1、.-高等數學高等數學1高等數學電子教案高等數學電子教案.-高等數學高等數學2主要內容主要內容典型例題典型例題習習 題題 課課第一章第一章 函數極限與連續函數極限與連續.-高等數學高等數學3 一、基本要求 1、理解函數的概念、了解函數的性質. 2、理解數列和函數極限的定義；掌握極限的性質、存在準則，熟練應用極限運算法則求數列和函數極限。 3、了解無窮小與無窮大的定義和性質，掌握等價無窮小的運算性質。 4、掌握函數連續性和間斷點，理解連續函數的性質。.-高等數學高等數學4（一）極限的概念（一）極限的概念（二）連續的概念（二）連續的概念二、主要內容.-高等數學高等數學5左右極限左右極限兩個重要兩個重

2、要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質的性質極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準則存在的準則無窮小的比較無窮小的比較極限的性質極限的性質數列極限數列極限函函 數數 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價無窮小等價無窮小及其性質及其性質唯一性唯一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關系關系無窮大無窮大 )(limxf.-高等數學高等數學6., 0, 0 axNnNn恒恒有有時時使使1. 1. 極限的定義極限的定義定定義義N 定定義義 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它 多多么么

3、小小) ), ,總總存存在在正正整整數數 N, ,使使得得對對于于Nn 時時 的的一一切切nx, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就稱稱 常常數數 a是是數數列列nx的的極極限限, ,或或者者稱稱數數列列 nx收收斂斂 于于 a, ,記記為為 ,limaxnn 或或 ).( naxn .-高等數學高等數學7定義定義 設函數設函數)(xf 在點在點 0 x的某一去心鄰域的某一去心鄰域內有定義，內有定義，對于任意給定的正數對于任意給定的正數 ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數總存在正數 , ,使得當使得當 x滿足不等式滿足不等式 00 xx時，對應的函數值時，對應的

4、函數值 )(xf都滿足都滿足 不等式不等式 Axf)(, ,那么常數那么常數 A就叫函數就叫函數時時的的極極限限當當0)(xxxf, ,記作記作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當.-高等數學高等數學8左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAx

5、fxx 定定理理.-高等數學高等數學9定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim定義定義 設函數設函數 )(xf當當 x大于某一正數時有定大于某一正數時有定義，義， 對于任意給定的正數對于任意給定的正數 ( (不論它多么小不論它多么小),),總存總存在正數在正數 X, ,使得當使得當 x滿足不等式滿足不等式 Xx 時，對應時，對應的函數值的函數值 )(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那那么常數么常數 A就叫函數就叫函數 時時的的極極限限當當 xxf)(, ,記記作作)()()(lim xAxfAxfx當當或或 .-高等數學高等數學10:.

6、10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當:.20情形情形x Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且.-高等數學高等數學11無窮小無窮小:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數為無

7、窮小無窮大的倒數為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮小的倒數為無窮大零的無窮小的倒數為無窮大. .無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系2. 2. 無窮小與無窮大無窮小與無窮大.-高等數學高等數學12定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數和有限個無窮小的代數和仍是無窮小仍是無窮小.定理定理2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小

8、的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質無窮小的運算性質.-高等數學高等數學13定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數數而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數是正整數而而存在存在如果如果推論推論2 23. 3. 極限的性質極限的性質.-高等數學高等數學144. 4. 求極限的常用方法求極限的常用方法a.多項式與分式函數代入法求極限多項式與分

9、式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限利用左右極限求分段函數極限.-高等數學高等數學15準準則則 如如果果當當),(00rxUx (或或Mx )時時,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在,且且等等于于A.5. 5. 判定極限存在的準則判定極限存在的準則準準則則 單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限.(夾逼準則夾逼準則).-

10、高等數學高等數學16(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某某過過程程.)1(lim1e 某過程某過程6. 6. 兩個重要極限兩個重要極限.-高等數學高等數學17);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設設;),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地7. 7. 無窮小的比較無窮小的比較.-高等數

11、學高等數學18定理定理(等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設設.),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.8. 等價無窮小的性質等價無窮小的性質9. 極限的唯一性極限的唯一性.-高等數學高等數學19左右連續左右連續在區間在區間a,ba,b上連續上連續連續函數連續函數的的 性性 質質初等函數初等函數的連續性的連續性間斷點定義間斷點定義連連 續續 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續的連續的充要條件充要條件連續函數的連續函數的

12、運算性質運算性質非初等函數非初等函數的連續性的連續性 振蕩間斷點振蕩間斷點 無窮間斷點無窮間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 可去間斷點可去間斷點第一類第一類 第二類第二類.-高等數學高等數學20定義定義1 1 設函數設函數)(xf在點在點0 x的某一鄰域內有定義的某一鄰域內有定義, ,如果當自變量的增量如果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函數對應的函數的增量的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就稱函數那末就稱函數)(xf在點在點0 x連續連續, ,0 x稱為稱為)(xf的連的連續點續點. .1. 1. 連續的定義

13、連續的定義).()(lim200 xfxfxx 定義定義.-高等數學高等數學21定理定理.)()(00既既左左連連續續又又右右連連續續處處在在是是函函數數處處連連續續在在函函數數xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續處右連續在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfbxxf 3. 3. 連續的充要條件連續的充要條件2. 2. 單側連續單側連續;)(),()0(,()(0000處左連續處左連續在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfxaxf .-高等數學高等數學22:)(0條條件件處處連連續續必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點

14、函函數數xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續點的不連續點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續處不連續在點在點函數函數則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf4. 4. 間斷點的定義間斷點的定義.-高等數學高等數學23(1) 跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數為函數則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf (2)可去

15、間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5. 5. 間斷點的分類間斷點的分類.-高等數學高等數學24跳躍間斷點與可去間斷點統稱為跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點第一類間斷點.特點特點: :.,0右極限都存在右極限都存在處的左處的左函數在點函數在點x可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點跳躍型跳躍型0yx0 x0yx0 x.-高等數學高等數學250yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點0yx0 x第二類間斷

16、點第二類間斷點.)(,)(00類間斷點類間斷點的第二的第二為函數為函數則稱點則稱點至少有一個不存在至少有一個不存在右極限右極限處的左處的左在點在點如果如果xfxxxf.-高等數學高等數學26.,)(,),(上連續上連續在閉區間在閉區間函數函數則稱則稱處左連續處左連續在右端點在右端點處右連續處右連續并且在左端點并且在左端點內連續內連續如果函數在開區間如果函數在開區間baxfbxaxba 6. 6. 閉區間的連續性閉區間的連續性7. 7. 連續性的運算性質連續性的運算性質定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續處也連續在點在點則則處連續處連續在點在點若函數若函數xx

17、gxgxfxgxfxgxfxxgxf .-高等數學高等數學27定理定理1 1 嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連續反函數續反函數. .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續續在在點點函函數數若若8. 8. 初等函數的連續性初等函數的連續性.)(,)(,)(,)(00000也連續也連續在點在點則復合函數則復合函數連續連續在點在點而函數而函數且且連續連續在點在點設函數設函數xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3.-高等數學高等數學28定理定理4 4 基本初等函數在定義域內是連續

18、的基本初等函數在定義域內是連續的.定理定理5 5 一切初等函數在其一切初等函數在其定義區間定義區間內都是連續的內都是連續的.定義區間是指包含在定義域內的區間定義區間是指包含在定義域內的區間.9. 9. 閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區間上連續在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值的函數一定有最大值和最小值. .-高等數學高等數學29定理定理上連續，且上連續，且那末在開區間那末在開區間點點3(3(零點定理零點定理 ) ) 設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間 ba,)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( b

19、. faf),),( () )ba,內至少有函數內至少有函數)(xf的一個零的一個零, ,即至少有一點即至少有一點x x)(ba x x ，使，使0)( x xf. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區間上連續的函數一定在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界在該區間上有界. .-高等數學高等數學30推論推論 在閉區間上連續的函數必取得介于最大值在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理 ) ) 設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間 ba, 上上連續，且在這區間的端點取不同的函數值連續，且在這區間的端點取不

20、同的函數值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數之間的任意一個數C，在開區間，在開區間( () )ba,內至少有一點內至少有一點x x，使得，使得cf x x)( )(ba x x . .-高等數學高等數學31).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當當2.2.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設設 1.1.3.3. 典型例題典型例題.-高等數學高等數學32.1,2cos1,1)(的的連連續續性性討討論論 xx

21、xxxf).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)(x xx xx xffffxf 使使得得證證明明必必有有一一點點且且上上連連續續在在閉閉區區間間設設()()().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求設6.6.4.4.5.5.-高等數學高等數學33 典型例題解答典型例題解答).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當當1.1.-高等數學高等數學34解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 則則xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(

22、lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時時當當.-高等數學高等數學35.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設設,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 2.2.-高等數學高等數學36310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1

23、()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式.-高等數學高等數學37).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設設 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定系系數數其其中中可可設設babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得xxxxp 232)(故故3.3.-高等數學高等數學38()() ().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求設4.4.解解()()()，知，由1221212212212212122nnnnnnnnnnn.-高等數學高等數學39.12112221276655443322121265432122nnnnnnnxn故，.-高等數學高等數學4