1、拱橋聯合作用的簡化計算省拱橋研究報告之四、五湖南省交通規劃勘察設計院拱橋研究小組（上官興執筆）為了充分挖掘拱橋的潛力，應考慮拱上構造與主拱圈的聯合作用。在學習湖南大學和部交研院等單位關于“聯合作用”方面的研究成果基礎上（資料14），1978年資料5提出“拱橋聯合作用的簡化計算法”。幾年來，在漣源、懷化、湘西等地區和新化、辰溪、桑植、鳳凰等縣交通部門的大力支持下，先后在60余座石肋雙曲拱橋和石砌版肋拱橋中進行了試用，取得了良好效果。為了鑒定該方法的可靠性，我院和各地建橋指揮部，在省交通科研究所幫助下進行了六座橋梁的靜載實驗（資料8。實驗表明“聯合作用簡化計算法”基本符合實際，可以在工程上適用。本

2、文在總結這些試驗成果的基礎上，又進行了必要的修改補充，現整理提請討論，供研究參考。本方法的特點是抓位腹拱是聯合作用的主導，提出簡化的計算圖式，用位移法簡捷求解腹拱抗力，再將腹拱抗力反作用在主拱圈上。這樣“聯合作用”這個高層次超靜定問題,迎刃而解。由于用手算一天能得到結果,這為拱橋設計計算中考慮“聯合作用”這個有利的因素，找到了一條捷徑的路。本文與一般方法不同還在于，用這套公式能便捷地進行多孔連拱和平鉸拱的聯合作用的計算?？傻玫诫p鉸、無鉸、平鉸三種圖式的結果比較。應當指出，簡化方法本身就是一種定性為主，在量方面能滿足工程精度的近似解。目前，還有一定的現實意義。由于實踐的局限性和水平所限，文中的錯

3、誤歡迎批評指正。一、計算圖式眾所周知，國內外對梁式拱上結構與主拱圈的聯合作用問題，已有定論（如資料67）經濟價值不大，不予考慮。然而我國廣泛使用的是拱式拱上結構，腹拱采用圬工三平鉸構造，至今尚未有一套成熟的接近實際結構的計算方法。但是巨大的聯合作用客觀存在的事實已得到一致的公認。曾統計了國內十多座靜、動載實驗資料，對控制設計的拱趾截面負彎矩，在考慮聯合作用的彎矩拆減值可達0.40.6（與裸拱比較）。在1972年“橋規草案”中采納了這些實踐經驗，提出了對拱趾活載彎矩乘以0.7的拆減系數建議。我省長沙湘江大橋（9-50m+8-76m）設計中曾予彩霞，取得了良好的經濟效果。但如何在設計中將聯合作用這

4、有利因素反映出來，就要有一套相應的通用計算方法，一個符合客觀的簡明的計算圖式。下面就我們目前常用的圬工拱上建筑，設有（平鉸）平縫結構的腹拱型式的聯合作用計算圖式，進行討論分析。（一）現有方法的圖式（一）四次超靜定結構：資料2經過詳細結構分析，指出腹拱推力X4為未知數的四次靜定結構可以基本功上且偏安全反映拱上結構對拱趾截面的影響，如圖1考慮到平鉸腹拱不能承受拉力的特性，在不對稱荷載作用下還可以近似只計和荷載P相對的一側受壓腹拱推力X4為贅余力，此時腹拱受壓按無鉸拱計算。資料5按照這個假定，推出了具體的計算方法計算圖表。該圖式的特點是忽略了立墻的抗推剛度，使結構予以簡化，能手算求解。（二）高次超靜

5、定結構資料34經模型核驗后同樣得出，腹拱推力是拱式拱上建筑聯合作用的主要支柱，為了更精確地說明聯合作用各因素，經電算分析提出圖2的高次靜定結構圖式，取邊腹拱為雙鉸拱其余為單鉸拱，考慮立墻的剛度。該方法較復雜，故用電算制成表格，便可計算單個主拱（四個腹拱）的拱頂、拱趾、L/4三個截面的聯合作用彎矩折減系數。經比較，圖1和圖2兩種圖式計算結果相近，其原因是圖1的立墻剛度末計，但腹拱剛度按無鉸計（或變截面單鉸拱計）比圖2的腹拱按單鉸拱+雙鉸計大，這樣補償了圖2的立墻剛度。由此可見，拱上聯合作用可以用不同的圖式反映，得到大致相同的結果。（三）簡化法計算圖式經六座橋梁的現場靜載試驗資料分析，我們進一步認

6、識到聯合作用隨荷載P位置不同而不同。因此，在圖1的基礎上還必須補充一些假定，才能使簡化的圖式與實際情況更接近。1、P在拱左側時，主拱圈發生以側移為主的變位，如圖3，使右側腹拱壓縮，由腹拱抗推剛度K+而產生了推力Q和腹拱拱趾彎矩WQ。假定主拱和腹拱相交于L/3截面即7.5#7#截面抗力Q的大小則與8#截面在P作用下水平位移P和主、腹拱在L/3截面上的抗推剛度比值大小有關，該圖式的特點是用一根水平桿來等代多孔腹拱的剛度，因此只要經等代換算后，就相當能考慮多孔聯合作用?？紤]了WQ主要是能使拱頂和右拱趾的彎矩更確實一些，但對左拱趾和荷載P下的截面彎左影響不大，故如果計算左拱趾M和荷載P點下M也可將W忽

7、略不計。2、P在拱頂實腹段（8#81#截面之間）如圖4。對稱荷載作用下，拱圈撓度以上下彎化為主。在上翹處使立墻受壓，并傳遞到腹拱趾，由腹拱的垂直剛度而產生腹拱趾的垂直抗力R，R值大小與荷載作用下立墻處撓度 fp和主、腹拱的垂直剛度比值大小有關。該圖式的特點是腹拱垂直剛度C+大小只決定于主、腹找的幾何物理特性，與主孔孔數無關。（二）簡化計算的假定在上面聯合作用的綜合圖式中，采用了若干簡化計算的假定，現分別論證、分析。（一）立墻的計算圖式1、由資料5推導可知，“沒有橋墩”實際上是剛度小可忽略的橋墩的m孔腹拱，在m端作用水平推力H時，各孔的推力均相同，因此各孔的相對水平位移也相同，但累計在m端的水平

8、位移值m=m1，如圖5，如果m=4孔時，則有4=44關系。在資料810中量測了橋臺上高立墻頂的水平位移1和主腹拱相交的第四孔拱端水平位移4的關系如表1。由表可見有80%接近上述假定。（橋墩剛度K=0）。因而能推斷4=41。由此反證，拱上立墻的抗推剛度K墻+相對腹拱K墻而言可以忽略不計，即在聯合作用中可以假定立墻兩端為鉸結。2、在資料976米雙曲拱模型試驗指出，計算拱上立墻（柱）的抗推剛度必須考慮主拱圈彈性變形的影響，如圖6。墻頂水平位移=1+2+3，式中1=Hh3/(3EJ)。此值系立墻在水平力H作用下的墻頂水平位稱量。1是主拱圈A在水平力H和相應的垂直力V作用下，所產生的水平位移。2與主拱圈

9、L/（EJ）和立墻部位有關，當立墻在L/4附近時（如表1中3#墻）2值很大。拱上腹拱趾的位移（mm）表1重量荷載位置計算4=44實測44/4實測142.15#80T0.120.480.5587%4.77#110T0.301.201.4881%12#110T0.110.440.4598%示意圖3=h2是由于主拱圈A在H、V作用下所產生的轉角所引起的B點水平位稱。對于高立墻（如表1中2#墻）3值很大。立墻考慮主拱圈彈性位移后的抗推剛度應按K墻=H/(1+2+3)與僅考慮立墻本身的剛度K0=1/1相較，可下降5080%，以致與腹拱剛度K腹相比，可以近似忽略不計。例如資料5，說明在76米拱跨中,K墻=

10、0.02K腹。3、由上分析，可見無論從實驗和理論計算方面都可說明在聯合作用計算中，可近似取產墻為兩端鉸結的圖式，能傳遞垂直力而不傳遞水平力，這為簡化計算提供了方便。（二）腹拱上的荷載產生的推力HP的處理。荷載P在腹拱上產生垂直反力V和推力HP、垂直力V通過立墻傳遞至主拱圈，產生以撓度為主的變形（圖3、4）它受到腹拱的抗推剛度K+和垂直剛度C+的約束。而水平推力HP在L/3截面附近作用在主拱圈上，使主拱圈產生水平方向的變位，這時整個橋面系的欄桿、緣石、填料、路面和側墻都受到壓縮，顯然形成一道強勁的水平剛性約束、K面，其絕對值遠大于主拱圈的抗推剛度K主、按剛度分配的原理，可以認為腹拱的活載推力HP

11、絕大部份可沿橋面系和腹拱一直傳遞以兩岸橋臺上，這樣在聯合作用計算中可以近似假定HP不作用在主拱圈上，不使主拱圈產生變形。如圖7所示，聯合作用計算圖式中，變相當荷載P直接作用在主拱圈上。（精確應為，是垂直反力V在立墻位置傳遞到主拱圈上。）（三）主拱圈的變形約束主拱圈裸拱在荷載P作用下，產生變形。如：撓度f、水平位移和轉角，在資料8中的幾座橋梁現場量測中觀察到以撓度值f最大，并有明顯的規律性，水平位次之，而轉角甚小。實測f、明顯地小于裸拱的理論值。此現象表明：裸拱圈的變形受到腹拱、立墻、側墻和橋面系的約束。特別是橋面系和腹拱對水平位移的約束，能使之減少5070%。這些都表明拱上構造參與主拱圈一起共

12、同受力。與主拱圈相聯的任何種拱上構造，理論上每個節點都有三種約束（垂直、水平、轉動）。這樣，一座單孔的拱橋就有20種以上約束了。要用簡單明確概念來綜合說明這樣多的約束總效果，就必須通過現場實橋的荷載試驗，抓住主要矛盾，舍除次要的因素，才能作出簡化計算圖式的假定。這些假定本身帶有一定的近似性，有些還沒有找到論證，但是只要在宏觀上，能滿足工程的精度要求，就可以論為這些假定基本上是成立的。對圖3、4、6、7的一些假定都應當看成是拱上構造對主拱圈約束的一種體現。應強調指出這些并不完全代表實際，而是很多假定因素綜合的結果，例如前述立墻剛度流域，但在腹拱中多計一些來彌補。由于這些計算假定是來自現場實驗的結

13、果，往往比模型試驗和電算分析更具有實踐性。（三）簡化計算的精度為檢驗“聯合作用簡化計算法”的可靠性，與兩座模型橋（資料5）和一座50米電算橋（資料12）的拱趾彎矩聯合作用折關系數，作了計算比較，如表2。拱趾彎矩折減系數聯裸表橋型方法3米模型4米模型50米橋1簡化法0.5760.560.8062實測或電算0.520.600.815誤差比較10.8%7%1%在資料8中六座橋靜載實驗所量測的撓度、聯合作用折減系數t和8#截面、拱頂水平位移聯合作用折減系數如表3。由表和表數值比較可見，聯合作用簡化計算的精度在以上，這時工程實用而言可以滿足。聯合作用變位折減系數f聯f裸表橋跨項目石肋雙曲拱石砌版肋拱52

14、4-454-35202-4060荷載在L/4附近f實測0.3980.6230.2420.6630.5140.628計算0.3850.5910.2820.7210.4870.712誤差+3%+5%-14%-8%-15%-12%實測0.3210.444計算0.2990.545誤差+7%-18%荷載在拱頂f實測0.830.640.4600.6000.7900.796計算0.7040.8290.831誤差-15%-5%-4%二、位移折減系數如上節分析得到了聯合作用的四次超靜定結構圖式，按常規力法解仍十分見繁。這里引進剛度分配概念，考慮聯合作用的主拱圈水平位移和撓度，用位移法一次求出。（一）主拱圈的剛度

15、按結構定義，使主拱圈某截面產生單位撓度所需的垂直力（或水平力）的大小，為該點的垂直（或水平）剛度。由于主拱圈和腹拱、立墻相聯的點在不同的截面，故可用力法分別求之。（一）水平剛度主、拱趾0使無鉸拱拱趾產生而無轉動時所需要的推力大小，稱拱趾抗推剛度0，如表。f/L項1/51/61/71/81/91/10拱趾K09.8910.2410.4810.6410.6510.66拱背K主8170.04176.72180.75183.63185.60187.17K主12230240.8255.10287.503053202、主腹拱結點。當腹拱矢度較大（f/L=1/41/6）時，腹拱按無鉸拱計的彈性中心水平力X2

16、作用線延長與主拱圈拱軸一般相交在8#截面為主腹拱結點。當腹拱矢度較小（f/L=1/71/100）時結點一般在拱頂12#截面。3、使裸主拱圈的8#（或12#）截面產生單位向外的水平位移8=1（或12=1）所需的水平力大小稱主拱圈拱背抗推剛度K主8（或K主12）如圖9及表4。應當指出，不同拱軸線型K0和K主值有所差別，但相差不大。表4所列為懸索線拱軸線，如需要較精確地數值可另行進行電算求解。（二）垂直剛度C主主拱圈與拱上立墻軸線一般在1#6#截面之間相交。使某一截面產生上翹單位撓度（f=1）所需要的垂直力大小，稱該截面的垂直剛度C主，如圖10。無鉸拱各截面的垂直剛度如表5。立墻與主拱圈軸線相交不在

17、1#6#整數截面時，可用內插法求C主值。無鉸拱懸鏈線不同m值的C主值可參考資料13的撓度影響線求算。即C主i=1/fii式1。fii為P=1作用于i截面上在i截面所產生的（不計彈壓）撓度。f/L截面1/51/61/71/81/91/101#44.04346.78148.71450.10051.13051.9152#7.7638.1858.4808.6908.8458.9623#3.2993.4503.5633.6393.6953.7374#2.0362.1192.1762.2162.2452.2675#1.5601.6141.6521.6771.6701.7106#1.3851.4271.45

18、61.4751.4891.500（二）腹拱剛度(一)腹拱計算圖式：如前所述本文所討論的拱式拱上建筑聯合作用系指腹拱采用三平縫（平鉸）結構者。資料11指出：三平鉸腹拱不同于理論三鉸拱，它在拱趾受壓縮時能似無鉸拱（或單鉸拱）一樣具有抗推（和垂直）剛度。而在拱趾受拉有負水平位移時，它逐漸向三鉸拱靠攏，但抗推和垂直剛度趨近于雙鉸拱值。平鉸拱這種特性是研究聯合作用時一個必須考慮的邊界條件。資料11還論證三平鉸拱的剛度是一個隨拱趾水平位移0大小而不同的變數。為了簡化聯合作用計算，并考慮到還有腹拱的護拱和填料，橋面系拱桿、緣石、側墻對聯合作用的約束，參照實驗反復試算分析結果，假定三平鉸腹拱在拱趾受壓縮時，可

19、綜合地按無鉸拱計算剛度；而拱趾受拉時，可綜合地按三平鉸（即剛度=0）如圖11，由此聯合作用才得到計算的圖3和圖4。實際上，由于三平鉸腹拱初始存在負水平位移0（溫度和彈性壓縮u和主拱8#截面的彈性變位8等），在圖11中左側活載作用下，右側腹拱受壓縮P不一定能抵消0，尚未完全進入無鉸狀態。左側腹拱拱趾受拉P，腹拱相對的水平位移=-（0+P）也尚未使三平鉸進入三鉸狀態。左右腹拱這兩個不同的狀態都存在相應的剛度K。因此，上述簡化假定也就是綜合了這兩者情況并考慮到橋面系的抗推剛度影響，統一由腹拱按無鉸拱的圖式計算抗推剛度。（二）單孔腹拱拱上腹拱的底座標，工程中常用圓弧拱放樣。腹拱的護拱如果如圖12，考慮

20、參與拱圈共同作用（僅拱座的Y高度范圍），腹拱圈可近似按變截面拋物線線拱進行計算，等截面則可近似按n=1處理。1、使腹拱拱趾產生單位水平位移（或垂直位移）所需的推力（或垂直力）稱腹拱的抗推（或垂直）剛度K+（或C+）。下標“+”號是表示拱趾受壓狀態。（拉伸狀態不能按無鉸拱計），如圖13。 式2括號n=1相當等截面拱。2、當拱趾產生水平位稱+時，按無鉸找計算的腹拱贅余力X2如圖書館4，將它移至拱趾時，必定產生相應的拱趾彎距+。X2=K+×+=- X2×YK=-K+×YK 式3應當指出，+必定反作用于主拱關上，+值大小僅與腹拱所承受的壓縮量大小和剛度K+及彈性中心至拱趾

21、的距離YK有關而不由主拱圈性質決定。因此，它不是一個贅余力，而是與X2相應的一個約束力。（三）多孔腹拱：1、二孔腹拱之間的立墻，傳遞主拱圈向上的翹曲，使腹拱趾產生單位撓度 f=1時，二腹拱所產生的垂直抗力稱C腹=2C+。如圖15。2、m孔腹拱，不計立墻剛度時，m端拱趾的抗推剛度K腹可以用一根剛度相等的直桿來代替，如圖16。據資料5分析推算得到K腹等于m分之一K+，即K腹=K+/m式4。由此可見，腹拱孔數愈多則拱端剛度愈小。K腹稱多孔腹拱端等代剛度。（三）位移折減系數（一）撓度折減系數1、主拱圈和立墻的軸線相交的截面i稱結點，該點裸拱圈的剛度C主i由于腹拱C腹的參加，使得產生單位撓度所需要的垂直

22、力增加至C=C主i+C腹如圖17，Ci稱結點的垂直剛度。例如某橋截面2的主拱圈垂剛度為C主2=32.445×103(T/m)，立墻傳遞的兩腹拱垂直剛度C腹=2C+=7.696×103(T/m)2#截面的結點垂直剛度，C2=C主2+C腹=40.1×103(T/m)。2、按照變位法的基本原理，撓度f與垂直剛度C成反比，故考慮腹拱參加主拱圈的共同受力（即考慮聯合作用后），裸主拱圈的撓度應減少至1，1可按式5計算。式5式中fp是裸拱圈在荷載P作用下的撓度式6稱撓度的折減系數又例：2=0.808，主拱圈5#截面C主5=7.03×103(T/m)， C腹=7.696

23、×103(T/m)， C5=(7.03+7.696)×103=14.73×103(T/m)，與2=0.808相較，可見越靠近拱趾，值愈小。（二）水平位移折減系數1、同理，主拱與腹拱彈性中心水平線相交于8#（或12#）截面的裸拱抗推剛度K主i，考慮腹拱K腹的參與作用也提高至Ki如式7所示。Ki= K主i+K腹= K主i+K+/m 式72、據變位法的原理考慮腹拱參與主拱圈受力后，裸拱圈的水平位移P也減少至，如式8式8式中：= = ，稱水平位移折減系數。3、例如某橋腹拱K+=584.47×103(T/m )共三孔，K腹=K+/m=K+/3=194.8×

24、;103(T/m )，主拱圈裸拱的抗推剛度K主8=52.9×103(T/m )，K主12=83×103(T/m )，8#截面的結點抗推剛度K8=K主8+K腹=247.7×103(T/m )，8=K主8/Ki=52.9/247.7=0.2135，12#截面的結點抗推剛度K12=K主12=K腹=277.8×103(T/m )，12=K主12/K12=83/277.8=0.2987。如圖18比較可見，8一般小于12（拱頂）。三、單孔聯合作用計算為了具體敘述單孔無鉸拱的聯合作用計算原理和步驟，現以資料840米橋跨的靜載實驗為例進行說明。該橋的位移折減系數、如前計

25、算，不再累敘。拱軸張均按懸索線計。（一）裸拱圈的計算（一）裸拱內力變位影響線1、無鉸拱在垂直荷載P=1作用下，拱趾、L/8、L/4、3L/8和拱頂等任意截面的彎矩影響張和推力、垂直反力影響線均可在資料14中查得，雙鉸拱則可在資料15中查得。2、在P=1作用下，主拱圈8#截面（或12#截面）的水平位移8（或12）值，見附錄I注意荷載P在左側時，8值是右側腹拱的，而P在右側時，8是左側腹拱的，兩者是相反的。若同一側，因為值為負即平鉸拱拱趾受拉而不產生抗力，如圖19。3、在P=1作用下主拱圈1#6#截面的撓度f影響線座標見資料14，注意使用時選擇立墻與主拱圈軸線相交的結點截面（可內插）。因荷載在拱頂

26、附近不完全對稱，因此左、右兩側的立墻與主拱結點各有一根撓度影響線，例如：f2右、f2左它們是反對稱的。（二）f/L=1/8，L=40米橋跨在拱頂均布荷載P=30T和5#截面均布荷載P=70T作用時，如圖20。在影響線上加載，用常規方法可得到各截面的內力和撓度如表6，由于腹拱矢度f/L=1/8，故腹拱彈性中心水平線與主拱相交于拱頂12#截面。（二）對稱荷載聯合作用荷載在8#81#截面之間（實腹區），對全拱而言，接近對稱狀態。此時拱頂下撓，8#-12#截面的主拱圈均產生向跨中的位移，因此腹拱受拉，不產生壓縮抗力。拱上構造聯合作用主要體現在0#-6#截面間拱圈上撓，通過立墻使腹拱受縮而產生垂直抗力R

27、、如圖21。40m橋跨裸拱內力變位（表6）荷載及位置項目P=30（在12#截面）P=70T（在51#截面）變位×10-3=mm拱圈撓度fP2#-0.485#-0.97-5.4812#2.10-1.71851#-0.978.0021#-0.4812#截面水平位移122.145內力彎矩MP（T-M）0#34.5889.45#-21.58-31.812#32.55-28.851#-21.58103.501#34.58-149.2拱趾推力H（T）54.457.1拱趾垂直力V（T）V左158.8V右1561.2（一）腹拱垂直抗力R腹拱抗力R與結點撓度和腹拱趾垂直剛度C腹大小成正比，即： 式9式

28、中fp為裸拱撓度、1、例如：圖21中40米橋跨，A#立墻在主拱圈2#截面，考慮聯合作用后的撓度2=fp=0.808-0.48×10-3=-0.388×10-3(m)腹拱垂直抗力R2=-2C腹=+(0.388×10-3)×7.696×103=2.985(T)2、圖21中B#立墻在主拱圈5#截面，考慮聯合作用后的撓度5=5fp5=0.477×-0.97×10-3=-0.4627×10-3(m)立墻傳遞的腹拱垂直抗力R5=-5×C腹0.4627×10-3)×7.696×103=3.

29、56(T)(二)抗力R產生的反撓度和內力1、求得腹拱垂直抗力R后，可將它視為外荷作用在圖20的f12、f5、f51，影響線上，求得抗力所產生的反撓度，例如：對拱頂截面的撓度而言：R2=2.985(T) f12R2=2R2-0.017×10-3=-0.10×10-3(m)R5=3.560(T) f12R5=2R5-0.131×10-3=-0.262×10-3(m)式中乘2系對稱P=30T的荷載有兩個立墻抗力。2、將四個抗力R2、R5作用在資料14內力影響線上，同樣可求得0#、5#、12#三個截面的抗力彎矩MP如表7。（三）聯合作用位移及內力在表7中將裸拱的

30、撓度和內力與腹拱垂直抗力R所產生的反撓度內力相加，則得以了聯合作用后的撓度和內力，將撓度和彎左在圖21上。由圖可見P=30T作用在拱頂時，考慮聯合作用與裸拱相較有如下特點：P=30T在拱頂的聯合作用（表7）截面項目051250撓度f×10-3m(=mm)P=30T裸拱fp0-0.972.10-0.970R2=2.985T fR200.100R5=3.560T fR500.507-0.2620.5070f=fp+ fR2+ fR50-0.4631.74-0.4630實測f00-0.101.66-0.100比較f0/f022%95%22%0彎矩M（T-M）P=30T裸拱Mp34.58-2

31、1.5832.55-21.5834.58R2=2.985T MR2-5.580.866-0.9690.866-5.58R5=3.560T MR5-3.826.376-3.5806.376-3.82M=Mp+ MR2+ MR525.18-14.3428.00-14.3425.18軸向力N（T）P=30T裸拱Np55.27456.6454.456.6455.274R2=2.985T NR22.981.3741.321.3742.98R5=3.560T NR56.216.0795.8386.0796.21N=Np+ NR2+NR564.4664.0961.5664.0964.461、拱頂撓度折減系數

32、f=0.83; M=0.86，拱面的計算撓度與實測撓度95%吻合。2、5#截面撓度折減系數f=0.477; M=0.66，實測撓度遠比計算小，可見實際拱上構造的聯合作用比僅按C+計算為大。以腹拱垂直抗力R來反映聯合作用尚有一定的安全度。3、拱趾彎矩折減系數M=0.73，總之用撓度和彎矩的折減系數=聯合作用/裸拱，可以說明聯合作用的程度。在拱頂加載時值一般在0.80左右，這與模型試驗的結果相同，此外需要說明，此P不完全對稱時，則方法相同，僅左右R2、R5大小略有差別而已。（三）不對稱荷載聯合作用荷載P在左側0#-8#截面之間（空腹區）對全拱而言，屬不對稱狀態。此時拱發生向右側移，右側腹拱受水平壓

33、縮，產生腹拱水平抗力Q，如圖22，由于腹拱Q作用在彈性中心，至拱趾產生彎左WQ=QYK。與此同時，右側立墻也上翹傳遞使腹拱趾受壓，將產生垂直抗力R。但是因用剛度分配方法只能求解一個未知數，而實驗又證明在側移情況下Q的作用遠大于R，因此在不對稱荷載時，僅計算Q和WQ，而可忽略不計立墻傳遞的垂直抗斬R，R的作用由腹拱選用無鉸拱的圖式（Q計算偏大）而得到補償。（一）腹拱水平抗力Q1、腹拱水平抗力Q與結點水平位移和多孔腹拱拱端等代剛度K腹大小成正比，即：式10式中P裸拱在P作用下主腹拱結點所產生的水平位移，如附錄I。水平抗力系數，與Q產生的腹拱拱趾彎左WQ=-Q×YK如前面式3。2、例如圖2

34、2，垂直荷載P=70T時，使主腹拱結點12#截面產生水平位移=×P=0.2985×2.145×10-3=0.64×10-3(m)，由此引起腹拱水平抗力Q=×K腹=0.64×10-3×194.8×103=124.85(T)，腹拱的YK=-0.28(m)，WQ=-124.85×(-0.28)=34.83(T)。（二）抗力Q、W所產生的反撓度內力1、單位水平抗力Q=1作用于12#截面（或8#）在拱內產生的彎矩可查附錄。單位腹拱拱趾彎左WQ=1作用于8#截面在拱內氧生的彎矩可查附錄。2、將計算而得到的（Q、WQ）

35、乘以附錄和所查到的單位力彎矩可得到Q、W作用在裸拱圈上所產生的反彎矩，撓度可乘以該橋單位力的撓度值（用圖乘法求得，計算過程從略）而得。P=70T在51#截面時聯合作用（表8）截面項目051250撓度f×10-3m(=mm)P=70T裸拱fp0-5.48-1.7188.000Q=124.85 fQ04.660-4.660W=34.83 fW0-0.710.490.1220f=fp+ fQ+ fW0-1.53-1.2283.5620實測f00-1.26-0.213.320比較f0/f082%17%96%0彎矩M（T-M）P=70T裸拱Mp89.5-31.828.8103.5-149.2Q

36、=124.85 MQ-7733.100-33.1077W=34.83 MW12.35-9.695.42-1.711.14M=Mp+ MQ+ MW24.75-8.39-23.3868.69-71.06軸向力N（T）P=70T裸拱Np57.3057.2957.1071.8778.667Q=124.85 NQ-63.24-63.24±62.4363.2460.950W=34.83 NW2.912.93.363.553.527N=Np+ NQ+ NW-3.03-3.05122.89-1.973138.66143.11（三）聯合作用撓度、內力在表8中將P在裸拱中的撓度和內力與腹拱水平抗力Q及W

37、所產生的反撓度和內力相加則得到聯合作用的撓度和內力，將結果繪在圖22上。由圖可見P=70T作用在5#截面位置時考慮到聯合作用與裸拱相較有如下特點：1、P=70T時5#截面，撓度折減1=0.432,彎矩折減M=0.664，右拱趾彎矩折減系數M=0.476，左拱趾彎左折減系數M=0.276，總之考慮聯合作用后，不對稱荷載P作用下的撓度和內力折減程度平均達到0.5左右，即比裸拱承載力可提高一倍以上。由此可見，在計算中考慮聯合作用巨大效果。2、按本文方法所得計算撓度f=fp+ fQ+ fW與實測值在5#和51#截面有82-96%的吻合度。在拱頂截面，實測值更小，這是因為填料和橋面系等都參與作用未予計入

38、所在地致。應當說明，P在51#截面時，控制設計的是51#和01#截面，由表8數值可見，腹拱WQ=34.83(T-m)對51#截面彎矩M5W=-1.71(T-m)，撓度f5W=0.122(mm)絕對值都很小，因此在計算51#和01#截面內力時可以將WQ忽略不計。WQ對拱頂5#截面影響較大，但該兩截面不控制設計。（四）聯合作用彎矩影響線在生產實踐中，往往只對若干控制設計的截面進行內力計算，因此可以繪制該截面考慮聯合作用的彎矩影響線，再在其上布載。現仍以f/L=1/8，L=40m橋跨為例，以左拱趾彎矩M左和拱頂彎矩MK影響線計算步驟來說明。（一）左拱趾MK影響線1、如圖23，單位荷載P=1分別在左右

39、半拱時：拱頂12#截面的水平位移表值列在表9中。腹拱抗力 單位抗力對左拱趾的彎矩如附錄查得，如圖23上標明。腹拱水平抗力Q對左拱趾的反彎矩MQ=Q。P在左半拱：MQ右=12.935×103表×15.308×10-3L=198L表值P在右半拱：MQ左=12.935×103表×（-15.308×10-3L）=-198L表值2、P=1作用下裸拱圈左拱趾的彎矩MP由資料14中查得，列在表9中。3、將MP和MQ相加，可得到聯合作用彎矩，計算過程如表9，表示如圖24。將圖中正負彎矩的面積和最高座標Y分別計算折減系數Y=Y聯/Y裸，=聯/裸取平均值

40、說明拱趾負彎矩考慮聯合作用折減系數=0.6215，正彎矩考慮聯合作用折減系數=0.595。4、應當指明表9中忽略了WQ影響，對正彎矩有較大誤差，對負彎矩精度足夠。（二）拱面MS影響線1、如圖20單位荷載P=1在0#-10#截面之間時，立墻與主拱的垂直相交結點2#、5#撓度不都是負值，因此產生上翹而引起的垂直抗力RS不大，故仍按產生水平抗力Q計。Q作用在12#截面對MS沒有影響，但WQ=-QYK作用在8#截面，它對拱頂負彎矩有決定性影響，因此可按圖25方法計算。如前知腹拱抗力Q=12.935×103表PWQ=-QYK=-12.935×103表P×(-0.28)=3.

41、6218×103表P由附錄查所以W所產生的拱頂彎矩=3.6218×103表P×0.1556=563.4表P=14L表P2、P=1作用在12#截面時，Q=0，但在圖20上立墻和主拱垂直相交結點2#、5#均產生上翹，因此產生腹拱垂直抗力R2、R5，按圖26方法計算。P=1作用拱頂、2#截面撓度f2P=-16.722×10-6(m/T)。5#截面撓度f5P=-36.538×10-6(m/T)。2#立墻腹拱垂直抗力）5#立墻腹拱垂直抗力）由資料14查到時拱頂彎矩 故抗力R2、R5所產生的拱頂彎矩MR2=2×-4.006×10-3L&

42、#215;(-6.220×103)f2P=2×24.917f2pLMR5=2×-12.484×10-3L×(-3.673×103)f5P=2×24.917f5pL3、P在11#截面時也均使左右側立墻腹拱上翹而產生垂直抗力R，用同樣方法計算，但注意左右R值不等（當fp為正值時則R=0）例如：11#截面 垂直抗力R引起彎矩M12R2=-0.79×10-3L M12R5=-3.148×10-3L10#截面 M12R2=-0.766×10-3L M12R5=-4.116×10-3L9#截面 M12R2=-0.76×10-3L M12R5=-4.664×10-3L拱趾彎矩影響線（表9）MP位置MQ=±198LP表MPM折減系數附錄I PMQ附錄VMP+MQM/MP×10-3×10-3L×10-3L×10-3L0000010.0147612.293-34.0153-31.0920.91420.0476909.443-54.568-45.1250.82730.08828417.480-64.313-46.8330.72840.12682625.111-65.533-40.4220.61750.1