1、12第一講 空間向量的運算及應用、基礎知識1 .空間向量及其有關概念概念語后描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共向向量平行于同一個平卸的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a, b(bW0), all b?存在 法R,使a=不共向向量定理若例個向重a, b不共線，則向重 p與向重a, b共面？存在唯一的后序實數對(x, y),使p= xa+yb空間向量基本定理及推論te理：如果一個向重 a, b, c不共面，那么對空間仔-向重p,存在唯一的啟序實數組x, y, z使得p = xa+yb+zc.推論：設O, A, B, C是不共面的四點，則對平囿 ABC內任一點

2、P都存在唯一的三個有序實數 x, v, z,使 OP = xC)A + yOB + zOC且 x+ y+z= 12 .數量積及坐標運算(1)兩個空間向量的數量積： a - b=|a|b| cosa, b；a，b? a - b= 0(a, b為非 零向量)；設 a= (x, y, z),則 |a2 = a2, |a|= Rx2+ y2+ z2.(2)空間向量的坐標運算：a=(a1，a2, a3), b= (b1，b2, b3)向量和a+b=(a+b1, a2+ b2, a3 + b3)向量差a b= (a1一 b1, a2 b2)a3 b3)數量積a b = a1b + a2b2 + a3b3共

3、線a / b? a1=入 1, a2=入虬 a3=入 3(入C R, bw 0)垂直a± b? a1b + a2b2+a3b3 = 0夾角公式a1b1 + a2b2+ a3b3cos(a, b> = j4a2 + a2 + a3V b2 + b2 + b23 .直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線 l平行或或共線,則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線1，“，取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面”的法向量.4.空間位置關系的向量表示位直大系向里表小直線l1，l2的方|可向量分別為 m, n211 / 1

4、2n1 / n2? n1 = knz(kC R)l1± l2n1 ±n2? n1 n2= 0直線l的方向向量為n,平囿”的法向量為ml / an± m? n m= 0l _L an / m? n= km(k £ R)平面a,3的法向量分別為n, ma / 3n / m? n= km(k £ R)a_L 3n± m? n m= 01 .空間向量基本定理的3點注意(1)空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.(2)由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量.(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯

5、一表示.2 .有關向量的數量積的 2點提醒(1)若a, b, c(bw0)為實數，則 ab=bc? a=c;但對于向量就不正確，即 a b = b c> =c.(2)數量積的運算只適合交換律、加乘分配律及數乘結合律，但不適合乘法結合律，即(a b)c不一定等于a(b c).這是由于(a b)c表示一個與c共線的向量，而a(b c)表示一個與 共線的向量，而c與a不一定共線.3 .方向向量和法向量均不為零向量且不唯一、常用結論1 .證明空間任意三點共線的方法對空間三點P, A, B可通過證明下列結論成立來證明三點共線： >1 1) PA =入PB (入e R);(2)對空間任一點 o

6、, OP =OA + tW (te R)；(3)對空間任一點 O, OP = xOA + y6B (x+y=1).2 .證明空間四點共面的方法對空間四點P, M, A, B除空間向量基本定理外也可通過證明下列結論成立來證明四點共面:一MP=xMA + yMB ;(2)對空間任一點 O, OP = OM+ xMA + yM/B ;南飛(或盂/MB或鎧/AM).3 .確定平面的法向量的方法(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有，則此向量就是法向量.(2)待定系數法：取平面內的兩條相交向量a, b,設平面的法向量為n=(x, y, z),由n a= 0,解方程組求得.n b= 0,考點一空間

7、向量的線性運算1 .如圖所示，在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi中，M為AiCi與BiDi的交點.若AB =a, AD =b, AAi=c,則下列向量中與 BM相等的是()1 ii ii ii 1 ,A . 2 + 2b+cB.2a+2b+c C. 2b+c D.2a 2b+c, 一 ,一， _, ,2 .如圖所不，在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi中，設AAi = a, AB =b, AD =c, M , N, P分別是AAi, BC, CiDi的中點，試用a, b, c表示以下各向量：(i)點；(2) A|N;(3)MP + NC.考點二 共線、共面向量定理的應用1 .若 A(

8、i,2,3), B(2,i,4), C(m, n,i)三點共線，則 m+ n=2 .已知A, B, C三點不共線，對平面 ABC外的任一點 O,若點M滿足OM = 1(OA + "OB 3> > > + O C). (i)判斷M A, M B, M C二個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面 ABC內.3.如圖所示,已知斜三棱柱 ABC -AiBiCi,點M,N分別在ACi和BC上,且滿足AMt = kA/,EN =k舊C(0Wkw 1),判斷向量MN是否與向量 不B.AA 共面.考點三空間向量數量積及應用 例三：如圖，已知平行六面體ABCD-AiBiCiDi 中

9、，底面ABCD是邊長為i的正方形，AAi = 2 , / AiAB = / AiAD = i20°.(i)求線段ACi的長；(2)求異面直線ACi與AiD所成角的余弦值;(3)求證：AAiXBD.考點四利用向量證明平行與垂直問題例四：如圖所示，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱 PD ± 底面ABCD, PD = DC, E是PC的中點，過點 E作EFLPB于點F.求證： (1)PA/平面 EDB;(2)PB，平面 EFD.、如圖，在四棱錐 E-ABCD 中岫5/ABC = 90,8 = 2AB = 2CE , 4 fE = "ODE = *(1

10、)證明：平面BCEJ平面CDE； 若SC = 4,求二面角E-A口-B的余弦值.考點一空間向量的線性運算答案 , 一 ，> f-> 二> 如如 1 > >111.1、解析：選 A BM = BB1 + B1M =AAI + 2( AD AB)= c+/(ba)= 2a + /b+c.2、解：(1)P是C1D1的中點，.陽= AAUA;D 1+D=a+而+ 2就尸 a+c+g謠= a + b+ c.(2).N是BC的中點， A1N = A1A + AB + BN = a+b+/ BC = a+ b + - AD = a+b +2c.一 ,>>1 >

11、11,11(3)M 是 AA1 的中點，MP = MA + AP =2A1A+ AP =- -a+ a+/b+c =fa+fb + c ,一 -r> ± > 1 > > 1 > >1又 NC= N C +CC 1=2B C + AAA D + AA1= a+'J/MP + Nc1 = 1a+/b+c + a+2c =2a+ 1b + 3c.考點二 共線、共面向量定理的應用答案1、答案：32、解：(1)由已知 oA + OB + OC =3OM, 所以 OA-OM=(OM-OB )+(OM 比)，即血= BM + CiM = MB -mc ,

12、所以 MA, MB, mc 共面.(2)由(1)知MA, MB, Mic共面且過同一點 m.所以M, A, B, C四點共面，從而點 M在平面ABC內.>> >>3、解：. AM = kAC1, BN=kBC, r ,> 丁一 .二> >> .二> >> . MN = MA + AB + BN = kC 1A + AB + k BC = k( C1A + BC ) + AB = k(C1A + B1C1) + AB> 二 ：, 一 >> . >=kB1A> + AB = AB 一 kAB = AB

13、一 k(AAI + AB )= (1 一 k) AB 一 kAA 1, ，由共面向量定理知向量 mN與向量 W, 京共面.考點三空間向量數量積及應用答案解：(1)設而=a, AD=b, AA1 =c,則|a|=|b|=1, |c|=2, a b=0, c a= c b = 2x 1 x cos 120 =- 1.>- 2>- ->- ->- >. AC 1 = AC + CC1 = AB + AD + AA 1 = a + b + c )|AC11= |a+ b+ c| = ¥ a+ b+ c 2=4|a|2+ |b|2+ |c|2 + 2 a b+ b

14、 c+ c a=yi2+i2+22+2x 0 i i = /.線段 aci 的長為yi(2)設異面直線 ACi與AiD所成的角為0,> >皿>>|ACi AiD|則 cos 0= |cos ACi, AiD > |=、-.之|ACi|AiD|>.7>. ACi = a+ b+c> AiD = b c, ACi AiD = (a + b + c)，b( c)=a b-a c+b2-c2=0+i+ i2-22=- 2,|A1d|=匹力=,|b|2_2b c+|c|2 =<i22X i +22 =中.忘 A?D_ |-2|yi4|AC|a7D四

15、7.故異面直線ACi與AiD所成角的余弦值為(3)證明：: AAi = c, BD = b a, . AA BD>=c b；- a)=c b-c a=(-i)-(-i)=0,AA ± BD, IP AAiXBD.考點四利用向量證明平行與垂直問題答案證明 以D為坐標原點，射線 DA, DC, DP分別為x軸、所示的空間直角坐標系D-xyz.設DC = a.(i)連接AC交BD于點G,連接EG. a a依題意得 A(a,0,0), P(0,0, a), C(0, a,0), E 0, 5,-.因為底面ABCD是正方形，所以G為AC的中點故點G的坐標為|, |, 0 ,所以 PA =

16、 (a,0, a), EG = |, 0, -| ,y軸、z軸的正方向建立如圖一， . _ _ 一貝 U PA = 2 EG ,故 FA/ EG.而 EG?平面 EDB ,PA?平面EDB,所以FA/平面EDB.一、一 >,、一 ' a a(2)依題意得 B(a, a,0),所以 PB =(a, a, a).又 DE = 0,0022故 PB DE =0 十 一一二。，所以 PBXDE,所以 PB± DE.由題可知 EF XPB,且EFADE = E,所以PBL平面EFD .、【詳解】（I ）證明：因為ABCD,"BC = 9T|,所以cd_lbc.因為CD = 4£E = 2QE =邛,所以8 J CE' = DE1所以