1、.1回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、問題的提出一、問題的提出曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續續 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy .2面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（1）把區間）把區間,ba分成分成n個長度為個長度為ix 的小區間，的小區間，相應的曲邊梯形被分為相應的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形， 第個小窄曲邊梯形， 第i 小窄曲邊梯形的面積為小窄曲邊梯形的面積為iA ，則，則 niiAA1.（2）計計算算iA 的的近近似似值值iiixfA

2、)( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA .3ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小區區間間,xxx 上上的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則 AA，并并取取dxxfA)( ，于于是是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素.4當當所所求求量量U符符合合下下列列條條件件：（1）U是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區區間間 ba,有有關關的的量量；（2）U對對于于區區間間 ba,具

3、具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區區間間 ba,分分成成許許多多部部分分區區間間，則則U相相應應地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達達這這個個量量U.5元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：1）根根據據問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個個變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區區間間,ba；2）設設想想把把區區間間,ba分分成成n個個小小區區間間，取取其其中中任任一一小小區區間間并并

4、記記為為,dxxx ，求求出出相相應應于于這這小小區區間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個個連連續續函函數數在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；.63）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在區區間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達達式式.這個方法通常叫做這個方法通常叫做元素法元素法應用方向：應用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長

5、；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等.7元素法的提出、思想、步驟元素法的提出、思想、步驟.（注意微元法的本質）（注意微元法的本質）二、小結二、小結.8思考題思考題微元法的實質是什么？微元法的實質是什么？.9思考題解答思考題解答微元法的實質仍是微元法的實質仍是“和式和式”的極限的極限.10 xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、直角坐標系情形一、直角坐標系情形xxxx x .11例例 1 1 計計算算由由兩兩

6、條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx .12例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6

7、(322 2xy xxy63 .13于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區間上被積函數的形式說明：注意各積分區間上被積函數的形式問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x.14例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy.15如果曲邊梯形的曲邊為參數方程如果曲邊梯形的曲邊為參數

8、方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應應曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數數值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續續導導數數，)(ty 連連續續.16例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數方程橢圓的參數方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab .17 設設由由曲曲線線)( r及及射射線線 、 圍圍成成一一曲

9、曲邊邊扇扇形形，求求其其面面積積這這里里，)( 在在, 上上連連續續，且且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 二、極坐標系情形二、極坐標系情形)( r.18例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A.19例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利

10、用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0.20求在直角坐標系下、參數方程形式求在直角坐標系下、參數方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當的（注意恰當的選擇積分變量選擇積分變量有助于簡化有助于簡化積分運算）積分運算）三、小結三、小結.21思考題思考題 設設曲曲線線)(xfy 過過原原點點及及點點)3 , 2(，且且)(xf為為單單調調函函數數，并并具具有有連連續續導導數數，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點點作作兩兩坐坐標標軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條

11、平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程.22思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導x.23yxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 ,2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調調函函數數所以所求曲線為所以

12、所求曲線為.223xy .24一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區域的面積軸所圍成平面區域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區域的所圍成平面區域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面區域的面積是平面區域的面積是_ ._ .4 4、 計算計算xy22 與與4 xy所圍的區域面積時，選用所圍的區域面積時，選用_作變量較為簡捷作變量較為簡捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區所圍成平面區域的面積是域的面積是_

13、_ . .練練 習習 題題.256 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點點 ),(2aaA，0 a，則則當當 a_ _ _時時，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos

14、1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .26三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點及其在點)3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過原點的切線的下方，該曲線過原點的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過焦點的弦所圍成的圖形與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .27一一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5

15、5、21 ee； 6 6、21. .二二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三三、49. . 四四、2e. . 五五、238a. .練習題答案練習題答案.28 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺一、旋轉體的體積一、旋轉體的體積.29一一般般地地，如如果果旋旋轉轉體體是是由由連連續續曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞

16、x軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區上任取小區間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉轉而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉體的體積為旋轉體的體積為dxxfVba2)( )(xfy .30y例例 1 1 連接坐標原點連接坐標原點O及點及點),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個直角三角形將它繞軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋軸旋轉構成一個底半徑為轉構成一個底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，計算的圓錐

17、體，計算圓錐體的體積圓錐體的體積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區間上任取小區間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP.31以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉而成的薄片的軸旋轉而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo.32a aoyx例例 2 2 求星形線求星形線323232ayx )0( a繞繞x軸旋轉軸旋轉構成旋轉體的體積構成旋轉體的體積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉轉體體的的體體積積dxxaVaa3

18、3232 .105323a .33 類似地，如果旋轉體是由連續曲線類似地，如果旋轉體是由連續曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體，軸旋轉一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy2)( dcV.34例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉構成旋轉體的體積旋轉構成旋轉體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉轉的的旋旋轉轉體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)co

19、scos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy.35繞繞y軸軸旋旋轉轉的的旋旋轉轉體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉構成旋轉體的體積之差軸旋轉構成旋轉體的體積之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a .36補充補充 如果旋轉體是由連續曲線如果旋轉體是由連續曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一

20、周而成的立體，體積為軸旋轉一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a .37例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉構成旋轉體的體積旋轉構成旋轉體的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM.38xo

21、ab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續函數的已知連續函數,)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積.39例例 5 5 一一平平面面經經過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計計算算這

22、這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R .40例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓半半徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積.解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形

23、形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR .41旋轉體的體積旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉一周軸旋轉一周x繞繞 軸旋轉一周軸旋轉一周y繞非軸直線旋轉一周繞非軸直線旋轉一周三、小結三、小結.42思考題思考題 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉轉構構成成旋旋轉轉體體的的體體積積.43思考題解答思考題解答xyo 14yxy交點交點),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y.44一、一、 填空題：填空題：1

24、1、 連續曲線連續曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉 一周 而成的 立體的體 積旋 轉 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉一周而成的立體的旋轉一周而成的立體的體體 v積積_；2 2、 badxxfv)(常用來表示常用來表示_立立體的體積；體的體積；3 3、 拋物線拋物線axy42 及直線及直線)0(00 xxx所圍成的圖所圍成的圖形形軸軸繞繞 x旋轉而成的立體的體積旋轉而成的立體的體積_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所圍成的圖所圍成的圖x形形繞繞軸旋轉而成的立體的軸旋轉而成的立體的 v體積體積_；練練 習習

25、題題.45二二、 有有一一鐵鐵鑄鑄件件，它它是是由由拋拋物物線線、2101xy 11012 xy與與直直線線10 y圍圍成成的的圖圖形形，軸軸繞繞 y旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體，算算出出它它的的質質量量（長長度度單單位位是是厘厘米米，鐵鐵的的密密度度是是38 . 7厘厘米米克克）. .三三、 把把星星形形線線323232ayx 軸軸繞繞 x旋旋轉轉，計計算算所所得得旋旋轉轉體體的的體體積積 . .四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉所成旋轉體的體積旋轉所成旋轉體的體積. .46五、五、 求求222ayx 繞繞)

26、0( abbx旋轉所成旋轉旋轉所成旋轉體的體積體的體積 . .六、六、 設有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸設有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為長分別為和和BA 2,2ba 2,2, ,h高為高為，求這截錐體，求這截錐體的體積的體積 . .七、七、 設直線設直線baxy 與直線與直線0 x，1 x及及0 y所圍所圍成梯形面積等于成梯形面積等于A，試求，試求ba ,使這個梯形使這個梯形軸軸繞繞 y旋轉所得體積最小旋轉所得體積最小 . .47一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面積的；、已知平行截面面積的； 3 3、202 ax

27、 ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .練習題答案練習題答案.48xoy0MA nMB 1M2M1 nM設設A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點點得得一一內內接接折折線線，當當分分點點的的數數目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段都都縮縮向向一一點點時時，此此折折線線的的長長|11 niiiMM的的極極限

28、限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長長.一、平面曲線弧長的概念一、平面曲線弧長的概念.49 設曲線弧為設曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續導數上有一階連續導數xoyabxdxx 取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區間上任取小區間,dxxx ，以對應小切線段的長代替小弧段的長以對應小切線段的長代替小弧段的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 二、直角坐標情形二、直角坐標情形.50例例 1 1 計計算算曲曲線線2332xy 上上相相

29、應應于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長長度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab.51例例 2 2 計計算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長長)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n .52曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續續導導數數.22)()(dydxds

30、222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 三、參數方程情形三、參數方程情形.53例例 3 3 求星形線求星形線323232ayx )0( a的全長的全長.解解 星形線的參數方程為星形線的參數方程為 taytax33sincos)20( t根據對稱性根據對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a .54例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設正弦線的弧長等于設正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022c

31、os1設橢圓的周長為設橢圓的周長為2s,cos12022dxxa .55 ,20222dtyxs 根據橢圓的對稱性知根據橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結論成立故原結論成立.dtta 022cos12.56曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續續導導數數. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 四、極坐標情形四、極坐標情形.57例例 5 5 求求極極坐坐標標系系下下曲曲線線33sin ar的的長長. .)0( a解解

32、drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 .58例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應應于于 從從0到到 2的的弧弧長長.解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 .59平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標系下直角坐標系下參數方程情形下參數方程情形下極坐標系下極坐標系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 五、小結五、小結.60思考題思考題 閉閉區區間間,

33、ba上上的的連連續續曲曲線線)(xfy 是是否否一一定定可可求求長長？.61思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線連續還不夠，必須保證曲線光滑才可求長曲線光滑才可求長.62一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應于上相應于83 x的一段弧長為的一段弧長為_；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應于上相應于變變到到從從 0t 的一段弧長為的一段弧長為_；3 3、 曲 線曲 線1 r自自43 至至34 一 段 弧 長 為一 段 弧 長 為_ . .二二、 計計算算半半立立方方拋拋物物線線32)1(

34、32 xy被被拋拋物物線線32xy 截截得得的的一一段段弧弧的的長長度度 . .三三、 計計算算星星形形線線tax3cos ，tay3sin 的的全全長長 . .練練 習習 題題.63四四、 求求心心形形線線)cos1( ar的的全全長長. .五五、 證證明明：曲曲線線xysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓2222 yx的的周周長長. .六六、 在在擺擺線線),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分擺擺線線第第一一拱拱成成3:1的的點點的的坐坐標標. .64練習題答案練習題答案 一、一、1 1、23ln211 ； 2 2、22 a； 3 3、23ln125 . . 二

35、、二、 1)25(9823 . . 三、三、a6. . 四、四、a8. . 六、六、)23,)2332(aa . .65 由由物物理理學學知知道道，如如果果物物體體在在作作直直線線運運動動的的過過程程中中有有一一個個不不變變的的力力F作作用用在在這這物物體體上上，且且這這力力的的方方向向與與物物體體的的運運動動方方向向一一致致，那那么么，在在物物體體移移動動了了距距離離s時時，力力F對對物物體體所所作作的的功功為為sFW . 如果物體在運動的過程中所受的力是變化如果物體在運動的過程中所受的力是變化的，就不能直接使用此公式，而采用的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.一、變力

36、沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功.66例例 1 1 把一個帶把一個帶 q 電量的點電荷放在電量的點電荷放在 r 軸上坐軸上坐標原點處，它產生一個電場這個電場對周圍的電標原點處，它產生一個電場這個電場對周圍的電荷有作用力由物理學知道，如果一個單位正電荷荷有作用力由物理學知道，如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為放在這個電場中距離原點為 r 的地方，那么電場的地方，那么電場對它的作用力的大小為對它的作用力的大小為 2rqkF （k是常數） ，當是常數） ，當這個單位正電荷在電場中從這個單位正電荷在電場中從 ar 處沿處沿 r 軸移動軸移動到到 br 處時，計算電場力處時，計算電場力 F

37、對它所作的功對它所作的功.67解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小區區間間,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處drrkqwa 2 arkq1.akq .68點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內盛滿了水米，池內盛滿了水.問要把池內的水全部問要把池內的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐標系如圖

38、建立坐標系如圖xoxdxx 取取x為為積積分分變變量量，5 , 0 x5取取任任一一小小區區間間,dxxx ,.69xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦).70解解 設木板對鐵釘的阻力為設木板對鐵釘的阻力為,)(kxxf 第一次錘擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功為 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘

39、進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？次錘擊時又將鐵釘擊入多少？n設設 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n.71 hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n.72 由物理學知道，在水深為由物理學知道，在水深為h處的壓強為處的壓強為hp ，這里，這里 是水的比

40、重如果有一面積為是水的比重如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一處，那么，平板一側所受的水壓力為側所受的水壓力為ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點點處處壓壓強強p不不相相等等，平平板板一一側側所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水壓力二、水壓力.73例例 4 4 一一個個橫橫放放著著的的圓圓柱柱形形水水桶桶，桶桶內內盛盛有有半半桶桶水水，設設桶桶的的底底半半徑徑為為R，水水的的比比重重為為 ，計計算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受

41、的的壓壓力力解解 在端面建立坐標系如圖在端面建立坐標系如圖xo取取x為為積積分分變變量量，, 0Rx 取取任任一一小小區區間間,dxxx xdxx 小矩形片上各處的壓強近小矩形片上各處的壓強近似相等似相等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR ,xp .74小矩形片的壓力元素為小矩形片的壓力元素為dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的壓壓力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R .75例例 5 5 將直角邊各為將直角邊各為a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水垂直地浸人水中，斜邊朝下，

42、直角邊的邊長與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側壓力長，求薄板所受的側壓力解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖xoa2a2a面積微元面積微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a .76 由物理學知道，質量分別為由物理學知道，質量分別為21, mm相距為相距為r的兩個質點間的引力的大小為的兩個質點間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數，引力的方向沿著兩質點的為引力系數，引力的方向沿著兩質點的連線方向連線方向 如如果果要要計計算算一一根根細細棒棒對對一一個個質質

43、點點的的引引力力，那那么么，由由于于細細棒棒上上各各點點與與該該質質點點的的距距離離是是變變化化的的，且且各各點點對對該該質質點點的的引引力力方方向向也也是是變變化化的的，就就不不能能用用此此公公式式計計算算三、引力三、引力.77例例 6 6 有有一一長長度度為為l、線線密密度度為為 的的均均勻勻細細棒棒，在在其其中中垂垂線線上上距距棒棒a單單位位處處有有一一質質量量為為m的的質質點點M，計計算算該該棒棒對對質質點點M的的引引力力2l2l xyoMa解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區區間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質點將典型小段近

44、似看成質點小段的質量為小段的質量為,dy rydyy .78小段與質點的距離為小段與質點的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF.79利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關的物理知識）（注意熟悉相關的物理知識）四、小結四、小結.80思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總一球完全浸沒

45、水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關系？壓力與它在水中受到的浮力有何關系？.81思考題解答思考題解答 該球面所受的總壓力方向向上（下半球該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關球浸沒的深度無關.82一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內充滿壓強厘米

46、的圓柱體內充滿壓強為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？二、二、 一物體按規律一物體按規律3tcx 作直線運動，媒質的阻力與作直線運動，媒質的阻力與速度的平方成正比，計算物體由速度的平方成正比，計算物體由0 x移至移至ax 時，克服媒質阻力所作的功時，克服媒質阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長610 米和米和米，高為米，高為20米，較長的底邊與水面相齊米，較長的底邊與水面相齊. .計算閘門計算閘門的一側所受的水壓力的一側所受

47、的水壓力 . .練練 習習 題題.83四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現將球從水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一塊一塊a高為高為 ，b底為底為的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄板每面所受的壓力板每面所受的壓力 . .六、六、 設有一半設有一半R徑為徑為，中心，中心 角為角為的圓弧形細棒，其的圓弧形細棒，其線密度為線密度為 常數常數，在圓心處有一質，在圓心處有一質的的量為

48、量為 m質點質點M，試求這細棒對質，試求這細棒對質M點點的引力的引力 . .84七、七、 油類通過直油管時，中間流速大，越靠近管壁流油類通過直油管時，中間流速大，越靠近管壁流速越小，實驗測定，某處的流速越小，實驗測定，某處的流與與速速 v流處到管子流處到管子中心的距中心的距之之間間離離 r有關系式有關系式)(22rakv , ,其中其中為為比比例例k常數，常數，為為油油管管a半徑半徑. .求通過油管的流求通過油管的流量量 （注： 當流速為常量時， 流量（注： 當流速為常量時， 流量 = = 流速流速 截面積）截面積） . .85 一一、2ln800 ( (焦焦耳耳) ). . 二二、37327

49、25akc( (其其為為中中 k比比 例例常常數數) ) . . 三三、1 14 43 37 73 3( (千千牛牛) ) . . 四四、gr434 . . 五五、 ba261. . 六六、引引 力力的的大大小小 為為2sin2 Rkm, ,方方向向指指為為 M向向 圓圓弧弧 的的中中心心 . . 七七、42ak . .練習題答案練習題答案第六章習題課第六章習題課.86微微 元元 法法理理 論論 依依 據據名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點的特點解解 題題 步步 驟驟定積分應用中的常用公式定積分應用中的常用公式一、主要內容一、主要內容.871 1、理論依據、理論依據.)1()2()(,)()(

50、,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續函數的定積這表明連續函數的定積于是于是即即的一個原函數的一個原函數是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續上連續在在設設UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa .882 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計算積分或原函數的計算積分或原函數的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據由理論依據dxxfdxxfUbadxxfdUAba .89（1）U是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區區間

51、間 ba,有有關關的的量量；（2）U對對于于區區間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區區間間 ba,分分成成許許多多部部分分區區間間，則則U相相應應地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達達這這個個量量U.3 3、所求量的特點、所求量的特點.901)根根據據問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個個變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區區間間,ba；2）設設想想把把區區間間,ba

52、分分成成n個個小小區區間間，取取其其中中任任一一小小區區間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應應于于這這小小區區間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個個連連續續函函數數在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在區區間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U4 4、解題步驟、解題步驟.915 5、定積分應用的常用公式、定積分

53、應用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標情形直角坐標情形abab.92如果曲邊梯形的曲邊為參數方程如果曲邊梯形的曲邊為參數方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應應曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數數值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續續導導數數，)(ty 連連續續.參數方程所表示的函數參數方程所表示的函數.93 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r

54、 dA)()(212122極坐標情形極坐標情形.94(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd.95xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA.96(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續續導導數數弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為.97C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs )()(22(4)

55、旋轉體的側面積旋轉體的側面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側側.98(5) 細棒的質量細棒的質量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉動慣量轉動慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為為線線密密度度x .99(7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 .100(9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0

56、xF)(為引力系數為引力系數G(10) 函數的平均值函數的平均值 badxxfaby)(1.101二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體積及表面積體積及表面積體體它繞軸旋轉而成的旋轉它繞軸旋轉而成的旋轉它的弧長它的弧長它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx.102解解.10A設面積為設面積為由對稱性由對稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設設弧弧長長為為由對稱性由對稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sinc

57、os34tdtta.6a .103.,30VS 體體積積為為設設旋旋轉轉體體的的表表面面積積為為由對稱性由對稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a .104例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再將將滿滿池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度時時水水求求在在池池中中水水深深內內注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半徑徑為為以以每每秒秒RhhRa oxyRh解

58、解如圖所示建立坐標系如圖所示建立坐標系.).0()(222RyRRyx 半圓的方程為半圓的方程為于是對半圓上任一點于是對半圓上任一點,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx .105時水池內水的體積為時水池內水的體積為為為的球缺的體積即水深的球缺的體積即水深故半球內高為故半球內高為的立體的立體軸旋轉而成軸旋轉而成圓繞圓繞因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th時已注水的時間為時已注水的時間為又設水深又設水深,)(athV 則則有有atdyyRyh 02)2(即即得得求導求導兩邊對兩邊對,t,)2(2adtdhhRh .106

59、故所求速度為故所求速度為.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即將將池池內內將將滿滿池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功約約為為所所需需降降到到抽抽水水時時使使水水位位從從dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素.107故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R .108例例3 3.,4,20,3050,的靜壓力的靜壓力求閘門一側所受的水求閘門一側所受的水米米頂部高出水面頂部高