1、全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識點睛 全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法

2、：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關(guān)鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基

3、礎(chǔ)例題精講板塊一、截長補短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例2】 如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點為正方形的邊上任意一點，且與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結(jié)、相交于點求證：平分 如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長 【例5】 五邊形ABCDE中，A

4、B=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°， 求證：AD平分CDE板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點，使， 求. 【例9】(“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數(shù)，求ADADBC延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又

5、AD是整數(shù),則AD=5 2. 已知：D是AB中點，ACB=90°，求證：DABC3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點，求證：1=2ABCDEF21證明：連接BF和EF。因為 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。所以 BF=EF,CBF=DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 EBF=BEF。又因為 ABC=AED。所以 ABE=AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 BA

6、F=EAF (1=2)。 BACDF21E4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點，作EG/AC，交AD延長線于G則DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CACDB證明：在AC上截取AE=AB，連接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C6. 已知：AC平分BAD，CEA

7、B，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明： 在AE上取F，使EFEB，連接CF 因為CEAB 所以CEBCEF90° 因為EBEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因為BD180°，CFECFA180° 所以DCFA 因為AC平分BAD 所以DACFAC 又因為ACAC 所以ADCAFC（SAS） 所以ADAF 所以AEAFFEADBE 12. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.ABE=FBE,BE=BE,則ABEFBE(

8、SAS),EFB=A;AB平行于CD,則:A+D=180°又EFB+EFC=180°,則EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求證：F=CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F14. 已知：AB=CD，A=D，求證：B=CABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當(dāng)AD<BC時，E點是射線BA,CD的交點，當(dāng)AD>BC時，E點是

9、射線AB,DC的交點）。則：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量減等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是BAC平分線AD上一點，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB作B關(guān)于AD的對稱點B，因為AD是角BAC的平分線，B'在線段AC上（在AC中間，因為AB較短）因為PC<PB+BC,PC-PB<BC,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPDACB16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE，求證：AC-AB=2BEBAC=180-（ABC+C=

10、180-4C1=BAC/2=90-2CABE=90-1=2C延長BE交AC于F因為，1 =2，BEAE所以，ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BEFBC=ABC-ABE=3C-2C=CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E是AB中點，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAEDCBDC作AGBD交DE延長線于GAGE全等BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5所以DC=CF=218（5分）如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：ADBC延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以:DBC=角DCB;1=2;DBC+1=角DCB+2;ABC=ACB;所以

11、:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;BAD=CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以:AD垂直BC19（5分）如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B為垂足，AB交OM于點N求證：OAB=OBA因為AOM與MOB都為直角三角形、共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB所以MAB=MBA因為OAM=OBM=90度所以O(shè)AB=90-MAB OBA=90-MBA所以O(shè)AB=OBA20（5分）如圖，已知ADBC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D求證：AD+BC=AB證明：做BE的延長線，與AP相交于F點，PA/BCPAB+CBA=180°，又，A

12、E，BE均為PAB和CBA的角平分線EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB為直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE為FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21（6分）如圖，ABC中，AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：C=2B證明：在AB上找點E，使AE=ACAE=AC，EAD=CAD，AD=ADADEADC。DE=CD，AED=CAB=AC+CD，DE=CD=AB

13、-AC=AB-AE=BEB=EDBC=B+EDB=2B22（6分）如圖，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng)E、F兩點移動到如圖的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由 分析：通過證明兩個直角三角形全等，即RtDECRtBFA以及垂線的性質(zhì)得出四邊形BEDF是平行四邊形再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論解答：解：（1）連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=C

14、D，RtDECRtBFA，DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF；（2）連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF 23（7分）已知：如圖，DCAB，且DC=AE，E為AB的中點，（1）求證：AEDEBC（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC外，請再寫出兩個與AED的面積相等的三角形（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：(1)DCAE，且DC=AE，所以四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC，且

15、EAD=BEC。由AE=BE，所以AEDEBC。（2）AEC、ACD、ECD都面積相等。24（7分）如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE證明：延長BA、CE，兩線相交于點F BECE BEF=BEC=90° 在BEF和BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90°,ACF+CDE=90° 又ADB=CDE ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC,

16、BAD=CAF=90° ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE25、（10分）如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC。26、（10分）如圖：AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，BECF，BE=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 27、（10分）如圖：在ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BDAC。三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)龋越茿DB和角CDB相等，它們的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC 28、（10分）AB=AC，DB=DC

17、，F(xiàn)是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF與FDC中BD=DCBDF=FDCDF=DFFBDFCDBF=FC29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。因為AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因為 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BECF，M在B

18、C的中點，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證：AB平行CD（已知）B=C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）M在BC的中點（已知）EM=FM（中點定義）在BME和CMF中 BE=CF（已知） B=C（已證） EM=FM（已證）BME全等與CMF（SAS）EMB=FMC（全等三角形的對應(yīng)角相等）EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180°（等式的性質(zhì)）E，M，F(xiàn)在同一直線上31已知：點A、F、E、C在同一條直線上， AFCE，BEDF，BEDF求證：ABECDFDBCcAFE證明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC又BE=DF ABECDF（

19、SAS）32.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點，求證： AEAF。 連結(jié)BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰兩底角相等得：角ABC=角ADC 在結(jié)合已知條件證得：ADEABF得AE=AF33如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，1=2，3=4，求證: 5=6 因為角1=角23=4所以角ADC=角ABC.又因為AC是公共邊，所以AAS=>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求證：ABCDEF因為D,C在A

20、F上且AD=CF所以AC=DF又因為AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）然后SSA（角角邊）三角形全等ACBDEF35已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD證明：因為 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因為 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共邊) 則有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BECD36、 如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求證：DE=DFAAS證ADFDCBAE37.已知：如圖, ACBC于C

21、 , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的長？角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明AB=ACABC是等腰三角形B=C又ME=MF，BEM和CEM是直角三角形BEM全等于CEMMB=MC39.如圖，給出五個等量關(guān)系： 請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論，推出一個正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明ABC已知：求證：證明：已知1,2求證4因為AD=BC AC=BD，在四邊形ADBC中，連AB所以ADB全等

22、于BCA 所以角D=角C以4,5為條件，1為結(jié)論。即：在四邊形ABCD中，D=C，A=B，求證：AD=BC因為 A+B+C+D=360D=C，A=B，所以 2(A+D)=360°， A+D=180°，所以 AB/DC 40在ABC中，直線經(jīng)過點，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1） 證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD

23、=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1） 證明;因為AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因為AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BA

24、F因為AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F（2） (2)延長FB與EC的延長線交于點G因為角ECA=角F(已證）所以角G=角CAF因為角CAF=90度所以EC垂直BF42如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMAN43如圖,已知A

25、=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEF連接BF、CE，證明ABF全等于DEC（SAS），然后通過四邊形BCEF對邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF44如圖,已知ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點N ,使得AN=AC CAE=EAN ,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是中線BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=