1、導數與分類討論1.已知函數 ，當 時，討論函數 的單調性.2.已知函數，（I）求的單調區間；（II）求在區間上的最小值.3.已知函數.（）討論函數的單調性；（）設，證明：對任意，.【解題思路】利用導數考察函數的單調性，注意對數求導時定義域.第二問構造函數證明函數的單調性【解析】() f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.()不妨假設x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調減少.所

2、以等價于,即 令,則+4.于是0.從而在（0，+）單調減少，故，故對任意x1,x2(0,+) ，.4.設函數，其中常數a>1()討論f(x)的單調性; ()若當x0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍. 【解題思路】本題考查導數與函數的綜合運用能力，涉及利用導數討論函數的單調性，第一問關鍵是通過分析導函數，從而確定函數的單調性，第二問是利用導數及函數的最值，由恒成立條件得出不等式恒成立條件從而求出的范圍.【解析】（I） 由知，當時，故在區間是增函數；當時，故在區間是減函數； 當時，故在區間是增函數. 綜上，當時，在區間和是增函數，在區間是減函數. （II）由（I）知，當時，在或處

3、取得最小值. 由假設知 即解得 1<a<6故的取值范圍是（1，6）5. 已知函數，（）討論函數的單調區間；（）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍分析：對于第(1)小題，求導后利用f '(x)0或0，解不等式即得單調區間；而(2)轉化為0在上恒成立即可解：（1）求導：當時，在上遞增當，求得兩根為，即在遞增，遞減，遞增（2）若函數在區間內是減函數，則兩根在區間外，即，解得a2，故取值范圍是2，)6.() 當時，求函數的極值；（）當時，討論函數的單調性.（）若對任意及任意，恒有 成立，求實數的取值范圍. 解：()函數的定義域為. 當時，令得. 當時，當時， 無極大值.4分（）

4、5分 當，即時， 在上是減函數； 當，即時，令得或 令得 當，即時，令得或 令得 7分 綜上，當時，在定義域上是減函數； 當時，在和單調遞減，在上單調遞增； 當時，在和單調遞減，在上單調遞8分（）由（）知，當時，在上單調遞減， 當時，有最大值，當時，有最小值. 10分而經整理得 由得，所以 12分7.設函數（1）當時，求函數的極值；（2）求函數在區間上的最小值8.已知（1）當時，討論函數的單調增區間。（2）是否存在負實數，使，函數有最小值3？9.已知函數，其中（）當時，求曲線在原點處的切線方程；（）求的單調區間；（）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍解：（）當時， 2分由 ， 得曲線在原點

5、處的切線方程是3分 （） 4分 當時，所以在單調遞增，在單調遞減 5分當， 當時，令，得，與的情況如下：故的單調減區間是，；單調增區間是 7分 當時，與的情況如下： 所以的單調增區間是，；單調減區間是9分（）由（）得， 時不合題意 10分 當時，由（）得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值 設為的零點，易知，且從而時，；時，若在上存在最小值，必有，解得 所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是 12分 當時，由（）得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是 綜上，的取值范圍是 14分10.已知函數（

6、）若，求曲線在點處的切線方程；（）求函數的單調區間；（）設函數若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍【答案】解：函數的定義域為， 1分（）當時，函數，所以曲線在點處的切線方程為，即3分（）函數的定義域為 （1）當時，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調遞減 4分（2）當時，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為 7分（）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增 8分（）因為存在一個使得，則，等價于.9分令，等價于“當 時，”. 對求導，得. 10分因為當時，所以在上單調遞增. 12分所以，因此. 13分另解：設，定義域為，.依題意，至少存在一個，使得成立，等價于當 時，. 9分（1）當時，在恒成立，所以在單調遞減，只要，則不滿足題意. 10分（2）當時，令得.（）當，即時，在上，所以在上單調遞增