1、博弈論：原理、模型與教程 第一部分 完全信息靜態(tài)博弈第2章 Nash 均衡第2.1節(jié) 占優(yōu)行為第2.2節(jié) 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為第2.3節(jié) Nash均衡2.2 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為（已精細訂正！）1、定義2-3 【例2-3】【例2-4】【例2-5】2、定義2-4 在“囚徒困境”中，“坦白”是小偷的占優(yōu)戰(zhàn)略，也就是說，相對于戰(zhàn)略“抵賴”，“坦白”在任何情況下都是小偷的最優(yōu)選擇。因此，小偷只會選擇戰(zhàn)略“坦白”。反過來也可以這么理解：相對于戰(zhàn)略“坦白”，小偷選擇“抵賴”所得到的支付都要小于選擇“坦白”所的得到的。既然選擇“抵賴”的所得總是小于選擇“坦白”的所得，小偷當然就不會選擇“抵賴”，這也就相當于小偷

2、將戰(zhàn)略“抵賴”從自己的選擇中剔除掉了。考察更一般的人博弈情形。在人博弈中，如果存在參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么他在博弈中的戰(zhàn)略選擇問題就很簡單：選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。但在大多數(shù)博弈問題中，參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略并不存在。雖然不存在占優(yōu)戰(zhàn)略，但在某些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進行比較時，可能會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和（，），雖然不是占優(yōu)戰(zhàn)略，但與相比，自己在任何情況下選擇的所得都要大于選擇的所得。在這種情況下，理性參與人的選擇又有什么樣的特點呢？雖然不能確定參與人最終會選擇什么樣的戰(zhàn)略，但可以肯定的是，理性參與人絕對不會選擇戰(zhàn)略。因為參與人選擇戰(zhàn)略，還不如直接選擇戰(zhàn)略（因為參與人在任何情況下選擇的所得都

3、要大于選擇的所得）。定義2-3 在人博弈中，如對于參與人，存在戰(zhàn)略，對，有則稱戰(zhàn)略為參與人的劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)。在博弈中，如果戰(zhàn)略是參與人劣戰(zhàn)略，那么參與人肯定不會選擇戰(zhàn)略。這也是相當于參與人將戰(zhàn)略從自己的戰(zhàn)略集剔除掉，直接從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。參與人的這種選擇行為稱之為剔除劣戰(zhàn)略行為。剔除劣行為也是理性參與人選擇行為的基本特征之一。考察戰(zhàn)略式博弈。如果戰(zhàn)略是參與人的劣戰(zhàn)略 ，那么參與人將只會從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。令，構(gòu)造一個新的戰(zhàn)略式博弈。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉(zhuǎn)換為對的求解。【例2-3】 考察圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有兩個戰(zhàn)略和，參與人2有三個

4、戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 2，2 2，0 0，1 圖2-4 戰(zhàn)略式博弈參與人2從圖2-4中可以看出：戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)，也就是說是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-4中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-5中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 2，2 0，1 圖2-5 戰(zhàn)略式博弈參與人2遵循上面的求解思路，如果在新構(gòu)造出來的戰(zhàn)略式博弈中，存在參與人的某個劣戰(zhàn)略，那么又可以構(gòu)造出一個新的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人的戰(zhàn)略集為。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉(zhuǎn)換為對的求解。而參與人的這種不斷剔除劣戰(zhàn)略的行為稱為重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為。【例2-4】 考察圖2-6中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與

5、人1有三個博弈，和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 3，2 2，0 2，1 圖2-6 戰(zhàn)略式博弈參與人2 2，1 1，3 3，2從圖2-6中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-6中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-7中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，3 3，2 2，1 圖2-7 戰(zhàn)略式博弈參與人22，1 1，3從圖2-7中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-7中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-8中博弈的求解。也就是對圖2-6中原博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-8中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 3，2 2，1 圖2-8 戰(zhàn)略

6、式博弈參與人2如果以上重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略的過程可以不斷進行下去，直到新構(gòu)造出來的博弈中每個參與人都只有一個戰(zhàn)略，那么由所有的參與人剩下的唯一戰(zhàn)略所構(gòu)成的戰(zhàn)略組合就是原博弈問題的解，稱之為“重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡”。此時，也稱原博弈問題是“重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的”。【例2-5】 考察圖2-9中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個戰(zhàn)略、和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，1 1，1 3，3 2，0 2，2 圖2-9 戰(zhàn)略式博弈參與人2 2，4 1，3 3，2從圖2-9中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-9中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-10中博弈的求解。從圖2-10中又可以看出

7、：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-10中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-11中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-10 戰(zhàn)略式博弈參與人22，4 1，3 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-11 戰(zhàn)略式博弈 參與人2從圖2-11中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-11中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-12中博弈的求解。 3，3參與人1 2，2圖2-12 戰(zhàn)略式博弈參與人2在圖2-12中，參與人2只有一個戰(zhàn)略，參與人1選擇戰(zhàn)略，因此原博弈問題的解為戰(zhàn)略組合。而就是所謂的重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。在某些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進行比

8、較時，還可能會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和（，），與相比，雖然選擇的所得并不一定總是大于選擇的所得，但自己在任何情況下選擇的所得都不會比選擇的所得小，而且在某些情況下選擇的所得嚴格大于選擇的所得。顯然，在這種情況下，理性的參與人將戰(zhàn)略從自己的選擇中剔除掉也是有道理的。與定義2-3中所定義的劣戰(zhàn)略相仿，稱戰(zhàn)略、為參與人的弱劣戰(zhàn)略。定義2-4 在人博弈中，如果對于參與人，存在戰(zhàn)略，對，有且，使得則稱戰(zhàn)略為參與人的弱劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略弱占優(yōu)。有時為了表述方便，也將定義2-3所定義的劣戰(zhàn)略稱為嚴格劣戰(zhàn)略，而將弱劣戰(zhàn)略和嚴格劣戰(zhàn)略統(tǒng)稱為劣戰(zhàn)略。與重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略的思路一樣，也可以采用重復(fù)剔

9、除弱劣戰(zhàn)略的方法來求解博弈問題。但需要注意的是，在重復(fù)剔除的過程中，如果每次可以剔除的劣戰(zhàn)略（包括嚴格劣戰(zhàn)略和弱劣戰(zhàn)略）不只一個，那么各個劣戰(zhàn)略剔除的順序不同，得到的博弈結(jié)果就有可能不同。除非每次剔除的都是嚴格列戰(zhàn)略。下面通過一個例子來說明這個問題。（重點！）考察圖2-13中的戰(zhàn)略式博弈。在圖2-13中，和是參與人2的劣戰(zhàn)略。 參與人1 3，33，11，21，12，02，0 圖2-13 戰(zhàn)略式博弈參與人23，41，33，2如果首先剔除劣戰(zhàn)略，那么在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略組合；如果首先剔除劣戰(zhàn)略，那么在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略

10、組合。造成博弈結(jié)果不同的原因在于：在原博弈中，和原本互不占優(yōu)，但是如果先剔除，則相對于弱占優(yōu)，就可能因此被剔除掉；如果先剔除掉，則相對于弱占優(yōu)，就可能因此被剔除掉。因此，當和的剔除順序不同時，參與人1保留下來的戰(zhàn)略就可能不同。但是，如果只允許剔除嚴格劣戰(zhàn)略，那么無論是先剔除還是，得到的博弈結(jié)果都是戰(zhàn)略組合和。為了進一步說明問題，考察圖2-14中戰(zhàn)略式博弈，圖2-14 中博弈與圖2-13中博弈的不同之處僅在于戰(zhàn)略組合下參與人1的支付不同。 參與人1 4，33，11，21，12，02，0圖2-14 戰(zhàn)略式博弈參與人23，41，33，2 在圖2-14中，和也是互不占優(yōu)。但是，在剔除劣戰(zhàn)略和的過程中，

11、無論是先剔除還是，只會出現(xiàn)相對于占優(yōu)的情形，而不會出現(xiàn)相對于占優(yōu)或弱占優(yōu)的情形。因此，無論剔除劣戰(zhàn)略的順序如何，博弈的結(jié)果都是戰(zhàn)略組合。前面一再提到博弈分析是在假設(shè)博弈問題的結(jié)構(gòu)和參與人完全理性為共同知識的前提下進行的，現(xiàn)在分析如果沒有這樣的假設(shè)，所得到的博弈問題的解占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡是否存在。當參與人理性時，如果參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么無論其他參與人是否理性或者是否知道他是理性的，他都會選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。因此，如果博弈中存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡且所有的參與人都理性，那么博弈的結(jié)果就是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。也就是說，不需要完全理性為共同知識就可確保占優(yōu)戰(zhàn)略均衡為博弈的結(jié)果。但是，必須清楚：存在占優(yōu)戰(zhàn)略

12、均衡的博弈絕對只是博弈問題中的極少數(shù)，在大多數(shù)情況下占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是不存在的。更重要的是，如果僅僅假設(shè)參與人是理性的，就會發(fā)現(xiàn)及時博弈問題是“重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的”，也無法保證博弈的結(jié)果就是重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，這是因為：在重復(fù)剔除過程的每一步中，如果只假設(shè)參與人理性，那么只能確保參與人將其劣戰(zhàn)略剔除掉；而如果其他參與人不知道他是理性的，就不能確保其他參與人知道他已將劣戰(zhàn)略剔除掉。在這種情況下，就不能講原博弈問題轉(zhuǎn)換為新的博弈問題，也就是說，雖然剔除劣戰(zhàn)略行為是理性參與人選擇行為的基本特征，但如果僅僅假設(shè)參與人理性是不能確保重復(fù)剔除的。在例2-3中，如果參與人1不知道參與人2的理性的，他就不知道自己面臨的博弈問題已由圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。同樣，如果參與人2不知道參與人1知道自己是理性的，圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈也不能轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。在例2-4中，要確保圖2-6的中博弈轉(zhuǎn)換為圖2-8中的博弈，就必須要求每個參與人都知道博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步（即每一次剔除劣戰(zhàn)略），而且還要知道其他參與人知道博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步。具體講就是：（1）參與人2是理性；（2）參與人1知道到參與人2理性，參與人2知道參與人1知道到參與人2理性；（3）參與人1是理性，參與人2知道到參與人1理性