1、高二數學集體備課學案與教學設計章節標題選修2-3 排列組合專題計劃學時1學案作者楊得生學案審核張愛敏高考目標掌握排列、組合問題的解題策略三維目標一、知識與技能 1.進一步理解和應用分步計數原理和分類計數原理。 2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運用解題策略解決簡單的綜合應用題。提高學生解決問題分析問題的能力  3.學會應用數學思想和方法解決排列組合問題.二、過程與方法 通過問題的探究，體會知識的類比遷移。以已知探求未知，從特殊到一般的數學思想方法三、情感態度與價值觀 通過師生互動，生生互動的數學活動，形成學生的體驗認識，并體驗成功的喜悅。提高學習數學的興趣，形

2、成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學態度。教學重點教學難點及解決措施重點：排列、組合綜合題的解法 難點：正確的分類、分步教學要點經典例題一、郵信問題：把4封信投入3個郵箱有多少種方法。解析：這類問題首先分清哪個有限制條件，以有限制條件的為主體研究。（即指數形式，有條件的為指數在上邊無條件的在下邊）如本題中的信有條件，即一封信只能投入一個信箱，所以，3種，3種，3種，3種。共種。練習：若A=a,b,c,B=1、2、3、4、5 ，則從集合A到集合B一共可以有多少個不同的映射；從集合B到集合A一共可以有多少個不同的映射？125、243二排序問題：1. 優限(先)法：特殊元素優先或特殊位置優先。例：4

3、名男生和4名女生排成一排，女生不排首末兩端，則不同的排法數為：先排男生 或 先排女生 2. 捆綁法：用于在一起相鄰，整體性的問題。例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的種數為：3. 插空法：用于元素不相鄰的問題，先排無條件的，再插空。（1）不同元素與不同元素間的間的不相鄰。例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的種數為：（有序）先排其余4人，產生5個空，再排3人：（2）不同元素與相同元素間的不相鄰。例：3個人坐在8個座位上，若每個人的兩邊都要有空位，則不同的坐法有多少種？解析：可以看作先將5個座位放好，三個人帶著各自的座位坐在中間的4個空隙中的三個位置上有24

4、種 （座位無序不排）（半有序） （3）相同元素與相同元素間的不相鄰。例:一排路燈有10盞，為了節約用電，滅掉3盞，要求不能滅兩邊的且滅燈不相連，有多少種方法？（無序）4留位法：用于個別順序固定的，先在所有位置上排無條件的，有條件還進入即可。例：五名學生站成一排,其中甲必須站在乙的左邊(可以不相鄰)的站法種數為或解:方法1.留位法：在5個位置上先排3人，其余兩人站入即可。方法2：因兩人可交換順序,則有2種排法,順序固定時,則排法少了一半.故選。變式：若把英語單詞“look ”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有_11_種。解析：同本例即oo無序不排，在四個位置上排l,k即可，或去序都111練習

5、：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必須站在兩端的排法有多少種？=240（2）甲乙二人不能站在兩端的排法有多少種？=2400（3）甲不站在排頭，乙不站在排尾的排法有多少種？方法1：直接。甲排尾， 甲不排尾， 共有：+=3720方法2：間接。-2+=3720（4）女生不相鄰的排法有多少種？（插空法） 男生先排共產生5個空位，插入3個女生。共有：=1440種（5）甲乙兩人中間間隔兩人的排法有多少種？先從5人（除甲乙）中，選二人排到甲乙中間有種排法，再排甲乙，此4人視為一體與另3 人排列有種。所以共有=960種（6）甲排在乙的右邊有多少種不同的排法？（留位法） 或 =2520種三、排數字：例

6、：用0、1、2、3、4、5 這六個數字：（1）能組成多少個無重復數字的四位奇數。 末位，首位，中間。故共在：（2）能組成多少個無重復數字的四位偶數。 0在末位。 0不在末位：先排末位，再首位，中間。即 共有：+156（3）能組成多少個無重復數字的四位數字，且個位小于十位數字。 沒0 ：先排后兩位且不排列，再排前兩位 故=60 有0：在末位時，=120。不在末位時，0只能在第二位，=30共有+150（4）能組成多少個無重復且大于345012的數字。（排大小：從高位到低位逐位排）269練習：用數字1,2,3,4,5可以組成_個沒有重復數字且比13000大的正整數. 114 解:分兩類: 第一類,萬

7、位比1大,有4種不同的選法,其余任意排列,有個,第二類，萬位為1,則千位有3,4,5三種選法,其余任意排列,有個;共有18+96=114個.四、 隔（檔）板法：處理無序分組問題要點：元素相同。有兩類，空與不空把n個小球放入不同編號的m個盒子中,（1）每個盒子至少放一個有多少種放法。（2）盒子容量不限有多少種放法。解析：（1）每個盒子至少放一個直接用檔板法：把n個小球排成一排，中間產生n1個空，插入m-1個檔板，(分成m份)放入盒中即可。故種例1：10個相同的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，每盒中至少有1個，有多少種放法。解：把10個小球排成一排，中間產生9個空，插入兩個檔板，(分成3份)

8、 即可，故有36（2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不會有空的，若討論很麻煩，故此題的處理方法是：將n個球和m1個檔板（分成 m份用m1個檔板）全放在一起。共需要n+m1個位置，在這些位置上任意放n個球（或m1個檔板）有種（或）。這樣可以保證隔板在一起，即可空盒。例2：10個相同的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，有多少種放法。（可空） 解：10個球和2個板共用12個位置，看板變式1：把10個蘋果分給3個人，每人至少兩個蘋果有多少種分法。解析：10轉化成例1：先每人分1個，把余下的7個蘋果再分給3人，隔板法，產生6個空插入2個板，15種。20轉化成例2：先每人分兩個再用例2方法變

9、式2：把10個相同的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒子放球的個數不小于基編號，有多少種放法。解析：10轉化成例1：先放球，1號不放，2號放1個，3號放2個，變成例1，即變成每盒至少1個. 15。20轉化成例2：1號盒放1個，2號盒放2個，3號盒入3個，利用例2的方法，再變式3：A=a1， a2，a60 ，B=b1 ，b2 b25，每個象都有原象，且f(a1)f(a2)f(a60),這樣的映射有多少個？解：此題相當于把60個小球放入25個盒子中（不空）則有種。五能人問題：方法：此類問題以哪類人分類都可，但主要是分類的標準一定要明確，可以按其中一類人的參與情況分類，也可以以能人參加

10、其中一項為標準分類；也可按能人的參與情況分類，能人不參加；能人一人參加；能人兩人參加，一般哪個情況少以哪個分類。例. 車間有11名工人,其中5名是鉗工,4名是車工,另外2名老師傅即能當車工,又能當鉗工,現在要在這11名工人里選派4名鉗工、4名車工修理一臺機床,問有多少種選派方法?解析: 按鉗工的參與情況分類。5名鉗工有4名被選上的方法有種; 5名鉗工有3名被選上的方法有種; 5名鉗工有2名被選上的方法有種.共有75+100+10=185種.練習：有11名劃船運動員,其中有5人會左漿,4人會右漿,還有甲、乙兩人即會左漿,又會右 漿,現要派出4名左漿手,4名右漿手,組成劃船隊,有多少種選派方案?解

11、:5名左漿手有4名被選上的方法有種; 5名左漿手有3名被選上的方法有種; 5名左漿手有2名被選上的方法有種. 共有75+100+10=185種.六、分組問題、分配問題：它們的主體區別：分組問題沒有序，分配問題有序1、平均分組/配問題：對于km個不同的元素分成k 組，每組m個，則不同的分配種數是（有序）平均分組的種數是（無序）2、混合分配問題：是指在分配中既含有平均分配的情況，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k組的部分要除以，只后再排列。如：10個人分成三組，人數分別為2、4、4，參加3種不同勞動，分法種數為例：有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方法。（1）分成1本，2

12、本，3本三組。（2）分給甲，乙，丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本。（3）分成每組都是2本的三個組。（4）分給甲，乙，丙三人，每人2本。解析：（1）分三步，先選一本有種選法，再從余下的5本書中選兩本種選法，最后余下的三本全選有種選法。故共有：60種（分堆）（2）由于甲，乙，丙是不同的三個人，在（1）的基礎上再分配。所以共有 360種（3）先，但這里面出現了重復，（其實這就已經分配了，有序）要想分組無序就要除以，所以有15種 （可用4個元素舉例好說一些）（4）在（3）的基礎上再分配即可，共有90或直接90練習1：3名醫生和6名護士，被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫生和2名護

13、士，不同的分配方法共有_種。=540練習2：4名醫生和6名護士組成一個醫療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫生和至少一名護士的不同選派方法有多少種（答：37440）；解析：先排4名醫生排列數為。再排護士，由題知有兩種情況：分配人數為3、1、1、1。其中3人，其余三個1人可平均分組也可不分直接排 所以=480（分組） 分配人數為2、2、1、1的，2、2行平均分組其余兩個1人可直接排（或），故有=1080（或.=1080）。 所以護士分配方法有+=1560所以共有排列方法：（+）=37440七、環狀排列問題：從n個不同元素中取出m個元素的環狀排列的種數有種；特殊的n個不同

14、元素的環狀全排列的種數為（n-1）!(由于環狀有重復一樣的)例：由a、b、c、d四個元素組成的環狀排列有多少個？分析：由a、b、c、d組成的全排列有24個。其中4個全排列abcd bcda cdab dabc在環狀排列中只算作1個排列，故由4個不同元素組成的環狀排列有：3！6種八涂色問題：1、區域涂色問題：根據分步計數原理，對各個區域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1.用5種不同的顏色給圖中標、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給號區域涂色有5種方法，再給號涂色有4種方 法，接著給號涂色方法有3種，由于號與、不相鄰，因此號有4種涂法

15、，根據分步計數原理，不同的涂色方法有1432 練習： 用4種不同的顏色去涂矩形的四個區域（如圖），要求相鄰兩個區域顏色不同，個區域只涂一種顏色，則一共有多少種涂法。 解析：注意討論2與4的同色與不同色兩種情況。84種 （1）2與4同色時，1有4種，2有3種，3有3種4與2同 色 不排，所以，4*3*336 （2）2與4不同色時，1有4種，2有3種，3 有2種，4有2種。4*3*2*248 故共有：36+4884種 2、點的涂色問題：方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論，（2）根據相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區域涂色問題。例、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色

16、，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是多少？ 解法一：設想染色按SABCD的順序進行，對S、A、B染色，有 種染色方法。（討論c） 由于C點的顏色可能與A同色或不同色，影響到D點顏色的選取方法數，故分類討論： C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A（C）、S不同色，有3種選擇；故：5×4×3×3=180 C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，故：5×4×3×2×2=240。所以共有180+240=420種方法。解法二：（麻煩，用第一種方法好）滿足題設條件的染色至少要用三種顏