1、精選優質文檔-傾情為你奉上三角形五心及其性質延伸1.內心：三角形三條內角平分線的交點,也是三角形內切圓的圓心。 角平分線性質:到角兩邊距離相等.內心性質：到三角形三邊距離相等。ABDCEcbc延伸：內角平分線定理 如圖，AD為ABC中的平分線，則有 證明過程如下：作BE/AC交其延長線于E,則.,=c.又BE/AC,易證ADC EDB, ,得證。ABCDEF外角平分線定理如圖，AD為ABC的外角平分線，交BC 延長線于D，則有證明過程如下：作CE/AB交AD于E,則.,.又CE/AB,易證ADB EDC, ,得證。三角形內角平分線長公式cbcAFBDCE如圖，AD為ABC中的平分線，則有證明過

2、程如下：作BE/AC交其延長線于E,BFAE交其于F。由前文的內角平分線定理可知，ADC EDB, .又,即.而ABE為等腰三角形, BFAE,.OAFBDCE內心到三邊距離r(三角形內切圓半徑)設三角形面積為S，則有證明過程如下：連接OA,OB,OC. 相切，即SAOB = ，同理SAOC = ，SBOC = .又S=SAOB + SAOC + SBOC ,即S= ,.2.重心:三角形三條中線交點AGFECBDH中線性質:將三角形面積等分成兩部分. 重心性質:分三角形的中線兩段長比例為2:1(長:短) 如圖:AD,BE,CF為ABC三條中線，G為其重心，則有 證明過程如下：作BH/FC交AD

3、延長線于H,易證GDC HDB，又BH/FG，F為AB中點，G也為AH中點，即，其他同證.AFBEDC延伸:三角形中線長公式如圖,AD為ABC的中線,則有證明過程如下:作BE/AC交AD延長線于E,易證ADC EDB，BE/AC，。作AFEB交其延長線于F。又AB=c，BF=AB=，AF=，故EF=。=3.外心：三角形三邊垂直平分線的交點,三角形外接圓圓心。.OABDC垂直平分線性質:到線段兩端點距離相等。外心性質：到三角形三個頂點距離相等。內心到三頂點距離R(三角形外接圓半徑)R= (某邊除以它對角正弦的2倍)證明過程于下:連接AO并延長交圓O于D,則AD為圓直徑,AD=2R.又(直徑所對的

4、圓周角是),AB=c, (同弧AB所對的圓周角相等),AD= ,即2R , R= .延伸:正弦定理由于R= ,同理易證,變形得到ABCD正弦定理: (每邊除以它所對角的正弦為2R)延伸:余弦定理 （）證明過程如下：作CD AB交其于D，BD= ，又，即=，其他邊角也同求4.旁心：三角形一個內與另外兩個外角的平分線的。 旁心性質：三角形的四心（內心、重心、垂心、外心）只有一個，P2ACP3P1BM2M3N1N3N2 但旁心有三個，旁心到三角形三邊所在直線距離相等。證明過程如下：如圖，P1、P2、P3為ABC三個旁心。以P1為例，P1在平分線上，P1到AB、AM2距離相等，即P1到AB、AC所在直線M1N1、M2N2距離相等，同理，P1在平分線上，P1到AB、BM3距離相等，即P1到AB、BC所在直線M1N1、M3N3距離相等,故得到旁心到三邊所在直線距離相等。ABDC