1、離散型隨機變量的分布列一【本章學習目標】在現實生活中，問題無處不存在如果解決某個問題有多種選擇，我們想知道哪種選擇對我們有利？對于某類數量較大的總體，想要了解總體的相應情況，我們面臨的是如何入手？第一個問題涉及離散型隨機變量，可用有關期望等知識來解決，屬于概率論；第二個問題涉及數理統計知識通過本章的學習就能解決上述兩類問題本章重點內容是：（1）隨機變量、離散型隨機變量的分布列（2）離散型隨機變量的期望與方差（3）抽樣方法：簡單隨機抽樣；系統抽樣；分層抽樣（4）總體分布的估計（5）正態分布的意義和性質，生產過程的質量控制圖（6）線性回歸（7）實習作業本章難點內容是：（1）離散型隨機變量的期望的概

2、念及意義（2）抽樣方法“各個個體被抽取的概率相等”的理解（3）正態分布及其意義【基礎知識導引】1了解隨機變量、離散型隨機變量、連續型隨機變量的意義2理解離散型隨機變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列3掌握離散型隨機變量的分布列的兩個基本性質，并會用它來解決一些簡單問題4理解二項分布的概念【教材內容全解】1隨機變量在課本上的射擊的隨機試驗中，可能出現的結果都可以用一個數即“環數”來表示，這個數在隨機試驗前是無法預先確定的在不同的隨機實驗中，結果可能有變化，就是說，這種隨機試驗的結果都可以用一個變量來表示在產品檢驗的隨機試驗中，結果也可以用“次品數”這個變量表示如果隨機試驗的結

3、果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母、等表示兩點說明：（1）課本在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了“隨機試驗”的概念一般地，一個試驗如果滿足下列條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不只一個；每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗（2）所謂隨機變量，即是隨機試驗的試驗結果和實數之間的一個對應關系，這種對應關系是人為建立起來的，但又是客觀存在的這與函數概念的本質是一樣的，只不過在函數概念中，函數f(x)的自變量x是實數

4、，而在隨機變量的概念中，隨機變量的自變量是試驗結果例如，任意擲一枚硬幣，可能出現正面向上、反面向上這兩種結果，雖然這個隨機試驗的結果不具有數量性質，但仍可以用數量來表示它通常我們用來表示這個隨機試驗的結果：=0，表示正面向上；=1，表示反面向上2離散型隨機變量如果隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出（可能取的值為有限個或至多可列個），這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量說明：（1）離散型隨機變量可能取的值為有限個或至多可列個這里的“可列”不易理解，所以課本用比較淺顯的語言“按一定次序一一列出”來描述比如取1，2，n，（2）教材中為了控制難度，所涉及到的離散型隨機變量可能取的值的個數多數是有限

5、的3連續型隨機變量有的隨機變量，它可以取某一區間內的一切值例如，某一自動裝置無故障動轉的時間是一個隨機變量，它可以取區間（0，+）內的一切值（不能一一全部列出）隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量4離散型隨機變量的分布列對于隨機變量的研究，我們不僅要知道隨機變量取哪些值，隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果，而且需要進一步了解隨機變量取這些值的概率為了敘述和分析問題方便，通常用隨機變量與這一變量所對應概率P的“二維表”表示，稱這樣的表為隨機變量的概率分布，簡稱為的分布列在離散型隨機變量的分布列中，由于概率一定非負，而且一次試驗的各種結果是彼此互斥的，全部結果之和為

6、一必然事件，所以P行中的概率值，具有下列兩個性質：（1）；（2）=1二項分布是常見的離散型隨機變量的概率分布之一，也是本書重點研究的一種離散型隨機變量的分布列在學習這個概念之前應先弄清以下兩點：（1）在n次獨立重復試驗中某個事件發生的次數是一個隨機變量（2）如果在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發生k次的概率為：，其中k=1，1，n，q=1-p【難題巧解點撥】例1 設隨機變量的分布如下：123npk2k4k求常數k的值分析 用離散型隨機變量分布列的性質：=1來列等式，求待定系數k解 由離散型隨機變量的分布列性質，得即點撥 從表格中可以看出，隨機變量的分布列

7、有時可用通項型公式來表示，這樣對有關計算帶來很大方便例2 （2000年高考題）某廠生產電子元件，其產品的次品率為5%現從一批產品中任意地連續取出2件，寫出其中次品數的概率分布分析 一批產品可以認為數量較大，從中任意地連續取2個元件，相當于2次獨立重復試驗，得到的次品數服從二項分布解 由題意，得到的次品數B（2，5%）因此，次品數的概率分布如下：012P0.90250.0950.0025點撥 把數學思想應用到實際問題中，并能順利地提煉出數學模型是本題的切入點例3 罐中有5個紅球，3個白球，從中每次任取一球后放入一個紅球，直到取到紅球為止用表示抽取次數，求的分布列，并計算P（1<3）分析 =

8、2，表示第一次取到白球，第二次取到紅球解 當=2時，表示第一次取到白球，第二次取到紅球，則類似地的分布列如下：1234P點撥 必須明確=4的含義，防止遺漏這種情況例4 一批零件中有九個合格品，三個次品安裝機器時，從這批零件中隨機抽取，取出的是廢品則不放回，求在第一次取到合格品之前取到廢品數的分布列分析 在取到合格品之前取到的次品數，其所有可能值為0，1，2，3，共四種情況=0表示在取得合格品之前取得的次品數為0，即表示第一次取的零件就是合格品；=1表示取得合格品之前取得的次品數為1，即表示第1次取得次品，第2次抽到合格品；以此類推解 由題意知可取0，1，2，3則的分布列如下：0123P點撥 =

9、0表示在取得合格品之前取得0個次品，確切的意義為取得的第一個零件就是合格品，剖析此類題的一般性原則是：上一次試驗若取到一個廢品，則下一次試驗時，總量和廢品數量都應減少一個；當取完全部廢品后，下一次試驗必取到合格品【課本習題解答】練習（P5）1（1）可取1，2，3，10=i表示取出第i號卡片；（2）可取0，1，2，3=i表示取出i個白球，3-i個黑球，其中i=0，1，2，3；（3）可取2，3，4，12若以（i，j）表示拋擲甲、乙兩個骰子后骰子甲得i點且骰子乙得j點，則=2，表示（1，1）；=3，表示（1，2），（2，1）；=4，表示（1，3），（2，2），（3，1）；=12，表示（6，6）（4）

10、可取1，2，3，4，=i表示前i-1次射擊都未命中目標，第i次射擊命中目標；（5）可取（-，+）中的數練習（P8）1設此運動員罰球一次的得分為，則的分布列為01P0.30.72設所取球的號數為，則是隨機變量，其分布列為0123456789P取出的球的號數為偶數的概率為P（為偶數）3略4所以，的分布列如下：012345P習題11（P8）1（1）設所需要的取球次數為，則可取1，2，11=i表示前i-1次取出紅球而第i次取出白球，這里i=1，2，11；（2）設所需要的取球次數為，則可取所有的正整數=i表示前i-1次取出紅球而第i次取出白球，這里i=1，2，3，；（3）設所取卡片的數字之和為，則可取3

11、，4，11其中：=3，表示取出標有1，2的兩張卡片；=4，表示取出標有1，3的兩張卡片；=5，表示取出標有1，4或2，3的兩張卡片；=6，表示取出標有1，5或2，4的兩張卡片；=7，表示取出標有1，6或2，5或3，4的兩張卡片；=8，表示取出標有2，6或3，5的兩張卡片；=9，表示取出標有3，6或4，5的兩張卡片；=10，表示取出標有4，6的兩張卡片；=11，表示取出標有5，6的兩張卡片；2設可取球的號數為，則的分布列為12320P3射擊次數的分布為123nP0.90.090.0094拋擲一個骰子時將以相同的概率得到1，2，3，6這6個不同的點數拋擲甲、乙兩個不同的骰子，兩個骰子所得的點數的取

12、值是相互獨立的，連續拋擲兩個骰子，將以相同的概率得到以下36種結果之一：（1，1）（1，1）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）以上的（i，j）表示拋出的第一個骰子得i點且第二個骰子得j點設兩個骰子的點數之和為，則的分布列為23456789101112P5根據離散型隨機變量的分布列的性質，得k+

13、2k+nk=1所以6B(5，0.1)，的分布列為012345P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001*7解：設，考察不等式如果得k6所以，當k6時，P(=k+1)P(=k)當k>6時，P(=k+1)<P(=k)其中，當k=6時，P(=k+1)=P(=k)所以，當k=6，7時，P(=k)取最大值一般地，如果B(n，p)，其中0<p<1，考察不等式（其中q=1-P）(n-k)Pq(k+1)所以 knP-q=(n+1)P-1（1）如果(n+1)P是整數，那么(n+1)P-1也是整數此時，可以使k=(n+1)P-1k+1=(n+1)P且

14、P(=k+1)=P(=k)即當k取(n+1)P或(n+1)P-1時，P(=k)取最大值（2）如果(n+1)P不是整數，那么不等式不可能取等號所以，對任何k，P(=k+1) P(=k)所以，當 k+1<(n+1)P時，P(=k+1) >P(=k)記小于(n+1)P的最大整數為(n+1)P，則當k=(n+1)P，P(=k)取最大值【同步達綱練習】一、選擇題1有下列問題：某路口一天經過的車輛數為；某無線尋呼臺一天內收到尋呼的次數為；一天之內的溫度為；某人一生中的身高為；射擊運動員對某目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用表示運動員在射擊中的得分上述問題中的的離散型隨機變量的是

15、（ ）ABCD2若隨機變量的概率分布如下表所示，則表中a的值為（ ）1234PaA1 B C D3設某批產品合格率為，不合格率為，現對該產品進行測試，設第次首次測到正品，則P（=3）等于A BC D4拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為，則“>4”表示試驗的結果為（ ）A第一枚為5點，第二枚為1點 B第一枚大于4點，第二枚也大于4點C第一枚為6點，第二枚為1點 D第一枚為4點，第二枚為1點5某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現從中任意選6人參加競賽，用表示這6人中“三好生”的人數，則下列概率中等于的是（ ）AP（=2） BP（=3） CP（2） D

16、P（3）6若P（n）=1-a，P（m）=1-b，其中m<n，則P（mn）等于（ ）A(1-a)(1-b) B1-a(1-b) C1-(a+b) D1-b(1-a)二、填空題7隨機變量的分布列為012345P則為奇數的概率為_8已知隨機變量的分布列為12345P0.10.20.40.20.1若=2-3，則的分布列為P9拋擲一枚骰子5次，得到點數為6的次數記為，則P（>3）=_10一個口袋中裝有5個白球、3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現10次時停止沒停止時總共取了次球，則P（=12）等于_三、解答題11設B（2，P）B（4，P），已知

17、有：求P（1）12有5支不同標價的圓珠筆，分別標有10元、20元、30元、40元、50元從中任取3支，若以表示取到的圓珠筆中的最高標價，試求的分布列13某射手有5發子彈，射擊一次命中概率為0.9，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數的分布列14袋中有3個白球，3個紅球和5個黑球，從袋中隨機取3個球，假定取得一個白球得1分，取得一個紅球扣1分，取得一個黑球得0分，求所得分數的概率分布參考答案【同步達綱練習】一、1D 2D 3C 4C 5B 6C6提示：由P(>n)=1-P(n)=1-(1-a)=a，P(<m)=1-P(m)=1-(1-b)=b所以P(mn)=1-P(>n)+P(<m)=1-(a+b)二、7；8-11357P0.10.20.40.20.19 ； 109提示：隨機變量，則；10提示：=12，就是第12次取球時為第10次出現紅球所以前11次取球中，必有兩次取到白球，而余下的10次取到的是紅球（包括最后一次）故三、11因為B（2，P），所以，k=0，1，2由，得，故，解得或（舍去），所以， 12的可能取值為30，40，50，分布列為304050