1、整數和整除內容分析整數和整除是六年級數學上學期第一章第一節內容，主要對整數的分類和整除的概念進行講解，重點是整除的概念理解，難點是整除條件的歸納總結通過這節課的學習一方面為我們后期學習公因數和公倍數提供依據，另一方面也為后面學習有理數奠定基礎知識結構模塊一：整數的意義和分類知識精講1、整數的意義和分類（1）自然數：零和正整數統稱為自然數；（2）整數：正整數、零、負整數，統稱為整數例題解析【例1】 判斷題（若是正確的，請說明理由；若是錯誤的，請把它改正確）（1） 最小的自然數是1 ；（2） 最小的整數是0；（3） 非負整數是自然數；（4） 有最大的正整數，但沒有最小的負整數；（5） 有最小的正整

2、數，但沒有最大的負整數【答案】（1）×；（2）×；（3）；（4）×；（5）×【答案】【例2】 把下列各數放入相應的圈內：15，1，0.2，0，63，0.7，13，0.2323， 整數自然數正整數負整數【例3】 （1）試說說正整數、負整數、零、自然數、整數之間的關系；（2）試比較正整數、負整數、零的大小；（3）試比較負整數、自然數的大小【難度】【答案】（1）整數包括正整數、零、負整數；自然數包括正整數和零； （2）正整數大于0，負整數小于0，正整數大于負整數； （3）自然數大于負整數；【解析】略；【例4】 五個連續的自然數，已知中間數是，那么其余四個數分別

3、是_、_、_、_若這五個連續自然數的和是20，試求這五個數【答案】 這五個數是：2、3、4、5、6【例5】 有三個自然數，其和是13，將它們分別填入下式的三個括號中，滿足等式要求：，試求這三個自然數【難度】【答案】3，10，0【解析】設這三個數分別為，； 則 解得： 這三個數是3，10，0【總結】本題主要是對題目中條件的理解，同一個數可以用不同的形式去表示模塊二：整除的意義知識精講1、整除的意義整數除以整數，如果除得的商是整數而余數為零，我們就說能被整除；或者說能整除例題解析【例6】 老師問：“當時，時，能被整除嗎？”一個同學回答：“因為商是，是整數，所以能被整除”你認為對嗎？【例7】 下列各

4、組數中，如果第一個數能被第二個數整除，請在下面的（ ）內打“”，不能整除的打“×”18和9（ ）15和30（ ）04和4（ ）14和6（ ）17和35（ ）9和05（ ）【答案】橫向：×××××師生總結1、 整除的條件是什么？2、 “a能整除b”與“a能被b整除”的區別是什么？【例8】 已知下列除法算式：57÷7=81；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5（1）表示能除盡的算式有哪幾個？（2）哪些算式中可以說被除數能被除數整除？【難

5、度】【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0；2÷4=0.5 （2）21÷7=3； 0÷3=0【解析】除盡只要求余數為零即可，整除要求被除數、除數、商是整數，且余數是零；【總結】本題主要考查整除和除盡的區別【例9】 把表示下列算式的序號填入適當的空格內（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷01；（4）18÷3；（5）04÷2；（6）39÷03；（7）27÷9；（8）16÷4除數能整除被除數的：_；

6、能夠除盡的：_【難度】【答案】除數能整除被除數的：（1）（4）（7）（8）； 能夠除盡的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除盡只要求余數為零即可，整除要求被除數、除數、商是整數，且余數是零；【總結】本題主要考查整除和除盡的區別師生總結1、 整除與除盡有什么相同點？2、除與除盡有什么不同點？ 【例10】 若兩個整數a、b ()都能被整數 c 整除，它們的和、差、積也能被 c 整除嗎？為什么？【難度】【答案】能，原因略；【解析】設，（是整數，且）； 則：； ； ； 它們的和、差、積也能被 c 整除 【總結】本題主要是對整除的概念的考查及運用【例11】 一個兩位數，能被5整除

7、，其個位數字減十位數字的差是正整數中最小的偶數，求這個兩位數【答案】35【例12】 15支鉛筆分給幾個學生，每人發的一樣多且不止1支，并且正好分完，可以分給幾個人？每人幾支？有幾種分法？【答案】兩種分法：（1）3個人，每人5支；（2）5個人，每人3支【例13】 2015年的教師節是星期四，老師們可以好好慶祝一下自己的節日了，同學們，明年呢？我們能否不查日歷，就能知道2016年的教師節是星期幾呢？【難度】【答案】星期六【解析】2016是閏年，故2016年的二月有29天，2015年的教師節與2016年的教師節 間隔366天，則：， 2016年的教師節是星期四后面兩天，是星期六【例14】 學校有10

8、個興趣小組，各組的人數如下表：組別12345678910人數31168101247138一天下午，學校同時舉辦語文寫作和英語聽力兩個講座，已知有9個小組去聽講座，其中聽英語講座的人數是聽語文講座人數的6倍，還剩下一個小組在教室里討論問題，這一組是第幾組？【難度】【答案】第6組【解析】設聽語文講座的人數為，那么聽英語講座的人數為， 則在教室里的一組人數為人； 由已知得：，且為整數 解得：因為x為整數，所以x的取值為10或者11 當時，第6組； 當時，（舍）； 留在教師的是第6組【總結】本題主要考查如何利用整除解決實際問題模塊三：因數和倍數的意義知識精講1、因數和倍數的意義整數能被整數整除，就叫做

9、的倍數，就叫做的因數（也稱為約數）例題解析【例15】 有一個算式，則可以說_能被_整除，也可以說_能整除_，還可以說_和_是_的因數，_是_和_的倍數【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【例16】 分別寫出12、19和36的因數，再分別寫出這三個數的倍數（倍數只需從小到大依次寫3個）【難度】【答案】12的因數：1，2，3，4，6，12；倍數是：12，24，36 19的因數：1，19；倍數是：19，38，57 36的因數：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍數是：36，72，108【例17】 在圈內填寫滿足條件的數： 18的因數27的因數 既是18

10、的因數又是27的因數【難度】【答案】18的因數：1，2，3，6，9，18； 27的因數：1，3，9，27； 既是18的因數又是27的因數：1，3，9【例18】 下列各數中是否含有相同的因數，若含有請指出（1）6和9；（2）27和51 【難度】【答案】（1）含有相同的因數：1和3；（2）含有相同的因數：1和3【例19】 從小到大依次寫出10個2的倍數：_；從小到大依次寫出10個3的倍數：_；其中_既是2的倍數，又是3的倍數【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30；【例20】 已知：，則和相同的

11、因數有哪些？【答案】1，3，5，15【例21】 一個正整數只有2個因數而且這個數比10小，這個數可以是多少？【答案】2，3，5，7【例22】 兩個2位數的積是216，這兩個數的和是多少？【答案】30【解析】， 這兩個數是12和18，和是30【總結】本題主要是對因數的概念的綜合運用【例23】 1到100之間，因數個數是奇數的自然數有哪些？【難度】【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因數是奇數的數是平方數，1100之間的平方數是1，4，9，16，25，36，49， 64，81，100；【總結】當一個正整數是平方數時，它的因數個數是奇數個【例24】 李明去兒童樂園玩

12、，兒童樂園是1路車和13路車的始發站，1路車每5分鐘發車一次，13路車每6分鐘發車一次現在這兩路車同時發車以后，至少再經過多少分鐘又同時發車？【答案】15分鐘【例25】 用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長方形？它的長和寬分別是多少厘米？【答案】三種：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4師生總結1、求一個整數的因數的方法有哪些？2、求一個整數的倍數的方法有哪些？3、一個正整數的最小的因數和最大的因數是什么？4、一個正整數最小的倍數是什么？【例26】 一筐蘋果，2個一拿或3個一拿或4個一拿或5個一拿都正好拿完沒有余數，問這筐蘋果最少有多少個？ 【難度】【答案】60【

13、解析】通過枚舉法會發現2、3、4、5的最小的倍數是60， 所以至少再經過30分鐘又同時發車【例27】 小明有一本共126張紙的記事本，他依次將每張紙的正反兩面編頁碼，即由第1頁一直編到252頁如果從這本記事本中撕下31張紙，并將它們的頁碼相加，和是否可能等于2010？【答案】不能【解析】31張紙的所有頁碼中，共31個奇數和31個偶數相加，答案是奇數，不可能是2010 另：拓展來看， 每一張紙的頁碼和：1+2=3， 3+4=7， 5+6=11， 共同點：加上1后都是4的倍數， 整體考慮，32頁紙的頁碼和+31應是4的倍數，但2010+31不能被4整除， 所以是不可能的【總結】奇數+奇數=偶數，偶

14、數+偶數=偶數【例28】 我們知道，每個正整數都有因數，對于一個正整數，我們把小于的正的因數叫做的真因數如10的正因數有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數把一個正整數的所有真因數的和除以，所得的商叫做的“完美指標”如10的“完美指標”是一個正整數的“完美指標”越接近1，我們就說這個數越“完美”如8的“完美指標”是，10的“完美指標”是，因為比更接近1，所以我們說8比10完美根據上述材料，回答下面問題：（1）5的“完美指標”是_；（2）6的“完美指標”是_；（3）9的“完美指標”是_（4）試找出比20大，比30小的正整數中，最“完美”的數【難度】【答案】 （4）28；【解析】（1）5

15、的“完美指標”：； （2）6的“完美指標”是： （3）9的“完美指標”是：； （4）素數的“完美指標”為，不夠完美； 合數的真因數較小，完美指標也會比較小，不夠完美； 所以驗證24和28的完美指標： 24的“完美指標”是：； 28的“完美指標”是； 28是比20大，比30小的正整數中，最“完美”的數【總結】本題主要是考查學生的理解能力，通過對題目中新的概念的理解，利用概念去解決新的問題模塊四：能被2、5整除的數知識精講1、能被2整除的數能被2整除的數的特征：個位上是0，2，4，6，8的整數；能被2整除的整數叫做偶數，不能被2整除的整數叫做奇數2、能被5整除的數能被5整除的數的特征：個位上是0或

16、5的整數3、能同時被2、5整除的數能同時被2和5整除的數的特征：個位上是0的整數例題解析【例29】 已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇數？哪些是偶數？【難度】【答案】奇數：11，15，19，123，787； 偶數：32，56，312，566【例30】 已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的數有_【難度】【答案】25，70，105，370【例31】 在圈內寫出滿足條件的數：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760 能被2整除的數能被5整除的數能同時被2和5整除的數【難度】【答案】

17、能被2整除的數：12，40，80，94，210，354，760； 能被5整除的數：25，40，75，80，105，210，465，760； 能同時被2和5整除的數：40， 80，210，760【例32】 三個連續的偶數的和是54，則其中最小的一個是_【難度】【答案】16【例33】 請判斷下列算式的結果是偶數還是奇數，偶數則打“”，奇數則打“×”（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）【答案】橫向： ×× × 【例34】 的和是奇數還是偶數？請說明理由【答案】奇數師生總結1、 奇數偶數的運算性質有哪些？【例35】 用0、1、2、3這四個數字排

18、成一個四位數，要使這個數有因數2，有幾種不同的排法？要使這個數能被5整除，有幾種不同的排法？【難度】【答案】有因數2： 10種；有因數5： 6種【解析】有因數2，則個位數字是2或0，則有1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032， 1302，3012，3102，共10種； 有因數5，則個位數字是0，則有1230，1320，2130，2310，3120，3210，共6種；【總結】本題主要考查如何利用能同時被2和5整除的數的特征來進行數字的排列組合【例36】 下面的乘式的積中，末尾有多少個0？【難度】【答案】7個【解析】每一個因數中所含的因數是5和2的個數，決定結果中0的

19、個數； 將130中的數分解素因數，有7個5和多于7個2，結果中有7個0【總結】本題是一道比較綜合的題目，主要考查學生對所學知識的綜合運用能力隨堂檢測【習題1】 先把下列各數放入正確的圈內，然后把這些數按照從小到大的順序排列，并說明其中最小的正整數，最小的自然數，最大的負整數分別是哪個？1，2，0.3，15，0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732，8，10整數自然數正整數負整數【難度】【答案】整數：1，2，15，0，1，8，10； 自然數：2，15，0，1，10； 正整數：2，15，1，10； 負整數：1，8； 從小到大排序為：8，1，0.7，0.3，0，0.3，1，2，3.83，4

20、.732732， 10，15； 其中最小的正整數是1，最小的自然數是0，最大的負整數是1【習題2】 一個三位數，能被2整除時，中最大填_；能被5整除時，中最小填_【答案】8，0【習題3】 判斷題：(1) 若，則一定能整除（ ）(2) 整數的最大因數正好等于整數的最小倍數，則一定大于 （ ）(3) 因為，所以是的倍數（ ）(4) 因為整數7421中包含了數字2，所以7421一定能被2整除（）【難度】【答案】× × × × 【習題4】 已知，那么的全部因數的個數是(）A10個B12個C14個D16個【難度】【答案】D【解析】本身和1：2個；任意一個數：4個；

21、任意兩數乘積：6個； 任意三個數乘積：4個；2+4+6+4=16個 【總結】本題主要考查如何去根據乘積的形式去求一個正整數的所有因數【習題5】 一個正整數既是48的因數，又是3的倍數，這個數可以是多少？【難度】【答案】3，6，12，24，48【解析】48的因數有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48， 其中是3的倍數的是3，6，12，24，48【總結】本題主要考查因數和倍數的概念【習題6】 如果表示的全部因數的和，如，則_【難度】【答案】7【解析】（18）=1+2+3+6+9+18=39，（21）=1+3+7+21=32， （18）（21）=7【總結】本題主要考查學生的理解能力，通過對

22、的理解完成相關的計算【習題7】 用0、2、5、8這四個數字組成的四位數中，能被2整除的數有多少個？【難度】【答案】10個【解析】能被2整除的數個位數字是0，2，4，6，8，所以有2580，2850，5280，5820，8250， 8520，5082，5802，8052，8502，共10個【總結】本題主要考查如何利用能被2整除的數的特征來進行數字的排列組合【習題8】 先把一個數的末位非零的數字割去，并在上位加上所割去數的4倍，然后再將和數的末位數割去，并在上位加上所割去數的4倍，這樣繼續下去，直到能夠很容易看出和數是不是13的倍數為止若是13的倍數，則這個數就是13的倍數試判斷下列各數，哪些是1

23、3的倍數？（寫出具體過程）（1）9062；（2）12805；（3）158506【難度】【答案】（2）12805是13的倍數【解析】（1）9062： 906+8=914， 91+16=107， 10+28=38，不是13的倍數； （2）12805： 1280+20=1300，是13的倍數，故12805是13的倍數； （3）158506： 15850+24=15874， 1587+16=1603， 160+12=172， 17+8=25， 不是13的倍數；【總結】本題主要考查對13的倍數的概念的理解及運用課后作業【作業1】 是否存在最小的的正整數，負整數，自然數；是否存在最大的正整數，負整數，自然

24、數？如果有，請寫出是哪個數【難度】【答案】最小的正整數是1，最小的負整數不存在，最小的自然數是0，不存在最大的正整數，最大的負整數是1，不存在最大的自然數【作業2】 78的因數有哪些？把其中的奇數和偶數分別填入相應的圈內奇數偶數【難度】【答案】奇數有1，3，13，39，偶數有2，6，26，78【作業3】 求26以內能被5整除的所有數的和【難度】【答案】75【作業4】 在黑板上，先寫出三個自然數1、3、5，然后任意擦去其中的一個，換成所剩兩個數的和照這樣進行100次后，黑板上留下的三個數中有幾個奇數？它們的乘積是奇數還是偶數？【難度】【答案】三個數中有兩個奇數，乘積為偶數【解析】第一次擦除，變為奇奇偶， 第二次分為兩種情