1、習(xí)題答案4p. 202 習(xí)題5.11. 設(shè)可允許的參數(shù)變換是保持定向的，即，其中. 用表示曲面在參數(shù)系下的第一、第二類基本量，用，表示曲面在參數(shù)系下的第一、第二類基本量. 證明：， .證明. (1) 因?yàn)椋栽诳稍试S參數(shù)變換下，.上式兩邊作為的二次型相等，所以. (2) 設(shè)的方程為. 令.則有. 于是.因?yàn)椋@說明在兩個(gè)參數(shù)系下，有.于是 和(1)中一樣，可得. 4. 驗(yàn)證：曲面的平均曲率可以表示成，并且證明在第1題的參數(shù)變換下是不變的. 證明. (1) 證法一：直接驗(yàn)證. 由定義， . 因此 .證法二：運(yùn)用Weingarten變換. 由定義，.所以是Weingarten變換在切空間的基下的

2、矩陣. 它的兩個(gè)特征值，也就是主曲率，滿足.所以.(2) 在第1題的參數(shù)變換下，令為逆變換，. 則與互為逆矩陣. 故有，. (1)在第1題中已經(jīng)證明了. (2)所以有.用乘上式兩端，并對(duì)指標(biāo)求和，利用(1)式可得.再用乘上式兩端，并對(duì)指標(biāo)求和，可得.最后用乘上式兩端，并對(duì)指標(biāo)求和，利用(1)式可得，即有. (3)于是由得到.所以在第1題的參數(shù)變換下是不變的. 注. 如果采用矩陣記號(hào)，令，.則(2)就是，(3)就是. 5. 證明下列恒等式：(1) ； (2) ；(3) ，其中. 證明. (1) 因?yàn)椋瑢?duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得.因此.用乘上式兩邊，再對(duì)求和，得.這就是(1). (2) 由，可得左邊右邊.(3

3、) 左邊為右邊為 所以(3)成立. p. 212 習(xí)題5.34. 設(shè)有2個(gè)不相等的常數(shù)主曲率. 證明：是圓柱面的一部分. 證明. 設(shè)的2個(gè)常數(shù)主曲率為. 因?yàn)椋陨蠜]有臍點(diǎn)，可以選取正交的曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)，使得 ，. (1)因?yàn)槭浅?shù)，由Codazzi方程(3.23)得，.因此. (2)于是，.作參數(shù)變換，. 則第一、第二基本形式成為，.即在新的參數(shù)下，. 為了方便起見，不妨設(shè)在原來的參數(shù)下就有，. (3)由(3.22)得，從而由Gauss方程(3.19)可知. 不妨設(shè). 則.于是(3)成為，. (4)直接計(jì)算可得圓柱面的第一、第二基本形式也是(4)，見第四章第2節(jié)的例題. 根據(jù)曲面論

4、唯一性定理，曲面是圓柱面的一部分. 5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分別是，.證明：(1) 函數(shù)滿足；(2) 和只是的函數(shù). 證明. 由已知條件可得主曲率和平均曲率分別是， ， .由Codazzi方程(3.23)得，.因此，.由Gauss方程可得 . 因此，并且僅依賴于. p. 217 習(xí)題5.42. 判斷下面給出的二次微分形式能否作為空間中某個(gè)曲面的第一、第二基本形式，并說明理由. (1) ，. (2) ，. 解. (1) 不能. 否則曲面有2個(gè)不相等的常數(shù)主曲率，. 由上一節(jié)習(xí)題4，曲面是圓柱面的一部分. 但是圓柱面是可展曲面，Gauss曲率，矛盾. (2) 不能. 如果這樣的曲

5、面存在，則 ，. 由Codazzi方程(3.23)的第2式得，矛盾. 4. 已知，其中，. 若能作為某個(gè)曲面的第一、第二基本形式，問函數(shù)應(yīng)該滿足什么條件？假定. 寫出滿足上述條件的函數(shù)的具體表達(dá)式. 解. 如果這樣的曲面存在，則上的點(diǎn)都是臍點(diǎn). 由第四章定理1.1和定理1.2，必須是常數(shù). 情況1. . 則，Codazzi方程(3.23)的2個(gè)式子自動(dòng)成立. 因此只要函數(shù)滿足Gauss方程. 因?yàn)镚auss曲率，應(yīng)滿足 . (1)也就是 .情況2. . 則，. 因此Codazzi方程(3.23)的2個(gè)式子成立. 剩下的只要函數(shù)滿足Gauss方程. 因?yàn)镚auss曲率，應(yīng)滿足. (2)當(dāng)時(shí)，(1

6、)成為,所以. 令. 根據(jù)復(fù)變函數(shù)知識(shí)，存在復(fù)解析函數(shù)使得. 因此，其中也是一個(gè)在其定義域內(nèi)恒不為零的復(fù)解析函數(shù). (2)式成為， (3)其中是常數(shù). 它的一個(gè)解是.如果令，則上面的函數(shù)可以寫成.對(duì)任何一個(gè)在其定義域內(nèi)恒不為零的復(fù)解析函數(shù)，只要，函數(shù)都是(3)的解. p. 227 習(xí)題5.51. 已知曲面的第一基本形式如下，求它們的高斯曲率. (2) ，是常數(shù)；(4) ，是常數(shù)； (6) . 解. (2) 這是等溫參數(shù)網(wǎng). 由公式(5.5)，.(4) 這是正交參數(shù)網(wǎng). 由公式(5.4)，.(6) 由公式(5.4)，. 2. 證明下列曲面之間不存在等距對(duì)應(yīng). (1) 球面；(2) 柱面；(3) 雙曲拋物面. 證明. (1) 球面是全臍點(diǎn)曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截線的相對(duì)曲率. 因此 ，其中為球面半徑. 故球面的Ga