1、探討定積分不等式的證明方法摘要：文章針對被積函數的特性，給出了幾種關于定積分不等式的有效證明方法。關鍵詞：定積分 不等式 證法不等式的證明在高等數學的學習中很常見，但關于定積分不等式的證明卻一直是一個難點。要證明定積分不等式，首先要看被積函數，其性質確定證明方法。本文根據被積函數的連續性、單調性、可導性等分別給出幾種證法。1運用定積分中值定理證明定積分中值定理是將定積分轉化為連續函數在該區間上某點的函數值與該區間長度的乘積，即將定積分轉化為函數來證明不等式。例1：設在0,1上連續且單調不增，證明0,1有證明：由原不等式變形得,即是要證：,對左式，在0,1上連續，故由定積分中值定理知：使 ,同理

2、對右式：使,顯然，12又f(x)在0,1上單調不增，(1)(2)故原不等式成立.定積分中值定理的運用直觀易懂，它的條件也極其簡單，易于掌握。2運用輔助函數證明構造輔助函數F(x)證明不等式，首先是做函數將要證結論中的積分上限（下限）換成x，移項使不等式的一邊為零，另一邊的表達式即是輔助函數。然后再求F(x)，并運用單調性及區間端點值特性證明不等式。例2：設在a，b上連續,且0.試證：證明：構造輔助函數（將b換成x），則 = =0，又，即單調不減，又，故該題構造出積分上限函數，其目的是用單調性來證明不等式。這種方法開門見山、直截了當。3運用定積分的性質和幾何意義證明與定積分的概念相聯系“以直代曲

3、”的“近似代替”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更加簡捷。例：證明不等式證明：因為時，兩端積分得： 例：設時，證明不等式證明：，根據定積分的幾何意義知：，即.本題關鍵在于深刻領悟定積分概念的由來，即求曲邊梯形的面積問題推導的四個步驟：分割、取點、作和與求極限，這里充分運用了“近似代替”的幾何直觀來加以證明。4運用拉格朗日中值定理證明利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先要構造滿足中值定理條件的函數和區間，然后進行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數的絕對值不等式等。例5：設在上可導，且，試證：.證明：由題設，在a，b上都滿足拉氏中值定理的條件，于是有：，兩邊在a，b上定積

4、分得：.此題運用拉格朗日中值定理簡直如行云流水，如果采用其他辦法顯然比較繁瑣。5運用Taylor公式證明當已知被積函數f(x)二階或二階以上可導且又知最高階導數的符號時，通常采用泰勒展開式來證明。首先要寫出f(x)的泰勒展開式，然后根據題意寫出某些點的泰勒展開式，再進行適當的放縮以變成不等式，最后用定積分的性質進行處理。例6：設在上單調增加，且0，證明證明：先證左不等號：，單調增加，所以故 （1）再證右不等號：，在點x處的Taylor展式為：,其中在t與x之間，因0，所以，將分別代入上式并相加得：，將此式在上積分得：，有，故 （2）綜合（1）、（2），原不等式得證.Taylor公式的應用在大學

5、數學的學習中是一個絕對的難點，往往很難掌握。一個題目在你用其他方式很難解決時，Taylor公式常會給你意想不到的突破。6運用柯西斯瓦茲不等式證明柯西斯瓦茲不等式：例7：設在0,1上有一階連續導數且，試證：.證明：，又，所以，因 在0,1上可導，所以在0,1上連續，由柯西斯瓦茲不等式得：，即是.柯西斯瓦茲不等式是大學數學中的又一難點，雖然記憶起來并不困難，但應用是靈活多變的。7運用重積分證明重積分要化為定積分來計算，這是眾所周知的事實，但反之定積分的乘積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來證明，也是一種常見的方法。例8：設是在0，1上單調增加的連續函數，試證：.證明：設 = =（1）同樣 （2）（1）+（2）可得，由于在0，1上單調增加，故，從而即總的來說