1、一、知識總結1 張量概念1.1 指標記法啞標和自由指標的定義及性質自由指標：在每一項中只出現一次，一個公式中必須相同。性質：在表達式或方程中自由指標可以出現多次，但不得在同項內重復出現兩次。啞標：一個單項式內，在上標（向量指標）和下標（余向量指標）中各出現且僅出現一次的指標。性質：啞標可以把多項式縮寫成一項；自由指標可以把多個方程縮寫成一個方程。例：(1.1)式(1.1)可簡單的表示為下式：(1.2)其中：i為自由指標，j為啞標。特別區分，自由指標在同一項中最多出現一次，表示許多方程寫成一個方程；而啞標j則在同項中可出現兩次，表示遍歷求和。在表達式或者方程中自由指標可以出現多次，但不得在同項中

2、出現兩次。1.2 Kronecker符號定義為：(1.3)的矩陣形式為：(1.4)可知。符號的兩指標中有一個與同項中其它因子的指標相同時，可把該因子的重指標換成的另一個指標，而符號消失。如： (1.5)的作用：更換指標、選擇求和。1.3 Ricci符號為了運算的方便，定義Ricci符號或稱置換符號：(1.6)圖1.1 i,j,k排列圖的值中，有3個為1，3個為-1，其余為0。Ricci符號（置換符號）是與任何坐標系都無關的一個符號，它不是張量。1.4 坐標轉換圖1.2 坐標轉換如上圖所示，設舊坐標系的基矢為，新坐標系的基矢為。有 在下進行分解： 在下進行分解： 其中， 為新舊坐標軸間的夾角余弦

3、，稱為坐標轉換系數。空間點P在新老坐標系矢徑：(1.7)其中為上圖中坐標原點的位移矢量。將向新坐標軸上投影的矢量的分量：由此得新坐標用老坐標表示的公式：(1.8)類似地，將向老坐標上投影，可以推導出老坐標用新坐標表示的公式：(1.9)特別的，當新舊坐標原點重合時，也即坐標軸僅發生旋轉，此時，上兩式的矩陣形式為：(1.10)由上可知， ，是正交矩陣，則。 綜合以上可知： (1.11)同理，可推出：將老坐標到新坐標的坐標轉換稱為正轉換，； 將新坐標到老坐標的坐標轉換稱為正轉換，其中為常數，稱為雅克比行列式。若J處處不為0，則說明存在相應的逆變化，即：1.5 張量的分量坐標轉換規律1.5.1 一階張

4、量一階張量在新老坐標系中的分解為：(1.12)其中：(1.13)則：(1.14)得到：(1.15)同理：(1.16)得：(1.17)矢量是與一階基矢相關聯的不變量，可表示為一階基矢的線性組合，此組合與坐標系的選擇無關，故為一階張量，標量為零階張量。 二階張量定義為二階基矢，寫在一起，不作任何運算。由下式：(1.18)可得坐標變換時二階基矢的轉換規律為：(1.19)又：(1.20)記：，(1.21)則：(1.22)該式表示 a 與 b 并乘為一個坐標不變量，稱為二階張量。記為：(1.23)將式(1.13)代入上式可得：(1.24)此分量轉換可進一步推廣到高階張量。張量與坐標軸選擇無關，故可獨立于

5、坐標系來表述。2 張量的代數運算2.1 張量的加減假如A、B為同階張量，將它們在同一坐標系下的同類型分量一一相加（減），得到的結果即為它們的和（差），記為，例如：(2.1)顯然，同階張量進行加減運算后仍為同階張量。2.2 標量與張量的積張量A，標量，若，則：(2.2)2.3 張量的并積兩個同維不同階（同階）張量A、B的并積C是一個階數為A、B階數之和的高階張量。(2.3)(2.4)(2.5)式(1.10)中：(2.6)2.4 張量的縮并若對某張量中任意兩個基矢量求點積，則張量將縮并為低二階的新張量。，有。取不同基矢量點積，縮并結果不同。2.5 張量的點積兩個張量先并乘后縮并的運算稱為點積。如下

6、：(2.7)(2.8)(2.9)其中，(2.10)2.6 指標的轉換對于張量，若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序，得到一個與原張量同階的新張量。如下式所示：(2.11)指標轉換也可以通過交換相應的基矢量位置來得到，如下式所示：(2.12)2.7 張量的商法則張量T，如果它滿足對于任意一個q階張量S的內積均為一個p階張量U，即在任意坐標系內以下等式成立，則T必定是一個p+q階的張量。以上規則稱為張量的商法則。3 二階張量二階張量是連續介質力學中最常遇到的一類張量，例如應力張量、應變張量、變形梯度張量和正交張量等。3.1 二階張量的矩陣(1) 任何一二階張量T總可以按其分量寫成矩陣形式：(3.

7、1)二階張量與矩陣雖然有上述對應關系，但它們并非全能一一對應。首先，矩陣并非只包括方陣，而二階張量只能對應方陣；其次，在一般坐標系中，轉置張量與轉置矩陣、對稱（或反對稱）張量與對稱（或反對稱）矩陣不能一一對應；第三，二階張量的某些運算不完全能用矩陣的運算與之互相對應。(2) 二階張量T的轉置張量TT為：(3.2)(3) 二階張量的行列式二階張量對應的矩陣具有行列式值：由于兩個互為轉置的矩陣的行列式值相等，故兩個互為轉置的張量的行列式相等(4) 二階張量的代數運算與矩陣的代數運算張量的相等、相加、標量與張量相乘等代數運算均與矩陣運算一一對應；二階張量與矢量的點積；二階張量與二階張量的點積。以上運

8、算都可以表示成對應的矩陣運算，但二階張量的有些運算沒有相應的矩陣運算，例如并乘運算。3.2 幾種特殊的張量3.2.1零二階張量零二階張量將任意矢量映射為零矢量，它是一種特殊的退化的二階張量。零二階張量對應的矩陣為：(3.3)(3.4)式中，左端的O是零二階張量，右端的0為零矢量。3.2.2 度量（單位）張量G(3.5)度量張量將任意矢量映射為原矢量，即：(3.6)度量張量與任意二階張量的點積仍為該張量本身，即：(3.7)因此，有些書中將度量張量記作I或1。3.2.3球形張量主對角分量為，其余分量為零的二階張量稱為球形張量。它是數與單位張量的數積，即： (3.8)3.2.4轉置張量二階張量由對換分量指標而基矢量順序保持不變所得的新張量稱為張量B的轉置張量。若同時轉換二階張量B的分量指標和基矢順序，結果仍為B。三階張量有三種不同的轉置張量，任意對換i，j，k得到：(3.9)3.2.5對稱張量與反對稱張量對稱張量，轉置張量等