1、螞蟻爬行的最短路徑正方體4.如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的 B點處，它爬行的最短路線是（）A? Q? BC . A? R? B DA? S? B解：根據兩點之間線段最短可知選A.故選A.2.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點最短距離是為第7題解：如圖將正方體展開，根據“兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線.2, BC的中點為 M, 只螞蟻從 A點爬行到 M點的最短距離解：將正方體展開，連接 M D1, 根據兩點之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3MD= MD2 DD12.3222, 13 .B是正方體的一個頂點，正方

2、體的棱長為2,B的最短路程是()10 .故選 c.9. 如圖所示一棱長為 3cm的正方體，把所有的面均分成 3X3個小正方形.其邊長都為1cm,的路線.2cm,則它從下底面點 A沿表面爬行至側面的 B點，最少要用 秒鐘.，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最:(1)展開前面右面由勾股定理得AB= -:：':=門 cm;(2)展開底面右面由勾股定理得AB= J- ' I I.J ' =5cm；5.如圖，點A的正方體左側面的中心，點 螞蟻從點A沿其表面爬到點所以最短路徑長為 5cm用時最少：5十2=秒.長方體10. (2009?恩施州)如圖，長方體的長為

3、15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是解：將長方體展開，連接A、11. 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發，沿長方體的表面爬到對角頂點Ci處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為.D1A1DC1解：正面和上面沿 Ai B展開如圖,二 ac= Jab2BCi2r連杖AC, ABC是直角三角形,1 22、42 32518.（ 2011?荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從PA=2X（ 4+2） =12, QA=5 PQ=13故答案為：13.19.如圖，一塊長方體磚寬

4、AN=5cm 長ND=10cm CD上的點 B距地面的高 BD=8cm地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？解：在Rt ABD中，因為 AD=AN+ND=5+10=15BD=8所以 aB"=A5+bD=152+82=289=172.所以 AB=17cm故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.49、如圖，長方體盒子(無蓋)的長、寬、高分別 12cm ,8cm,30cm.(1)在AB中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數種走法，則最短路程 是多少？ 此長方體盒子(有蓋)能放入木棒的最大長度是多少？12. 如圖所示：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，

5、一只小螞蟻從A點爬到B路徑一：AB= -：-'： = - :JJ ;路徑二：AB= - -' ' ! ： =5;路徑三：AB= 二= :;>5,5米為最短路徑.13. 如圖，直四棱柱側棱長為4cm,底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點 A出發沿棱柱的表面爬到頂點 B.求：(1 )螞蟻經過的最短路程；(2 )螞蟻沿著棱爬行(不能重復爬行同一條棱)的最長路程.Z;11it暑7A解：（1） AB的長就為最短路線.然后根據若螞蟻沿側面爬行，則經過的路程為二-八I（cm）;若螞蟻沿側面和底面爬行，則經過的路程為："-（cm）,或 J I' I

6、 ：-'（cm）所以螞蟻經過的最短路程是#何cm.（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=3Qc最長路程是 30cm.15.如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm, 8cm, 4cm. 只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是 。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm則所走的最短線段是匚匸廠=6江cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是 i "-_' = d cm;第三種情況：把我們所看到的

7、前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm,所以走的最短線段是i - - =2 ； :. cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.51.圓柱形坡璃容器，高 18cm,底面周長為60cm,在外側距下底1cm點S處有一蜘蛛，與 蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度。16.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm 3cm 2cm. A和B是這個臺階上兩個相對的端點， 點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物， 則螞蟻沿著臺階 面爬行到點B的最短路程為cm2C解：三級臺階平面展開圖為長方

8、形，長為20cm,寬為(2+3)x 3cm則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+ ( 2+3)X 3 2=252,解得x=25.故答案為25.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B是這個臺階的兩個相對的端點,A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想,17如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于所以 AB=AC+BC=169,所以 AB=13 (cm),所以螞蟻爬行的最短線路為 答：螞蟻爬行的最短線路為cm這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是解：將臺階展開，如下圖，因

9、為 AC=3< 3+1X 3=12, BC=5,13cm.13cm.圓柱21有一圓柱體如圖，高4cm,底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C, D分別是BE, AF的中點.AF=2tt ? 5=10n. AD=5t.AC= . AD CD 16cm故答案為：16cm.scEz4 D F22. 有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為6m 一只老鼠從距底面 1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為解: AB=.,.52 12213m23. 如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA的端點A到達Ai,若圓柱底面半

10、徑為 -,A最短距離為解：因為圓柱底面圓的周長為2 nX =12,高為5,所以將側面展開為一長為 12,寬為5的矩形, 根據勾股定理，對角線長為'!- ' =13.故螞蟻爬行的最短距離為13.由于圓柱體的底面周長為24. 如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,高AB為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點24cm,則 AD=24X 1 =12cm.2又因為 CD=AB=9cm 所以 AC= . '=15cm.故螞蟻從點A出發沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm.故答案為：15.25. （ 2006?荊州）有一圓柱體高為 10cm底面圓的半徑為 4cm, AA

11、, BB為相對的兩條母 線.在AA上有一個蜘蛛 Q QA=3cm在BB上有一只蒼蠅 P，PB=2cm,蜘蛛沿圓柱體側面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是cm（結果用帶 n和根號的式子表示）QA(1)可設計AB+AC路徑;(2)可設計AD+BD+C路徑;(3)可設計AE+EB+E（路徑。解：QA=3 PB=2，即可把PQ放到一個直角邊是 4n和5的直角三角形中，根據勾股定理得：QP= 最短路線問題通常是以“平面內連結兩點的線中，線段最短”為原則引申岀來的們在牛產、牛活實踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡單談一下初中數學中遇到的最短路線問題。' 對于數學中的最短路線問

12、題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內；第二類為空間幾何體中的最短路線 問題，對于平面內的最短路線問題可先畫岀方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。I .求三點距離相等時，一點到兩點的距離最短設計方案例1.為改善白銀市民吃水質量，市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。已知 A、B C之間的距離相等，為了節約成本降低造價，請你設計一種最優方案，使鋪設的輸水管道最短，在圖中用實線畫 岀你所設計方案的線路圖。解析：可根據三點所構成的三角形形狀及三線合一的性質，可求最短路線及設計圖。應用：已知三角形 ABC中，/ A= 20度，AB= AC= 20cm, M N分別為AB AC上兩點，求BN+ MN

13、 MC的最小值。山。求圓上點，使這點與圓外點的距離最小的方案設計例3.已知圓形花壇以及花壇外一居民區，要在花壇與居民區之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一 點，使其與居民區之間的距離最小。解析：在此問題中可根據圓上最遠點與最近點和點的關系可得最優設計方案。應用：一點到圓上的點的最大距離為 9,最短距離為1,則圓的半徑為多少？關于立體圖形表面的最短路徑問題 ，又稱“繞線問題”是幾何中很富趣味性的一類向題 .它牽涉的知 識面廣，溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯系，能訓練學生的空間想象能力。 而且，也很富有技巧 性.在此討論幾個問題，僅供參考。I。在圓柱中，可將其側面展開求岀最短路程H。在長方

14、體(正方體)中，求最短路程例5.在長方體盒子的 A點有一昆蟲，在B點有它最喜歡吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得 所爬路程最短，如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c.則最短路程為多少.解析：將其中含有一點的面展開，與含另一點的面在同一平面內即可，主要可以分為三種情形：Si(1) 將右側面展開與下底面在同一平面內，可得其路程為:(2) 將前表面展開與上表面在同一平面內，可得其路程為:(3) 將上表面展開與左側面在同一平面內，可得其路程為:然后比較Si、S2、S3的大小，即可得到最短路程.應用：一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體和蜘蛛相對的頂點Ci處。蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長方體的表面向上爬，它要從A點爬到Ci點，它應沿著怎樣的路線爬行，才能在最短的時間內捉住蒼蠅？山。在圓錐中，求最短路徑問題例6在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從A點岀發，在其表面繞一周又回到 A點,如果繞行所走的路程最短，畫岀設計方案圖。解析：將圓錐側面展開，根據同一平面內的問題可求出最優設計方案應用：如圖，一直圓錐的母線長為 QA=8底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從 A點出發,繞圓錐的側面