1、Hermite型插值的混淆誤差的估計(jì)李躍武1 蘇艷華2 王建華3(1.呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)系 內(nèi)蒙古 0210082 2.沈陽大學(xué)理學(xué)院 3.呼倫貝爾學(xué)院)摘 要：我們證明了如果且在R上任何有限區(qū)間上Riemann可積，則.其中是通過由其樣本和在中的指數(shù)型整函數(shù)空間中的Hermite型的插值算子,為函數(shù)的階光滑模.關(guān)鍵詞：有限帶函數(shù); 樣本序列; 插值算子; 混淆誤差 1、引言在實(shí)踐過程中，我們經(jīng)常要研究一些連續(xù)信息，然而連續(xù)信息是不能整體記錄的，它是通過離散的信息記錄（解碼）表示的，但單純的離散信息記錄不能準(zhǔn)確表示原始信息全貌，因此我們需要對離散的信息記錄處理（編碼）后將其還原為連續(xù)信息。而樣本

2、定理的作用恰好在離散信息和連續(xù)信息之間架起了一座橋梁，它表明：在一定條件下，抽樣序列完全可以表示一個(gè)連續(xù)信息。設(shè)表示經(jīng)典可測的P次冪Lebesgue可積函數(shù)空間， 賦以通常的范數(shù),.以,表示中在R上階導(dǎo)數(shù)局部絕對連續(xù),并且使得有限的函數(shù)全體。設(shè),表示函數(shù)的k階差分，我們用k階光滑模來刻畫函數(shù)的光滑程度. 定義1 設(shè)g為整函數(shù),如果對任何, 存在常數(shù)使得 作者簡介：李躍武 (1965-)男，畢業(yè)于內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)系, 副教授, 碩士, 從事函數(shù)逼近論研究。則稱g為指數(shù)型的整函數(shù)，記指數(shù)型的整函數(shù)的全體為,將中在R上有界函數(shù)的全體記為.令, .如果一個(gè)R上局部可積函數(shù)的Fourier變換有有限支

3、集，我們則稱是有限帶函數(shù)。 自從Shannon(1948)首次把有限帶函數(shù)引進(jìn)通信工程，經(jīng)典的 Whittaker-Shannon-Kolenikov樣本定理就在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用， 它是插值和樣本理論中的基本定理。該定理表明每個(gè)帶有限信號函數(shù)可由其可列個(gè)等距分布的結(jié)點(diǎn)上的樣本值來恢復(fù), 即如果，則, (1)其中; 1,.級數(shù)通常稱為Whittaker cardinal級數(shù)，該級數(shù)在R的緊子集上絕對且一致收斂。由于樣本定理在通訊理論中的重要作用，在過去的幾十年里，人們一直致力于在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和電子工程等不同領(lǐng)域及各方向拓廣Whittaker 樣本定理。 例如， 考慮非有限帶函數(shù)用有限

4、帶函數(shù)插值逼近的收斂性及誤差估計(jì)。這種誤差在電子工程術(shù)語中通常稱為函數(shù)的混淆誤差。 Jagerman和Forgel(1956)首先考慮了用二重樣本序列和替代樣本序列構(gòu)造了Hermite型插值算子對有限帶函數(shù)重構(gòu)，特別他們證明了，如果，則 (2)最近，房艮孫和李冱岸5證明了如果 ,(2) 仍成立,還給出了混淆誤差的估計(jì)。設(shè)且, 則存在僅與有關(guān)的正常數(shù)使得 其中稱為函數(shù)的混淆誤差, 以上結(jié)果在具有較好的光滑性條件下給出了函數(shù)用Hermite型插值算子逼近時(shí), 函數(shù)在階的意義下混淆誤差的精確估計(jì)，定理1啟發(fā)我們考慮以下問題，當(dāng)時(shí)，Hermite型插值級數(shù)在R上表示某些非有限帶函數(shù)的混淆誤差的階是多少

5、? 本文將研究這個(gè)問題，我們的結(jié)果在某種意義上填補(bǔ)了以上結(jié)果的一個(gè)空白。 2、主要結(jié)果定義2 記,如果可測函數(shù)滿足條件： ,. (3)令則有。我們以表示在上每個(gè)有限區(qū)間可積函數(shù)的全體。設(shè)我們的主要結(jié)果如下定理1 設(shè)，則.（以下須注意特別是公式）為證明定理我們需引入如下相關(guān)引理，在下面的引理、定理及證明中，等分別表示只與等有關(guān)的正常數(shù)，在不同的地方它們可能是彼此不同的。設(shè)，其中由定義，則. 令，則，且.下述引理在定理1的證明中起著關(guān)鍵作用。引理18 設(shè)，則.根據(jù)8，對一切，存在型插值算子,滿足插值條件.設(shè)，是定義在上賦以通常范數(shù)構(gòu)成的空間，其中.引理25 設(shè)，則對一切，有.引理34 設(shè)，則引理4

6、7 設(shè)，則對，有,且如果，則引理53 設(shè)，若，則. 定理1的證明：由的定義知，再由引理1根據(jù)引理5，有因此，存在常數(shù)，對充分大的使利用引理2，3，4有定理得證。參考文獻(xiàn)：1Approximation of Function of several variables and Imbedding TheoremsM.Berlin/Heidberg, NewYork:Springer-Verlag, 1975.2 1985,(12):49-893 4 G.Fang,Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling theorem and aliasing errorJ.5 李冱岸, 房艮孫, Hermite型導(dǎo)數(shù)樣本定理和Sobolev類上混淆誤差J.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004 ,(3):123-130.6 (27