1、立體幾何空間角的計算一、運用向量的坐標運算解決立體幾何中的角的問題在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.關于角的計算，均可歸結為求兩個向量夾角.對于空間向量a，b，有.利用這一結論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題.求異面直線所成角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量積，可求兩向量的坐標，也可以把所求向量用一組基向量表示，兩向量的夾角范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是，應注意區別.直線與平面的夾角，是直線的方向向量l與平面的法向量n的夾角（銳角）的余角，故有.設n1，n2分別是二面角的面的法向量，則<n1，n2>就是所求二

2、面角的平面角或其補角的大小.解決異面直線所成角問題例1已知直四棱柱中, 底面是直角梯形,為直角,，,.求異面直線與所成角的大小.(結果用反三角函數值表示)解：如圖,以為坐標原點,分別以、所在直線為、軸建立直角坐標系.則，,設與所成的角為,則=，.異面直線與所成角的大小為解決二面角問題例2在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形,平面底面（）證明平面；（）求面與面所成的二面角的大小證明：（）同例1. （）由（）得是面的法向量設是面的法向量，則， 又由題意知，面與面所成的二面角為銳角，所以其大小為.評注：求二面角大小可轉化為求兩個平面的法向量的夾角大小，兩平面法向量的夾角與二面角的大小相等或互補，

3、解題時要注意結合題目條件進一步確定二面角的大小.練習：ABCDEA1B1C1D11、如圖，正四棱柱中，點在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小2、如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點，平面 （I）證明：（II）設二面角為60°，求與平面所成的角的大小。3、如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且 （）求證：平面；（）當為的中點時，求與平面所成的角的大??；4、如圖，在五面體ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-

4、CD-E的余弦值。 5、如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，（）求證：面；（）求二面角的大小。（）求三棱錐的體積。6、如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.7、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設線段、的中點分別為、，求證： （III）求二面角的大小。8、如圖，已知等腰直角三角形，其中=90º，點A、D分別是、的中點，現將沿著邊折起到位置，使，連

5、結、求二面角的平面角的余弦值ABCDEA1B1C1D1yxz參考答案1、以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系依題設，3分（）因為，故， 又，所以平面6分（）設向量是平面的法向量，則， 故，令，則，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小為 12分3、如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系， 設，由已知可得 . （）， ，BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，E為PC的中點，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.4、如圖所示，建立空間直角坐標系，點為坐標原點。設依題意得

6、（I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III）又由題設，平面的一個法向量為 5、以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則 分別是的中點（） 取，顯然面 ，又面 面（）過作，交于，取的中點，則設，則又由，及在直線上，可得: 解得 即與所夾的角等于二面角的大小故：二面角的大小為（）設為平面的法向量，則 又 即 可取 點到平面的距離為 ， 6、如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），（）因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線.從而BE平面PAB.又因為平面PBE，故平面PBE平面PAB. ()易知 設是平面PBE的一個法向量，則由得所以 設是平面PAD的一個法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是7、因等腰直角三角形，所以又因為平面，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系, (I) 設，則，從而 . ，于是， , 平面，平面， （II），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內， 故平面（III）設平面的一個法向量為，并設（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個法向量為 . 故二面角的大小為8、解 建立如圖所示的空間直角坐標系則（1，0，0），（2，1，