1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流幾種特殊類型行列式及其計算.精品文檔.1 行列式的定義及性質1.1 定義 級行列式等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數和,這里是的一個排列,每一項都按下列規則帶有符號:當是偶排列時,帶正號，當是奇排列時,帶有負號.這一定義可寫成這里 表示對所有級排列求和.1.2 性質 性質1.2.1 行列互換,行列式的值不變. 性質1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符號外. 性質1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以寫成兩項的和,則該行列式可以寫成兩行列式的和;這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應的兩個加數之一,其余各行(列)與

2、原行列式相同. 性質1.2.4 兩行(列)對應元素相同,行列式的值為零. 性質1.2.5 兩行(列)對應元素成比例,行列式的值為零. 性質1.2.6 某行(列)的倍數加到另一行(列)對應的元素上,行列式的值不變. 性質1.2.7 交換兩行(列)的位置,行列式的值變號.2 行列式的分類及其計算方法2.1 箭形（爪形）行列式 這類行列式的特征是除了第行(列)或第行(列)及主(次)對角線上元素外的其他元素均為零，對這類行列式可以直接利用行列式性質將其化為上(下)三角形行列式來計算.即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為零.例1 計算階行列式 解 將第一列減去第二列的倍，第三列的倍第n列的倍，得2.2

3、 兩三角型行列式 這類行列式的特征是對角線上方的元素都是,對角線下方的元素都是的行列式，初看，這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行列式變換而來，對這類行列式，當時可以化為上面列舉的爪形來計算，當時則用拆行(列)法來計算.例2 計算行列式解 當時將第行到第行都減去第行，則化為以上所述的爪形，即用上述特征的方法，則有當時，用拆行(列)法，則化簡得而若一開始將拆為，則得由，得 有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當變換轉化成兩三角型行列式進行計算.例3 計算行列式解 將第一行，第一列，得即化為上情形，計算得而對于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變

4、的基礎上提出公共因子的，則用升階法來簡化.例4 計算行列式解 將行列式升階，得將第行減去第一行的倍，得這就化為了爪形，按上述特征的方法計算可得2.3 兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主(次)對角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個頂點中的某個點外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對兩條線中某一條線元素全為的，自然也直接展開降階計算.例5 計算行列式解 按第一行展開可得例6 計算行列式解 方法1 直接展開可得則方法2 (拉普拉斯定理法) 按第一行和第行展開得其余的同法.2.4 Hessenberg型行列式這類行列式的特征是除主(次)對角線及與其相鄰的斜線，再加上第或第行外，

5、其他元素均為零，這類行列式都用累加消點法，即通常將第一行(列)元素化簡到只有一個非零元素，以便于這一行或列的展開降階計算.例7 計算行列式解 將各列加到第一列得按第一列展開得2.5 三對角型行列式 形如的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其他元素均為零，這是一遞推結構的行列式，所有主子式都有同樣的結構，從而以最后一列展開，將所得的階行列式再展開即得遞推公式. 對這類行列式用遞推法.例8 計算行列式解 按第一列展開有解特征方程得則例9 計算行列式解 按第一行展開得解特征方程得則分別使得則2.6 各行(列)元素和相等的行列式 這類行列式的特征是其所有行(列)對應元素相加后相等，對這類

6、行列式，將其所有行(列)加到第一行(列)或第行(列)，提取公因式后，再把每一行都減去第一行(列)，即可使行列式中出現大量的零元素.例10 計算行列式解 將第行到第行都加到第行，得2.7 相鄰兩行(列)對應元素相差的行列式這類行列式的特征是大部分以數字為元素且相鄰兩行(列)元素相差的行列式，對這類行列式，自第一行(列)開始，前行(列)減去后行(列)，或自第行(列)開始，后行(列)減去前行(列)，即可出現大量元素為或的行列式，再進一步化簡即出現大量的零元素.若相鄰兩行(列)元素相差倍數，則前(后)行(列)減去后(前)行(列)的倍，可使行列式出現大量的零元素.例11 計算行列式解 依次用前行減去后行，可得現將第列加到第列至第列，得例11 計算階行列式解 這是相鄰兩行(列)相差倍數，可