如果等差數列a的首項為ai,公差為d,那么它的通項公式是 an=ai + ( n 1)d.3 .等差中項,a + b,1如果A= 2，那么A叫做a與b的等差中項.4 .等差數列的常用性質、一一 ,r、 ， r 八、._*(1)通項公式的推廣：an=am+ ( n- m)d( n, me N).(2)右an為等差數列，

2、且 k+l=m n( k, l , m, nC N),則 ak+ a = am+ an.(3)若an是等差數列，公差為 d,則a2n也是等差數列，公差為 2d.(4)若an, bn是等差數列,則pan+qtn也是等差數列. 一 、* 一 . . . * 右an是等差數列，公差為 d,則ak, ak+m, a+2m, (k, me N)是公差為 md的等差數列.5 .等差數列的前n項和公式 、, 一一 n ai+ an ,n n-1設等差數列an的公差為 d,其刖 n項和 Sn=2 或& = na1+2 d.6 .等差數列的前n項和公式與函數的關系Sn=二n + a1 n.222數列&a

3、mp;是等差數列？ S=An + Br(A B為常數).7.等差數列的前n項和的最值在等差數列an中，a>0, d<0,則&存在最 大 值；若ai<0, d>0,則Sn存在最 小 值. 【思考辨析】判斷下面結論是否正確（請在括號中打或“X”）（1）若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列.（X ）（2）數列an為等差數列的充要條件是對任意nCN*,都有2an+i = an+an+2.（V ）（3）等差數列an的單調性是由公差 d決定的.（ V ）（4）數列an為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數. （ X ） 數列an滿

4、足an+ia=n,則數列an是等差數列.（x ）（6）已知數列an的通項公式是 an=pn+q（其中p, q為常數），則數列an一定是等差數 列.（V ）考點自測快速解答自直自糾1. （2015 重慶）在等差數列an中，若a2=4, a4=2,則a6等于（）A. - 1 B.0 C.1 D.6答案 B解析 由等差數列的性質，得 a6=2a4-32 = 2X2- 4=0,選B.2. （2014 福建）等差數列an的前n項和為Sn,若a1 = 2, S=12,則a6等于（）A. 8 B . 10 C . 12 D . 14答案 C3X2 斛析 由題思知a1=2,由$= 3a + 2 x d= 12

5、, 解得 d= 2,所以 a6=a1 + 5d=2 + 5X2= 12,故選 C.3. 在等差數列an中，已知a4+a8=16,則該數列前11項和Si等于（A. 58 B . 88 C . 143 D . 176答案 B解析11ada”S11 =":11a4 + a82= 88.4. 設數列an是等差數列，若 a3+a4+a5=12,則a+a2+ a7等于（）A. 14 B . 21 C . 28 D . 35答案 C 解析a3+a4+a = 3a4= 12,，a4=4, ，ai + a2+ a7= 7a4= 28.5. (2014北京)若等差數列an滿足 a7+a8+a9>0

6、, a7+ai0<0,則當 n =時，an的 前n項和最大.答案 8解析 因為數列an是等差數列，且 a7+a8+a9= 3a8>0,所以a8>0.又a?+aio= a8+a9<0, 所以a9< 0.故當n=8時，其前n項和最大.題型分類深度剖析題型一等差數列基本量的運算例1 (1)在數列an中，若ai = 2,且對任意的ne N*有2an+i=1+2an,則數列an前10項 的和為()A. 2 B . 10(2)已知在等差數列an中，a2=7, a4=15,則前10項和S0等于()A. 100B. 210C. 380D. 400答案(1)C(2)B1斛析 (1)

7、由 2an+1=1 + 2an 倚 an + 1 an =2， 一I、，1,一，所以數列an是首項為一2,公差為5的等差數列，c10X 10-11 5所以 S0=10X(2) +2X2=2.(2)因為 a2= 7, a4 = 15,所以 d=4, ai = 3,1 一一.故 Si0=10X3+ 2X10X9X4= 210.思維升華 (1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項ai和公差d,然后由通項公式或前 n項和公式轉化為方程(組)求解.(2)等差數列的通項公式及前 n項和公式，共涉及五個量 ai, an, d, n, Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現了方程的思想.毒蹤訓練1(1)( 20

8、15 課標全國n )設S是等差數列an的前n項和，若ai + a3+a5=3,則&等于()A. 5 B. 7 C. 9 D. 11r S3 S2-(2)已知等差數列an的刖n項和為S,且滿足 五一5=1,則數列an的公差是()32答案(1)A(2)C解析 (1)an為等差數列，ada5=2a3, ，ai +a? +a5= 3a3= 3,彳導 a3= 1,5 a1 + a5_上小小S5=2= 5a3= 5.故選 A.n a + a(2) . S =2Sna1 + ana1 + a3 a1 + a2 ari得一2 2-= 1，即 a3 a2= 2,數歹U an的公差為2.題型二等差數列的判

9、定與證明31一 *1 一 *例 2 已知數列an中，a1 = -, an= 2-( n>2, n e N),數列bn滿足 bn=;(nCN).5cL- 1an 1(1)求證：數列bn是等差數列；(2)求數列an中的最大項和最小項，并說明理由.1一*(1)證明 因為 an=2 ( n>2, nCN),an-1bn =1an _ *'(nC N),1 2- an1an 1-7 =7 -7 = 1.an 1 an一 1 an 1 1又b1 =a1 15所以數列bn是以一2為首項，1為公差的等差數列.7(2)解由(1)知 bn=n 2貝U an= 1 + = 1 + .bn2n-

10、722設 f(x) = 1 + 27， x I則f(x)在區間(一8, 7)和(2, +8)上為減函數.所以當n=3時，an取得最小值一1,當n=4時，an取得最大值3.引申探究3例2中，右條件變為 a1 = -, nan+1= (n+1)an + n(n+1),探求數列an的通項公式. 5an+1an解由已知可得才=n+1,an+ 1 an3即=7= 1,又 a1 = 7,n+1 n5'an 一 a1 3一. a是以彳=1為首項，1為公差的等差數列,n 1 5an 3.彳=5+ (ni) T= n g,an= n2-孑n. 5思維升華等差數列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整

11、數n都有an+1 an等于同一個常數.(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an+1=an+an+2后，可遞推得出an+2an+1=an+1 an= an an1= an1 an2=a2 a1 ,根據定義得出數列an為等差數列. 通項公式法：得出 an=pn+q后，得an+1 an = p對任意正整數 n恒成立，根據定義判定數列 3n為等差數列.(4)前n項和公式法：得出 S=An2+Bn后，根據S, an的關系，得出an,再使用定義法證明數列&為等差數列.跟蹤訓練2若 an是公差為1的等差數列，則a2n1+2a2口是()A.公差為3的等差數列B.公差為4的等差數列C.公差為6的等

12、差數列D.公差為9的等差數列(2)在數列an中，若ai= 1,a2=12'an+ 111*= £+(nC N),則該數列的通項為()an an+2_23n- ：7n+ 1B.“1A. 3n nC. an2nr2D._33n=一 n答案(1)C(2)A解析(1) - a2n 1+ 2a2n ( a2n3+ 232n2)=(32n- 1 32n3)+ 2( 32n 32n2)= 2 + 2X2= 6, 32n l+2&n是公差為6的等差數列.(2)由已知式高=2+=可得11113n+13n 3n+23n + 1,知1是首項為工=1,公差為工一=21 = 1的等差數列，所以

13、=n,an3132 313n題型三等差數列的性質及應用命題點1等差數列的性質例 3 (1)( 2015 廣東)在等差數列an中，若 a3+a4+as+a6+a7=25,則 a? + a8=(2)已知等差數列an的前n項和為S,且S10= 10, &0=30,則S30=.答案 (1)10(2)60解析 因為an是等差數列，所以a3+a7= a+a6= a2+a8= 2a5, a3+a4+as+a6+a7= 25,即 a5 = 5, a?+a8= 2a5= 10.(2) .S。，S20 S。，40S20成等差數列，且 S0=10, S20= 30, S20- S10=20,S30- 30=

14、 10 + 2X 10= 30,S30= 60.命題點2等差數列前n項和的最值例4 在等差數列an中，已知d = 20,前n項和為3,且S°=S5,求當n取何值時， 得最大值，并求出它的最大值.5 a13= 0,即 a13= 0.5565方法-"由 ani=20+(n 1) x 3 = 3n+ 3 .得 a13= 0.即當 n< 12 時，an>0,當 n>14 時，an<0.當n= 12或13時，Sn取得最大值，且最大值為 S12= $3=12X20+12X115-X - =130.23方法S= 20n+n n-15 2 1256n 6 n525

15、2 3 1256L 萬nCN, .當 n= 12 或 13 時,&有最大值，且最大值為S2= S3= 130.萬法二 由 Sd= S5得 a” + a2 + a3 + a4+ a5=0.，當n= 12或13時，Sn有最大值，且最大值為 Si2= Si3= 130.引申探究例4中，若條件" ai = 20"改為ai = 20,其他條件不變，求當 n取何值時，S取得最小值， 并求出最小值.解 由 So= S15,彳導 aii + ai2+ ai3 + ai4 + ai5= 0,ai3= 0.又 ai = 一 20,ai2<0, ai4>0,當n= 12或13

16、時，Sn取得最小值，/士- 13 a + a13取小值 Si2= S13=2= 130.思維升華(1)等差數列的性質：am an一，、一，項的性質：在等差數列 an中，am an= ( m- n) d? = d( rm5 n),其幾何息義是點(n,m- nan), (m am)所在直線的斜率等于等差數列的公差.和的性質：在等差數列an中，S為其前n項和，則a. Sn= n(ada2n)=二 n(an+an+1)；b. &n 1 =(2 n 1) an.(2)求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法：函數法：利用等差數列前n項和的函數表達式 Sn=an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函 數

17、最值的方法求解.鄰項變號法：am> 0a.當ao0, d<0時，滿足的項數m使彳S 3取得最大值Sm；am+1amW 0b.當a1<0, d>0時，滿足的項數m#彳S Sn取得最小值Sm.am+ 1 接 0愚蹤訓練3(1)等差數列an的前n項和為Sn,已知a5+a=4,a6+a8=2,則當Sn取最大值時，n的值是()A. 5 B.6 C.7 D.8(2)設數列an是公差d<0的等差數列，S為前n項和，若S=5a1+10d,則S取最大值時，n的值為()A. 5B. 6(3)已知等差數列an的首項ai = 20,公差d = 2,則前n項和S的最大值為 .答案 (1)B

18、(2)C(3)110解析 (1)依題意得2a6 = 4,2 a7=2, a6=2>0, a7=1v0；又數列an是等差數列，因此 在該數列中，前6項均為正數，自第7項起以后各項均為負數，于是當&取最大彳1時，n=6,選B.(2)由題意得 & = 6a1+15d = 5胡+10d,所以a6=0,故當n=5或6時，S最大，選C.(3)因為等差數列an的首項a1 = 20,公差d = 2,代入求和公式得， n n-1n n-1&= na1 + 2d= 20n-2x 2= -n2+ 21n- n212+ 21 2,又因為nC N*,所以n=10或n= 11時，&取

19、得最大值，最大值為110.高頻小考點6.等差數列的前n項和及其最值典例 (1)在等差數列an中，2(a1 + a3+a5)+3(a7+a9) =54,則此數列前10項的和S。等于()A. 45B. 60C. 75D. 90(2)在等差數列an中，Sl0= 100, S10d= 10 ,則 S110 =. 等差數列an中，已知a5>0, a4+a7<0,則an的前n項和S的最大值為()A. & B . & C . Ss D . S7思維點撥 (1)求等差數列前n項和，可以通過求解基本量a, d,代入前n項和公式計算，也可以利用等差數列的性質：a+ an= a2+ an

20、-1 =；(2)求等差數列前n項和的最值，可以將 S化為關于n的二次函數，求二次函數的最值，也可以觀察等差數列的符號變化趨勢，找最后的非負項或非正項.解析(1)由題意得a3+a8=9,、，10 a1+a1010 a3+a810x9所以 s°=2=2=-2-=45.(2)方法一 設數列an的公差為d,首項為a1,10ai +=100,1 099 000'100X99100a + 2-d=10,解得11 d =50所以 S10=110a1 +110X 1092d=- 110.方法二 因為S00S0 =an + a100所1 以 an + a100=1 2)化, C a1+a110

21、X110所以 S10 =2an + a1002X 110110.a4+a= a5+a6<0,as>0,因為所以a5>0,a6<0,所以S的最大值為與.答案 (1)A(2) -110 (3)B . . 一一 .一 . 、 , . . . . 一 , 、 *溫馨提醒(1)利用函數思想求等差數列前n項和Sn的最值時，要注意到 nCN；(2)利用等差數列的性質求 S,突出了整體思想，減少了運算量.r思想方法感悟提高.方法與技巧1 .在解有關等差數列的基本量問題時，可通過列關于a1, d的方程組進行求解.2 .證明等差數列要用定義；另外還可以用等差中項法，通項公式法，前n項和公式

22、法判定一 個數列是否為等差數列.3 .等差數列性質靈活使用，可以大大減少運算量.4 .在遇到三個數成等差數列問題時，可設三個數為(1) a, a+d, a+2d； (2) a-d, a, a+d；(3) a-d, a+d, a+3d等，可視具體情況而定.失誤與防范1 .當公差dwo時，等差數列的通項公式是n的一次函數，當公差 d=0時，an為常數.2 .公差不為0的等差數列的前 n項和公式是n的二次函數，且常數項為 0.若某數列的前n 項和公式是常數項不為 0的二次函數，則該數列不是等差數列，它從第二項起成等差數列.練出高分A組專項基礎訓練（時間：35分鐘）1 .設等差數列an的前n項和為S,

23、若$=9, S=36,則a7 + a8+a9等于（）A. 63 B . 45 C . 36 D . 27答案 B解析 由an是等差數列，得 S3, S6-S3, S9S6為等差數列.即 2（SS3） =S3+（SS6）,得到 S4= 2S6-3s= 45）故選 B.2 . （2015北京）設an是等差數列，下列結論中正確的是 （）A.若 ai+a2>0）則 az+a3>0B.若 ai + a3V 0,則 ai + a2V 0C.若 0vaia2,則 a2>jaia3D.若 ai0,則（a2ai）（ a2a）>0答案 C解析 設等差數列an的公差為d,若ai+a2>

24、0, a + a3= ai +d+a2+ d= （ai+ a?） + 2d,由于 d正負不確定，因而 a2+a3符號不確定，故選項 A錯；若ai+a3<0, ai + a2= ai + a3-d=（ ai + a3）-d,由于d正負不確定，因而 ai+a2符號不確定，故選項 B錯；若0<ai<a2,可知ai>0, d>0, a2>0, a3>0,所以 a2aQ= （ai+d）2ai（ ai + 2cI） = d2>0,所以 a2>/aia3,故選項 C正確； 若 ai<0,則（a2 ai） （a a3）= d - （ - d） = -

25、 d2< 0,故選項 D錯.3.設等差數列an的前n項和為S,若 " i = - 2, $=0, S+1=3,則m等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案 C解析 數歹U a為等差數歹U,且前 n項和為3,數列Sn也為等差數列. nSmiSn+i 2sl 口r -23+=一,即+=0, m-1 i m m-11解得m 5,經檢驗為原方程的解，故選 C.4.數列an的首項為3, bn為等差數列，且 bn= an+1 an(n C N),右bs= - 2, bio= 12 ,則 a8等于()A. 0B. 3C. 8D. 11答案 B解析 設bn的公差為d,bio b3= 7d

26、= 12 ( 2) = 14, d= 2.b3= 2,b = b32d= 24 = 一 6.7X6 .b1 + b2 + b7= 7b + -2-d=7X ( 6) +21X2= 0.又 b + b2 + + b7 = (a2 a1)+ (a3 &) + (a8 a7) =a8 a = a8 3=0,a8= 3.故選 B.一一 一55.已知數列an滿足an+1 = an7,且a1 = 5,設an的前n項和為S,則使得 $取得最大值 的序號n的值為()A. 7B. 8C. 7 或 8D. 8 或 9答案 C55解析由題意可知數列&是首項為5,公差為1的等差數列，所以an = 5-

27、(n- 1)=40-5n 一一. 什，該數列前7項是正數項，第8項是0,從第9項開始是負數項，所以S取得最大值時，n=7或8,故選C.6.已知數列an中，白=1且-=!+:(nC N*),則 曰。=.an+1 a 3-1答案 4解析 由已知得1=工+ (10 -1) X 1= 1 + 3=4, a10 a13故 a10=742一7 .已知遞增的等差數列 an滿足a = l, a3=a2-4,則a =.答案 2n-1解析設等差數列的公差為 d,a3=a2-4,，1 + 2d= (1 + d)24,解得 d2= 4,即 d= ± 2.由于該數列為遞增數列，故d=2.an= 1 + (n1

28、)x2=2n1.*8 .設數列an的通項公式為 an=2n-10(n N),貝U | a” + | a2|+ | 2同=.答案 130解析 由an=2n-10(n N)知an是以一8為首項，2為公差的等差數列，又由an=2n-10>O 得 n>5,，nw5 時，anW。，當 n>5 時，an>0,，| a + | a2|+ | a15| = (a +&+& 十 a，)+ (a5 + a6+ a15)=20+ 110= 130.19 .若數列an的前n項和為&,且滿足an+2S1S1 1= 0( n> 2), a =2.一 1(1)求證：Sr

29、成等差數列；(2)求數列an的通項公式.(1)證明 當 n>2 時，由 an+2SSn1=0,，一- 一 11得 SS1=2SnSn1,所以三一丁=2,3n 3n 1又1 = - = 2,故1是首項為2,公差為2的等差數列. S1 a1Si解由可得Sn=2n，&=+n 1 n2n n 112n n 1當n>2時,11_an Sn Si 1 -,一2n 2 n-1，,1 一一 ，八當n = 1時，a1 = 2不適合上式.1,n=1,故an=2n n- 1n>2.10 .等差數列a中，設S為其前n項和，且ao>0, 4=S1,則當n為多少時，S最大解方法一由S3=S

30、i得3ai +=iiai+H22£d,則 d = -2ai.2i3d 2_ dai2 49從而 S=2n+ a1 2 n= 一記(n7) +在,一 .ai，.,一.又ai>0,所以< 0.故當n=7時）Sn取大.13方法二由于&=an2+bn是關于n的二次函數，由 $=Si,可知 $= an2+bn的圖象關于 n3+ii ai，-5= 7對稱.由方法一可知 a= < 0,故當n=7時，Sn取大.2I32方法二 由方法一可知， d=一右ai.13an > 0 , 要使S最大，則有an + i W 0 ,ai + n i即2一 Toai > 0,i3

31、2 ai + n i3ai<0,解得w nw,故當n=7時，S最大.方法四 由&=Si,可得2ai+ 13d=0,即（ai + 6d） + （ai + 7d） =0,故 a7+a8 = 0,又由 ai>0, Sb=Si 可知 d<0,所以既>0, a8<0,所以當n= 7時，S最大.B組專項能力提升（時間:20分鐘）*a811 .設s為等差數列an的前n項和，（n+i）SvnS+i（ne N）.若一v I,則（）A. S的最大值是SC. Sn的最大值是SB. Sn的最小值是4D. Sn的最小值是S7答案 D解析由條件得Sn<nS+in+ iai + an2nn+ iai + an+12 n+ianVan+i,所以等差數列&為遞增數列.又 一vi,所以a8>0, a7<0,即數列an前7項均小于0,第8項大于零，所以&的最小值為S7,故選D. 一一.312.設等差數列an的前n項和為3,若ai = 3, a+1 =目&=12,則正整數k=.答案 13321斛析 Sk+ 1 = Sk + ak+ 1 = 12 + 2= -2,p ck+ 1a1 + ak+