1、1. 典型的離散時間信號及序列的運算典型的離散時間信號及序列的運算2. 線性時不變離散系統的差分方程及其解法線性時不變離散系統的差分方程及其解法3. 離散時間系統的單位樣值響應離散時間系統的單位樣值響應 4. 離散卷積和及其求離散時間系統的零狀態離散卷積和及其求離散時間系統的零狀態響應的方法響應的方法l 重點重點：第第7 7章章 離散時間系統的時域分析離散時間系統的時域分析7.1 引言引言分析方法：分析方法：離散時間系統的分析方法與連續時間離散時間系統的分析方法與連續時間 系統的分析方法有著并行的相似性系統的分析方法有著并行的相似性連續系統連續系統離散系統離散系統數學模型數學模型微分方程微分方

2、程差分方程差分方程時域分析時域分析微分方程經典解法微分方程經典解法卷積卷積差分方程經典解法差分方程經典解法卷積和卷積和變換域分析變換域分析傅里葉變換傅里葉變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換z變換變換7.2 離散時間信號離散時間信號序列序列一、序列的概念一、序列的概念1、定義、定義序列序列只在某些離散瞬間給出只在某些離散瞬間給出函數值的時間函數，稱函數值的時間函數，稱為離散時間信號。為離散時間信號。11/21/41/80 1 2 3n11111( )1( )2482nf n 例例序列序列x(n)在時在時間變量上是離間變量上是離散的，僅在離散的，僅在離散時刻散時刻tn (

3、n=0，1，2，3，)才有定義才有定義，而在未給出，而在未給出函數值的其它函數值的其它時刻，信號沒時刻，信號沒有定義有定義不能理解為零不能理解為零 例例由連續時間信號由連續時間信號x(t)到離散時間信號到離散時間信號x(n)單位樣值抽樣單位樣值抽樣T為抽樣間隔為抽樣間隔(或抽樣周期或抽樣周期)2、序列、序列x(n)的描述方式的描述方式2）逐個列式（開式）逐個列式（開式）例如：例如： x(n) = ,0.5,2,3,1,5,0.5,2,3,1,5, ;3210151325 . 0)(nnnnnnx表示表示x(0) 3）圖示）圖示1）解析式）解析式 （閉式）（閉式） x(n) = 2n 例如：例如

4、： x(n) = u(n) x(n) = sin(2n)二、二、 序列的運算序列的運算1相加（減）相加（減） z( n ) = x( n ) y( n )兩序列相加（減），就是將它們對應樣點值兩序列相加（減），就是將它們對應樣點值分別相加（減），構成一個新的序列。分別相加（減），構成一個新的序列。例例10( )( )()()NNmRnu nu nNnm 序列移位是指原序列逐項依次移動，也叫序列延時。序列移位是指原序列逐項依次移動，也叫序列延時。2序列相乘（除）序列相乘（除） z( n ) = x( n ) y( n ) z( n ) = x( n ) / y( n )兩序列相乘（除），就是將它

5、們對應樣點值兩序列相乘（除），就是將它們對應樣點值分別相乘（除），構成一個新的序列。分別相乘（除），構成一個新的序列。3序列移位序列移位 z( n ) = x( n - m ) ; 向右移（后移）向右移（后移） （m0） z( n ) = x( n + m ) ; 向左移（前移）向左移（前移）例例mmnmxnx)()()(序列的分解：序列的分解：將任意序列表示為加權、延遲的單位樣值信號之和將任意序列表示為加權、延遲的單位樣值信號之和4折疊及其位移折疊及其位移將原序列以縱軸為對稱軸翻轉將原序列以縱軸為對稱軸翻轉180所得的序列為所得的序列為折疊序列。將折疊序列移位則得到折疊位移序列。折疊序列。將

6、折疊序列移位則得到折疊位移序列。例例)()(mnxnzx(n)322110-1n3x(-n)32-21-1 0-1n-3x(-n+1)32-1101-1n-25序列展縮序列展縮 (1) 縮縮 y( n ) = x( m n ) 是是x( n )序列每隔序列每隔m-1點取一點所形成點取一點所形成x( 2n ) )3221103n3x( n ) )22110-13n（2）展）展 y( n ) = x( n / m ) 是由是由x( n )序列每一點加序列每一點加m-1個零值點所形成個零值點所形成3x(n) )22110-13nx(n/2)3211 2 3 4 5 n0-166. 差分差分 一階向前

7、差分：一階向前差分：x( n ) = x( n + 1 ) - x( n ) 一階向后差分：一階向后差分： x( n ) = x( n ) - x( n - 1 )二階向后差分：二階向后差分：2x( n ) = x( n ) - x( n - 1 ) = x( n ) - x( n - 1 ) - x( n -1 ) - x( n - 2 ) = x( n ) - 2x( n - 1 ) - x( n - 2 )-3 -2 -1 0 1 2 3 n1(n)三、常用的典型序列三、常用的典型序列1.單位樣值信號單位樣值信號(n)10()00nnn 2. 單位階躍序列單位階躍序列 u (n)10(

8、)00nu nn u(n)1-3 -2 -1 0 1 2 3 n0)()() 1()()(kknknnnnu) 1()()(nunun(n)與與u (n)的關系的關系3. 單位矩形序列單位矩形序列RN (n)101( )00,NnNRnnnN RN(n)1-2 -1 0 1 2 N-1 N nRN (n) 與與(n)和和u (n)的關系的關系10)()()()(NkNknNnununR4. 斜變序列斜變序列 n u(n)x(n) = n u(n) -1 0 1 2 3 nn u(n)3125. 指數序列指數序列 x(n) = an u(n) 序序 列列 發發 散散 序序 列列 收收 斂斂 序序

9、列列正正、負負擺擺動動 -1 0 1 2 3 nanu(n)0 a 1anu(n)-1 0 1 2 3 na -1anu(n)anu(n)-1 a P2、當、當P為無理數時，為無理數時，sin( n0 )為非周期序列為非周期序列sin( n0 )為周期序列為周期序列周期為周期為n0 等于等于2 2整數倍的最小整數倍的最小n值值7. 復指數序列復指數序列 x(n) = e j0n x(n) = e j0n = cos(0n) + j sin(0n) ；直角坐標形式；直角坐標形式極坐標形式：極坐標形式：x(n) = e j0n = |x(n)| e j arg x(n) 其中：其中： |x(n)|

10、 = 1 arg x(n) = arg sin(0n) / cos(0n) = 0n作業：作業：P36P36，7-17-1（1 1）（）（4 4），），7-37-3（1 1），），7-47-4補充：補充： 用用MATLAB進行序列的運算進行序列的運算離散信號可用離散信號可用MATLAB中的向量表示，一個長中的向量表示，一個長度為度為N的有限序列的的有限序列的MATLAB表示為表示為 x=x(0) x(1) x(2) x(3) x(N-1)或或x=x(0)，x(1)，x(2)，x(3)， ，x(N-1)源程序如下：源程序如下：%create a Step Sequencen0=0;n1=-5;n

11、2=5;n=n1:n2;x=(n-n0)=0;stem(n,x)xlabel(n);ylabel(x);title(Step Sequence)grid運行結果可運行結果可上機練習上機練習例例用用MATLABMATLAB程序生成單位階躍序列，程序生成單位階躍序列，n-5,5-5,5 ！除可用上面編程產生各種信號外，在除可用上面編程產生各種信號外，在MATLABMATLAB信號處理工具箱中，提供了一些特殊信號生信號處理工具箱中，提供了一些特殊信號生成函數，在使用時可直接調用。成函數，在使用時可直接調用。7.3 離散時間系統的數學模型離散時間系統的數學模型1、離散系統：、離散系統：輸入輸入x(n)

12、輸出輸出y(n)均為離散信號均為離散信號x(n)y(n)離散時間離散時間系統系統x(n)0 1 2 3 ny(n)30 1 2 n一、基本概念一、基本概念系統的功能：完成系統的功能：完成x(n)轉變為轉變為y(n)的運算的運算2、線性時不變離散系統、線性時不變離散系統（1）線性系統的均勻性與疊加性）線性系統的均勻性與疊加性x1(n)x2(n)c1x1(n) + c2x2(n)線性線性時不變時不變y1(n)y2(n)c1y1(n) + c2y2(n)（2）時不變系統特性）時不變系統特性線性線性時不變時不變3、離散時間系統的基本運算單元符號、離散時間系統的基本運算單元符號組成離散系統模擬框圖的基本

13、運算單元如下各圖所示組成離散系統模擬框圖的基本運算單元如下各圖所示D1/E單位延時器單位延時器加法器加法器x(n)ax(n)aa數乘器數乘器線性時不變連續系統的數學模型是微分方程線性時不變連續系統的數學模型是微分方程線性時不變離散系統的數學模型是差分方程線性時不變離散系統的數學模型是差分方程二、差分方程的建立二、差分方程的建立作業：作業：P38P38，7-87-8例例求所示模擬框圖所描述系統的差分方程求所示模擬框圖所描述系統的差分方程整理整理列方程列方程: : y(n) = x(n-1) + a y(n-1) + y(n-1)解解x(n)Dy(n)Day(n) (a + 1) y(n-1) =

14、 x(n-1)一階常系數線性差分方程一階常系數線性差分方程方程階數：未知序列變量序號最高與最低值之差方程階數：未知序列變量序號最高與最低值之差7.4 常系數線性差分方程的求解常系數線性差分方程的求解一、差分方程的形式與幾種解法一、差分方程的形式與幾種解法1、一般形式（、一般形式（N階）階）MrrNkkrnxbknya00)()(2、解法、解法（1）迭）迭 代代 法法（2）經）經 典典 法：完法：完 全全 解解 = 齊齊 次次 解解 + 特特 解解（3）雙）雙 零零 法：完全響應法：完全響應 = 零輸入響應零輸入響應+零狀態響應零狀態響應（4）變換域法：）變換域法：z 變變 換換 法法 （重點）

15、（重點）二、求解差分方程二、求解差分方程1、迭代法：、迭代法：也稱為遞推法，差分方程是一種遞推形式也稱為遞推法，差分方程是一種遞推形式 的方程式，因此可以用遞推算法求解。的方程式，因此可以用遞推算法求解。例例求模擬框圖所描述系統的差分方程。已知求模擬框圖所描述系統的差分方程。已知x(n)=(n)，且，且n0時，時，y(n)=0。1/Ex(n)y(n)a(1)( )( )y nay nx n 即即(1)( )( )y nay nx n 解解(1)(0)(0)( )1yayxn (2)(1)(1)yayxa 2(3)(2)(2) yayxa (0)( 1)( 1)yayx = 0) 1()(1nu

16、anyn全解全解 y (n)為為hp()()()y nynyn （1）齊次解）齊次解2、經典法：、經典法：齊次解齊次解特解特解N 階齊次差分方程階齊次差分方程0)(0Nkkknya其特征其特征方程方程00NkkNka特征根特征根N,21 單根單根h1122( )nnnNNy nCCC 討論：齊次解的形式討論：齊次解的形式N,21 重根重根齊次解形式齊次解形式其中：其中：Ci待定系數待定系數設設1為為k重根，其對應的齊次解為重根，其對應的齊次解為nkkkkCnCnCnC112211k項項 共軛復根共軛復根arctan222, 1rrejj其中：齊次解形式齊次解形式)sin()cos(nQnPrn

17、其中：其中：P，Q 待定系數待定系數步驟：步驟：a、先求、先求和和 b、再求、再求r和和 c、將、將r和和代入齊次解形式中代入齊次解形式中例例y(n) - 0.7y(n-1) + 0.1y(n-2) = 0 , 求齊次解求齊次解特征方程為特征方程為齊次解為齊次解為解解20.70.10 120.5,0.2 12( )(0.5)(0.2)nny nCC h例例y(n) + 3 y(n-1) 4 y(n-3) = x(n) - 2 x(n)求齊次解。求齊次解。特征方程為特征方程為特征根為特征根為齊次解為齊次解為解解04323Matlab符號運算因式分解syms xf=factor(x3+3*x2-4

18、)運行結果f =(x-1)*(x+2)22,1321nnnhCnCCCnCCny)2()(3213 , 23211自習：自習：P18,P18,例例7-77-7例例已知：已知：y(n) + y(n-2) = 0 ; y(0) = 1 ; y(1) = 2 求：求： y(n) = ?特征方程為特征方程為特征根為特征根為解解齊次解為齊次解為012j2, 12sin2cos)sin()cos()(nQnPnQnPrnyn2;1r求待定系數求待定系數P,Q ： y(0) = P = 1 ; y(1) = Q = 2 所以所以nnny2sin22cos)(自習：自習：P18,P18,例例7-87-8步驟：

19、（步驟：（特解的形式與激勵的形式有關）特解的形式與激勵的形式有關） 將激勵將激勵x(n)代入方程右端得自由項代入方程右端得自由項 由自由項形式由自由項形式特解的形式特解的形式 將特解代入方程，求出待定系數。將特解代入方程，求出待定系數。（2）特解）特解自自 由由 項項特特 解解 yp(n) 形形 式式E (常數常數)D (常數常數)nkD0 nk + D1 nk-1 + + Dk-1 n + DkanDan (a不是特征方程的根不是特征方程的根)an(D1n + D2) an (a是特征方程的單根是特征方程的單根)an(D1nk+D2nk-1+Dkn+Dk+1)an (a是特征方程的是特征方程

20、的k重根重根)e an (a為實數為實數)De ane jnA e jn ( A為復數為復數)sinn或或cosnD1sinn+D2cosn自由項與特解的對應形式自由項與特解的對應形式 當當N階差分方程，其特征方程全為單根時方程全解為階差分方程，其特征方程全為單根時方程全解為1122p( )( )nnnNNy nCCCyn 例例求差分方程求差分方程 y(n) - y(n-1)/6 - y(n-2)/6 = 4 x(n)的完的完全解，已知在全解，已知在n0時，激勵函數時，激勵函數x(n) = u(n)，且，且初始條件為初始條件為y(-1) = 0，y(-2) = 12 。解解差分方程的特征方程為

21、差分方程的特征方程為2110661211,23 因自由項是常數因自由項是常數4 u(n)，故特解也是常數。，故特解也是常數。令令 yp(n) = D，則，則 yp (n-1) = D ，yp (n-2) = D 將它們代入差分方程中，有：將它們代入差分方程中，有： D - D/6 - D/6 = 4 得得 D = 6方程的齊次解為方程的齊次解為1211( )( )()23nny nCC 故全響應為故全響應為hp1211( )( )( )( )()623nny nynynCC 將初始條件代入上式，得將初始條件代入上式，得1212( 1)2360( 2)49612yCCyCC 解方程組，得解方程組

22、，得121.21.2CC 因此因此11( )1.2( )1.2()6, 023nny nn 零輸入響應：零輸入響應：激勵為零時，僅由系統初始狀態激勵為零時，僅由系統初始狀態 所引起的響應，用所引起的響應，用yzi(n)表示。表示。零狀態響應：零狀態響應：系統的初始狀態為零時，僅由系系統的初始狀態為零時，僅由系 統的外部激勵信號統的外部激勵信號x(n)所產生的所產生的 響應，用響應，用yzs(n)表示。表示。全響應：全響應： y (n) = y z i (n) + y z s (n)3、雙零法：、雙零法：自習：自習：P23,P23,例例7-107-10完全解完全解（經典法）（經典法）完全響應完全

23、響應( (雙零法雙零法) )零輸入零輸入自由響應自由響應齊次解齊次解零狀態零狀態自由響應自由響應強迫響應強迫響應特特 解解例例求已知系統求已知系統 y(n) - y(n-1) - 2y(n-2) = x(n)的完全響應的完全響應(1) 若若 x(n) = 6 u(n) ，初始條件，初始條件y(-1) = -1，y(-2) = 4(2) 若若 x(n) = 12u(n)，初始條件與，初始條件與(1)相同相同(3) 若若 x(n) = 6u(n) ，而初始條件為，而初始條件為y(-1) = -2，y(-2) = 8（1）系統的特征方程為系統的特征方程為022特征根為特征根為2, 121自由響應的表

24、達式為自由響應的表達式為nnCCny)2() 1()(21h解解零輸入響應的形式為零輸入響應的形式為zizi1zi2( )( 1)(2)nnynCC 將初始條件將初始條件y(-1)= -1，y(-2)=4代入上式，得代入上式，得zi1zi2zi1zi2( 1)0.51( 2)0.254yCCyCC zi1zi234CC 所以所以zi( )3( 1)4(2)nnyn ！由于當由于當n0時，輸入時，輸入x(n)是一個常數，自由項是一個常數，自由項是常數，因此強迫響應也是一個常數。是常數，因此強迫響應也是一個常數。令令yp(n) = B，則，則yp(n-1) = B，yp(n-2) = B將它們代將

25、它們代入差分方程中，有入差分方程中，有B B - 2B = 6，得，得 B = -3零狀態響應為零狀態響應為zszszs( )( 1)(2)3nnynCC 將零初始條件將零初始條件y(-1)=0，y(-2)=0代入上式，得代入上式，得zs1zs2zs1zs20.5300.2530CCCC zs1zs218CC 則零狀態響應為則零狀態響應為zs( )( 1)8(2)3nnyn 故全響應為故全響應為zizs( )( )( )4 ( 1)12 (2)3, 0nny nynynn （2）若若x(n)=12u(n)，則零輸入響應與（，則零輸入響應與（1）相）相同，而零狀態響應是（同，而零狀態響應是（1）

26、中的兩倍。有）中的兩倍。有zs( )2( 1)16(2)6, 0nnynnzizs( )( )( )5( 1)20(2)6, 0nny nynynn（3）若若x(n)=6u(n)，初始條件為，初始條件為y(-1)= -2，y(-2)=8，則零狀態響應與（，則零狀態響應與（1）相同，而零輸）相同，而零輸入響應是（入響應是（1）的兩倍。有）的兩倍。有zi( )6( 1)8(2)nnyn zizs( )( )( )7( 1)16(2)3, 0nny nynynn 補充：用補充：用Matlab求解差分方程求解差分方程y=filter(b,a,x,xic) 求解完全響應求解完全響應其中：其中：b、a為為

27、 中的系數組成的數組中的系數組成的數組 x 為輸入序列為輸入序列x(n) xic 為初始狀態輸入數組，求解為初始狀態輸入數組，求解xic用用filtic()函數。函數。xic=filtic(b,a,Y,X)，其中的，其中的b、a同上，同上，Y和和X分別從分別從y(n)和和x(n) 的初始條件得來的初始狀態數組。的初始條件得來的初始狀態數組。MrrNkkrnxbknya00)()(求解系統的完全響應求解系統的完全響應( )(1)0.9 (2)( )(1)(2)y ny ny nx nx nx n 初始條件初始條件： y(-1)= -2，y(-2)=-4，x(-1)=0.866，x(-2)=0.5

28、( )cos()6nx n 例例解解b=1 1 1; a=1 -1 0.9;Y=-2,-4; X=0.866,0.5;xic=filtic(b,a,Y,X);n=0:150;x=cos(n*pi/6); y=filter(b,a,x,xic);stem(n,y,.);grid運行結果可運行結果可上機練習上機練習差分方程：差分方程：輸入：輸入：7.5 離散時間系統的單位樣值響應離散時間系統的單位樣值響應定義：系統在定義：系統在(n)作用下所產生的零狀態響應稱為單作用下所產生的零狀態響應稱為單位樣值響應，位樣值響應，用用h(n)表示表示。線性時不變線性時不變離散時間系統離散時間系統h(n) (零狀

29、態零狀態)h(n)(n)x(n) yzs(n)例例已知差分方程式已知差分方程式y(n)-y(n-1)/4 = x(n)試求其單位樣值響應試求其單位樣值響應h(n)將差分方程變形為將差分方程變形為1( )(1)( )4y ny nx n 當當x(n) =(n)時，時，y(n) = h(n) ，即，即解解)() 1(41)(nnhnh按照因果性規定的初始條件遞推如下按照因果性規定的初始條件遞推如下0,41) 1(41)(2,41) 1 (41)2(1,41)0(41) 1 (0,11) 1(41)0(0,0)()() 1(41)(2nnhnhnhhnhhnhhnnhnnhnhn歸納為歸納為)(41

30、)(nunhn例例 y(n) - 6y(n-1) + 12y(n-2) - 8y(n-3) = x(n)求該系統的單位樣值響應求該系統的單位樣值響應h(n)系統的特征方程為系統的特征方程為3261280 特征根為三重根，即特征根為三重根，即1232 h(n)的形式為的形式為2123( )()(2) , 0nh nC nC nCn 解解因系統起始時是靜止的，故因系統起始時是靜止的，故h(-2) = h(-1) = 0，由，由原方程容易推得：原方程容易推得：h(0) =(0) = 1。作為邊界條件作為邊界條件代入代入h(n)中，得中，得所以，系統的單位樣值響應為所以，系統的單位樣值響應為21( )

31、(32)(2)( ), 0nh nnnu nn 312312311()021(42)04CCCCCCC 12312321CCC 重要概念：離散時間系統的特性分析（時域分析）重要概念：離散時間系統的特性分析（時域分析）1、因果系統：輸出變化不領先于輸入變化的系統、因果系統：輸出變化不領先于輸入變化的系統充分必要條件充分必要條件: h(n) = 0（n0） 或或 h(n) = h(n) u(n)2、穩定系統：輸入有界，輸出必有界、穩定系統：輸入有界，輸出必有界充分必要條件充分必要條件:nnh)(3、因果穩定系統：、因果穩定系統： h(n)單邊且有界單邊且有界即即h(n)滿足滿足nnh)(h(n)

32、= h(n) u(n)作業：作業：補充題補充題: : y(n) 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) + x(n-1) 求：求：h(n) 答案：答案： h(n) = -2 + 32n u(n)P40 , 7-28 (3) (5) (7) (9) (11)7.6 卷積（卷積和）卷積（卷積和）一、利用卷積和求線性時不變離散一、利用卷積和求線性時不變離散 時間系統的零狀態響應時間系統的零狀態響應yzs(n)線性時不變線性時不變離散時間系統離散時間系統h(n) (零狀態零狀態)h(n)(n)x(n) yzs(n)記為：記為： yzs(n) = x(n) * h(n)則則 mzsmnhmxny)()()( 卷積和卷積和 二、卷積和的性質二、卷積和的性質1、符合、符合交換律：交換律： x1(n) *