1、2004年高考試題全國卷2數學 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的（1）已知集合Mx|x24，Nx|x22x30，則集合MN（A）x|x2（B）x|x3（C）x|1x2（D）x|2x3（2）（A）（B）1（C）（D）（3）設復數i，則1（A）（B）2（C）（D）（4）已知圓C與圓(x1)2y21關于直線yx對稱，則圓C的方程為（A）(x1)2y21 （B）x2y21（C）x2(y1)21 （D）x2(y1)21（5）已知函數ytan(2x)的圖象過點(,0)，則可以是（A）（B）（C）（D）（6）函數yex的圖象（A）與ye

2、x的圖象關于y軸對稱（B）與yex的圖象關于坐標原點對稱（C）與yex的圖象關于y軸對稱（D）與yex的圖象關于坐標原點對稱（7）已知球O的半徑為1，A、B、C三點都在球面上，且每兩點間的球面距離為，則球心O到平面ABC的距離為（A）（B）（C）（D）（8）在坐標平面內，與點A(1，2)距離為1，且與點B(3，1)距離為2的直線共有（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條（9）已知平面上直線的方向向量，點O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分別是O1和A1，則，其中（A）（B）（C）2（D）2（10）函數yxcosxsinx在下面哪個區間內是增函數（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）

3、(2，3)（11）函數ysin4xcos2x的最小正周期為（A）（B）（C）（D）2（12）在由數字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復數字的5位數中，大于23145且小于43521的數共有（A）56個（B）57個（C）58個（D）60個二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上（13）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為012P（14）設x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值是 （15）設中心在原點的橢圓與雙曲線2x22y21有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是 （16）下面是關于四棱柱的四個命題：

4、若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若四個側面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱其中，真命題的編號是 (寫出所有真命題的編號)三、 解答題：本大題共6個小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17） (本小題滿分12分)已知銳角三角形ABC中，sin(AB)，sin(AB)()求證：tanA2tanB；()設AB3，求AB邊上的高（18）(本小題滿分12分)已知8個球隊中有3個弱隊，以抽簽方式將這8個球隊分為A、B兩組，每組4個求 ()A、B兩組中有一組恰有兩個弱隊的概率

5、；()A組中至少有兩個弱隊的概率（19）(本小題滿分12分)數列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）證明：()數列是等比數列；()Sn14an（20）(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90o，AC1，CB，側棱AA11，側面AA1B1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M()求證：CD平面BDM；()求面B1BD與面CBD所成二面角的大小（21）(本小題滿分12分) 給定拋物線C：y24x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點()設l的斜率為1，求與夾角的大小；()設，若4，9，求l在y軸上截距的變化范圍(22)(本小

6、題滿分14分)已知函數f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx(1)求函數f(x)的最大值；(2)設0ab，證明：0g(a)g(b)2g()(ba)ln2一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）x2y21 （16）17(I)證明：sin(A+B)=,sin(A-B)=，.(II)解：A+B, , , 即,將代入上式并整理得解得,因為B為銳角，所以, =2+設AB

7、上的高為CD，則AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+故AB邊上的高為2+18(I) 解：有一組恰有兩支弱隊的概率(II)解：A組中至少有兩支弱隊的概率19（I）證： 由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知a2=S1=3a1, ,又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),則Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，)，nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，).故數列是首項為1，公比為2的等比數列（II）解：由（I）知，于是Sn+1=4(n+1)=4an(n)又a2=3S1=3,則S2=a1+a2=4=4a1,因此對于任意正整數n1都有Sn+1=4an. 20解法一

8、：(I)如圖，連結CA1、AC1、CM，則CA1=，CB=CA1=，CBA1為等腰三角形，又知D為其底邊A1B的中點，CDA1B，A1C1=1，C1B1=，A1B1=，又BB1=1，A1B=2，A1CB為直角三角形，D為A1B的中點，CD=A1B=1，CD=CC1又DM=AC1=，DM=C1M，CDNCC1M，CDM=CC1M=90,即CDDM，因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD平面BDM(II)設F、G分別為BC、BD的中點，連結B1G、FG、B1F，則FGCD，FG=CDFG=，FGBD.由側面矩形BB1A1A的對角線的交點為D,知BD=B1D=A1B=1，所以BB1D是

9、邊長為1的正三角形，于是B1GBD，B1G=，B1GF是所求二面角的平面角又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.cosB1GF=即所求二面角的大小為-arccos解法二：如圖以C為原點建立坐標系(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,),M(,1,0),(,),(,-1,-1),(0,-), CDA1B,CDDM.因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD平面BDM(II):設BD中點為G，連結B1G，則G(-,)，BDB1G，又CDBD，與的夾角等于所求二面角的平面角，cos所以所求二面角的大小為-arccos21解：（I）C的焦點為F(1,0)，

10、直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1.將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.設A(x1,y1),B(x2,y2)，則有x1+x2=6,x1x2=1，=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.cos=所以與夾角的大小為-arccos.解：(II)由題設知得：(x2-1,y2)=(1-x1,-y1)，即由 (2)得y22=2y12, y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1(3)聯立(1)(3)解得x2=.依題意有0.B(,2)或B(,-2)，又F(1,0),得直線l的方程為(-1)y=2(x-1)或(-1)y=-2(x-1)當4,9時，l在y軸上的截距為或-由=，可知在4，9上是遞減的，-直線l在y軸上截距的變化范圍是22(I)解：函數f(x)的定義域是(-1,),(x)=.令(x)=0，解得x=0，當-1x0,當x0時,(x)0，又f(0)=0，故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值，最大值是0(II)證法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.由(I)的結論知ln(1+x)-x-1,且x0)，由題設0a-.又 aa綜上0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.(