1、2020年重慶春招數學試卷（14）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給處的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設集合，則( ) A B C D2. 不等式的解集是( ) Ax<3 Bx>1 Cx<1或x>3 D1<x<33已知函數，則的值為（ ）A B C D4. 函數 在定義域R內是( )A. 減函數 B. 增函數 C. 非增非減函數 D. 既增又減函數5. 設，則的大小順序為 （ ）、 、 、 、6.已知，當與共線時，值為（ ）A. 1 B.2 C . D.7. 已知an為等差數列，a2+a8=12,則a5等于（ ）A.4 B.

2、5 C.6 D.78已知向量a，b，且ab，則（ ）A B C D9點到直線的距離為() ABCD10. 將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有 ()A12種 B10種C9種 D8種二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11（5分）（2014四川）復數=_12（5分）（2014四川）設f（x）是定義在R上的周期為2的函數，當x1，1）時，f（x）=，則f（）=_13（5分）（2014四川）如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m

3、，則河流的寬度BC約等于_m（用四舍五入法將結果精確到個位參考數據：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73）14（5分）（2014四川）設mR，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mxym+3=0交于點P（x，y）則|PA|PB|的最大值是_15（5分）（2014四川）以A表示值域為R的函數組成的集合，B表示具有如下性質的函數（x）組成的集合：對于函數（x），存在一個正數M，使得函數（x）的值域包含于區間M，M例如，當1（x）=x3，2（x）=sinx時，1（x）A，2（x）B現有如下命

4、題：設函數f（x）的定義域為D，則“f（x）A”的充要條件是“bR，aD，f（a）=b”；函數f（x）B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；若函數f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）A，g（x）B，則f（x）+g（x）B若函數f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，則f（x）B其中的真命題有_（寫出所有真命題的序號）三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.（本小題12分）設數列的前項和，且成等差數列。 （1）求數列的通項公式； （2）記數列的前項和，求得使成立的的最小值。17（12分）（2014四川）一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲

5、都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂：每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分（即獲得200分）設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立（1）設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發現若干盤游戲后，與最初分數相比，分數沒有增加反而減少了請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因18.（本小題滿分分）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設的中點為，的中點為。（I）請將字母

6、標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）（II）證明：直線平面（III）求二面角余弦值19（12分）（2014四川）設等差數列an的公差為d，點（an，bn）在函數f（x）=2x的圖象上（nN*）（1）若a1=2，點（a8，4b7）在函數f（x）的圖象上，求數列an的前n項和Sn；（2）若a1=1，函數f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2，求數列的前n項和Tn20.（本小題13分）如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點。當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為。（1） 球橢圓的方程；（2） 在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出

7、點的坐標；若不存在，請說明理由。21（14分）（2014四川）已知函數f（x）=exax2bx1，其中a，bR，e=2.71828為自然對數的底數（1）設g（x）是函數f（x）的導函數，求函數g（x）在區間0，1上的最小值；（2）若f（1）=0，函數f（x）在區間（0，1）內有零點，求a的取值范圍題號12345 678910答案BDCABDCA BA二、填空題：11.解答：解：復數=2i，故答案為：2i12.解答：解：f（x）是定義在R上的周期為2的函數，=1故答案為：113.解答：解：過A點作AD垂直于CB的延長線，垂足為D，則RtACD中，C=30°，AD=46mCD=4679.

8、58m又RtABD中，ABD=67°，可得BD=19.5mBC=CDBD=79.5819.5=60.0860m故答案為：60m14.解答：解：有題意可知，動直線x+my=0經過定點A（0，0），動直線mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，經過點定點B（1，3），注意到動直線x+my=0和動直線mxym+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，則有PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10故|PA|PB|=5（當且僅當時取“=”）故答案為：515.解答：解：（1）對于命題“f（x）A”即函數f（x）值域為R，“bR，aD，f（a）=b”表示的是函數可以在R中任意取值，故有：設

9、函數f（x）的定義域為D，則“f（x）A”的充要條件是“bR，aD，f（a）=b”命題是真命題； （2）對于命題若函數f（x）B，即存在一個正數M，使得函數f（x）的值域包含于區間M，MMf（x）M例如：函數f（x）滿足2f（x）5，則有5f（x）5，此時，f（x）無最大值，無最小值命題“函數f（x）B的充要條件是f（x）有最大值和最小值”是假命題； （3）對于命題若函數f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）A，g（x）B，則f（x）值域為R，f（x）（，+），并且存在一個正數M，使得Mg（x）Mf（x）+g（x）R則f（x）+g（x）B命題是真命題 （4）對于命題函數f（x）=aln（x

10、+2）+（x2，aR）有最大值，假設a0，當x+時，0，ln（x+2）+，aln（x+2）+，則f（x）+與題意不符； 假設a0，當x2時，ln（x+2），aln（x+2）+，則f（x）+與題意不符a=0即函數f（x）=（x2）當x0時，即；當x=0時，f（x）=0；當x0時，即即f（x）B故命題是真命題故答案為三、解答題16. 解：（1）當時有， 則 （） 則是以為首項，2為公比的等比數列。 又由題意得 則 （2）由題意得 由等比數列求和公式得 則 又當時， 成立時，的最小值的。點評：此題放在簡答題的第一題，考察前項和與通項的關系和等比數列的求和公式，難度較易，考察常規。可以說是知識點的直接

11、運用。所以也提醒我們在復習時要緊抓課本，著重基礎。17.解答：解：（1）X可能取值有200，10，20，100則P（X=200）=，P（X=10）=P（X=20）=，P（X=100）=，故分布列為： X200 10 20100 P由（1）知，每盤游戲出現音樂的概率是p=+=，則至少有一盤出現音樂的概率p=1由（1）知，每盤游戲或得的分數為X的數學期望是E（X）=（200）×+10×+20××100=這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統計的相關知識可知：許多人經過若干盤游戲后，入最初的分數相比，分數沒有增加反而會減少18.【答案】（I）直接將平面圖形折疊

12、同時注意頂點的對應方式即可如圖（II）連接，取的中點，連接因為、為線段、中點，所以且又因為中點，所以得到且所以四邊形為得到又因為平面所以平面（得證）（III）連接，過點作，垂足在上，過點作平面垂線，交于點，連接，則二面角因為平面，且,所以又，平面,所以平面且，所以，所以三角形為設正方體棱長為，則，所以，因為，三角形為，所以所以，所以所以19.解答：解：（1）點（a8，4b7）在函數f（x）=2x的圖象上，又等差數列an的公差為d，=2d，點（a8，4b7）在函數f（x）的圖象上，=b8，=4=2d，解得d=2又a1=2，Sn=2n+=n23n（2）由f（x）=2x，f（x）=2xln2，函數f

13、（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線方程為，又，令y=0可得x=，解得a2=2d=a2a1=21=1an=a1+（n1）d=1+（n1）×1=n，bn=2nTn=+，2Tn=1+，兩式相減得Tn=1+=20:【答案】解：（1）由題知橢圓過點。得解得：。所以，橢圓方程為：。(2)假設存在滿足題意的定點。當直線平行于軸時，兩點關于軸對稱，得在軸上。不妨設當直線為軸時，。解得下證對一般的直線，也滿足題意。由得軸為的角平分線。所以。不妨設，化簡得又橢圓方程與直線方程聯立得：，帶入得成立。故假設成立。綜上存在點滿足題意。21:解答：解：f（x）=exax2bx1，g（x）=f（x）=ex2a

14、xb，又g（x）=ex2a，x0，1，1exe，當時，則2a1，g（x）=ex2a0，函數g（x）在區間0，1上單調遞增，g（x）min=g（0）=1b；當，則12ae，當0xln（2a）時，g（x）=ex2a0，當ln（2a）x1時，g（x）=ex2a0，函數g（x）在區間0，ln（2a）上單調遞減，在區間ln（2a），1上單調遞增，g（x）min=gln（2a）=2a2aln（2a）b；當時，則2ae，g（x）=ex2a0，函數g（x）在區間0，1上單調遞減，g（x）min=g（1）=e2ab，綜上：函數g（x）在區間0，1上的最小值為；（2）由f（1）=0，eab1=0b=ea1，又f（0）=0，若函數f（x）在區間（0，1）內有零點，則函數f（x）在