1、數學分析教案第十九章 含參量積分 教學目的：1.掌握含參量正常積分的概念、性質及其計算方法；2.掌握兩種含參量反常積分的概念、性質及其計算方法；3.掌握歐拉積分的形式及有關計算。 教學重點難點：本章的重點是含參量積分的性質及含參量反常積分的一致收斂性的判定；難點是一致收斂性的判定。 教學時數：10學時 § 1含參量正常積分 一. 含參積分: 以實例 和 引入. 定義含參積分 和 . 含參積分提供了表達函數的又一手段 .我們稱由含參積分表達的函數為含參積分. 1. 含參積分的連續性: Th19.5 若函數 在矩形域 上連續 , 則函數在 上連續 . ( 證 ) P172Th19.8 若

2、函數 在矩形域 上連續, 函數 和 在 上連續 , 則函數 在 上連續. ( 證 ) P173  2. 含參積分的可微性及其應用: Th 19.10 若函數 及其偏導數 都在矩形域 上連續, 則函數 在 上可導 , 且 .( 即積分和求導次序可換 ) . ( 證 ) P174  Th 19.11 設函數 及其偏導數 都在矩形域 上連續,函數 和 定義在 , 值域在 上 , 且可微 , 則含參積分在 上可微 , 且 . ( 證 )P174 例1 計算積分 . P176.例2         設函數

3、 在點 的某鄰域內連續 . 驗證當 充分小時 , 函數 的 階導數存在 , 且 . P177. § 2 含參反常積分 一. 含參無窮積分: 1.  含參無窮積分: 函數 定義在 上 ( 可以是無窮區間 ) . 以 為例介紹含參無窮積分表示的函數 . 2. 含參無窮積分的一致收斂性: 逐點收斂( 或稱點態收斂 ) 的定義: , , 使 .引出一致收斂問題 .定義 (一致收斂性 ) 設函數 定義在 上 . 若對 , 使 對 成立, 則稱含參無窮積分在 ( 關于 )一致收斂.Th 19.5 ( Cauchy收斂準則 ) 積分 在 上一致收斂, 對 成立 . 例1 證明含參量非正常

4、積分 在 上一致收斂 , 其中. 但在區間 內非一致收斂 . P180  3. 含參無窮積分與函數項級數的關系: Th 19.6 積分 在 上一致收斂, 對任一數列 , , 函數項級數 在 上一致收斂. ( 證略 )  二. 含參無窮積分一致收斂判別法: 1. Weierstrass M 判別法: 設有函數 , 使在 上有 . 若積分 , 則積分 在 一致收斂. 例2 證明含參無窮積分 在 內一致收斂. P182  2. Dirichlet判別法和Abel判別法: P182  三. 含參無窮積分的解析性質: 含參無窮積分的解析性質實指由其所表達的函數的解

5、析性質.  1. 連續性: 積分號下取極限定理.Th 19.7 設函數 在 上連續 . 若積分 在 上一致收斂, 則函數 在 上連續. ( 化為級數進行證明或直接證明 )推論 在Th.7的條件下 , 對 , 有   2. 可微性: 積分號下求導定理.Th 19.8 設函數 和 在 上連續. 若積分 在 上收斂, 積分 在 一致收斂. 則函數 在 上可微,且 .  3. 可積性: 積分換序定理.Th 19.9 設函數 在 上連續. 若積分 在 上一致收斂, 則函數 在 上可積 , 且有 . 例3 計算積分 P186  四.含參瑕積分簡介: § 3

6、 Euler積分 本節介紹用含參廣義積分表達的兩個特殊函數 , 即 和 . 它們統稱為Euler積分. 在積分計算等方面, 它們是很有用的兩個特殊函數.  一. Gamma函數 Euler第二型積分： 1. Gamma函數: 考慮無窮限含參積分 , 當 時, 點 還是該積分的瑕點 . 因此我們把該積分分為 來討論其斂散性 .: 時為正常積分 . 時, .利用非負函數積的Cauchy判別法, 注意到 時積分 收斂 . (易見時, 仍用Cauchy判別法判得積分發散 ). 因此, 時積分 收斂 . : 對 R成立,.因此積分 對 R收斂.綜上 , 時積分 收斂 . 稱該積分為Euler第

7、二型積分. Euler第二型積分定義了 內的一個函數, 稱該函數為Gamma函數, 記為 , 即 = , .函數是一個很有用的特殊函數 .  2. 函數的連續性和可導性: 在區間 內非一致收斂 . 這是因為 時積分發散. 這里利用了下面的結果: 若含參廣義積分在 內收斂, 但在點 發散, 則積分在 內非一致收斂 .  但 在區間 內閉一致收斂 .即在任何 上 , 一致收斂 . 因為 時, 對積分 , 有 , 而積分 收斂.對積分 , , 而積分 收斂. 由M判法, 它們都一致收斂, 積分 在區間 上一致收斂 .作類似地討論, 可得積分 也在區間 內閉一致收斂. 于是可得如下

8、結論:的連續性: 在區間 內連續 . 的可導性: 在區間 內可導, 且 . 同理可得: 在區間 內任意階可導, 且 .   3. 凸性與極值: , 在區間 內嚴格下凸. ( 參下段 ), 在區間 內唯一的極限小值點( 亦為最小值點 ) 介于1與2 之間 . 4. 的遞推公式 函數表: 的遞推公式 : . 證 .于是, 利用遞推公式得: , , , , , 一般地有 .可見 , 在 上, 正是正整數階乘的表達式 . 倘定義 , 易見對 ,該定義是有意義的. 因此, 可視 為 內實數的階乘. 這樣一來, 我們很自然地把正整數的階乘延拓到了 內的所有實數上, 于是, 自然就有, 可見在初等

9、數學中規定 是很合理的.函數表: 很多繁雜的積分計算問題可化為 函數來處理. 人們仿三角函數表、對數表等函數表, 制訂了 函數表供查. 由 函數的遞推公式可見, 有了 函數在內的值, 即可對 , 求得 的值. 通常把 內 函數的某些近似值制成表, 稱這樣的表為 函數表 也有在 內編制的 函數表.)  5. 函數的延拓: 時, 該式右端在 時也有意義 . 用其作為 時 的定義, 即把 延拓到了 內.時, 依式 , 利用延拓后的 , 又可把 延拓到內 .依此 , 可把 延拓到 內除去 的所有點. 經過如此延拓后的 的圖象如 P192圖表192. 例1 求 , , . ( 查表得 .) 解

10、 . ), . 6. 函數的其他形式和一個特殊值: 某些積分可通過換元或分部積分若干次后化為 函數 . 倘能如此, 可查 函數表求得該積分的值. 常見變形有: > 令 , 有 = ,因此, , .> 令 .注意到 P7的結果 , 得 的一個特殊值 . > 令 , 得 . 取 , 得 . 例2 計算積分 , 其中 .解 I .  二. Beta函數 Euler第一型積分： 1 Beta函數及其連續性： 稱( 含有兩個參數的 )含參積分 為Euler第一型積分. 當 和 中至少有一個小于1 時, 該積分為瑕積分. 下證對 , 該積分收斂. 由于 時點 和 均為瑕點. 故

11、把積分 分成 和 考慮.: 時為正常積分; 時, 點 為瑕點. 由被積函數非負, 和 , ( 由Cauchy判法) 積分 收斂 . ( 易見 時積分 發散 ). : 時為正常積分; 時, 點 為瑕點. 由被積函數非負, 和 , ( 由Cauchy判法) 積分 收斂 . ( 易見 時積分 發散 ).綜上, 時積分 收斂. 設D ,于是, 積分 定義了D內的一個二元函數. 稱該函數為Beta函數, 記為 , 即 = 不難驗證, 函數在D內閉一致收斂. 又被積函數在D內連續, 因此 , 函數是D內的二元連續函數. 2. 函數的對稱性: .證 = .由于 函數的兩個變元是對稱的, 因此, 其中一個變元

12、具有的性質另一個變元自然也具有. 3. 遞推公式: .證 , 而 ,代入 式, 有 ,解得 .由對稱性, 又有 . 4. 函數的其他形式: > 令 , 有 , 因此得 , . > 令 , 可得 , . 特別地 , , . > 令 , 有 = = ,即 , > 令 , 可得 . > , . 三. 函數和 函數的關系: 函數和 函數之間有關系式 , 以下只就 和 取正整數值的情況給予證明. 和 取正實數值時, 證明用到 函數的變形和二重無窮積分的換序.   證 反復應用 函數的遞推公式, 有 ,而 .特別地, 且 或 時, 由于 , 就有.余元公式 函數與三角函數的關系： 對 ，有 .該公式的證明可參閱: , 微積分學教程 Vol 2 第3分冊, 利用余元公式, 只要編制出 時 的函數表, 再利用三角函數表, 即可對, 查表求得 的近似值.  四.