1、4.3三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質2019 高考會這樣考1.考查三角函數的圖象：五點法作簡圖、圖象變換、圖象的解析式；2.考查三角函數的性質：值域或最值，單調區間、對稱性等；3.考查數形結合思想復習備考要這樣做1.會作三角函數的圖象，通過圖象研究三角函數性質；2.對三角函數進行恒等變形，然后討論圖象、性質；3.注重函數與方程、轉化、數形結合等數學思想方法的應用1 “五點法”作圖原理在確定正弦函數 ysin x 在0,2上的圖象形狀時， 起關鍵作用的五個點是(0,0)、2，1、(，0)、32，1、(2，0)余弦函數呢？2 三角函數的圖象和性質函數性質ysin xycos xytan

2、x定義域RRx|xk2，kZ圖象值域1,11,1R對稱性對稱軸：xk2(kZ)；對稱中心：(k，0)(kZ)對稱軸： xk(kZ)；對稱中心：(k2，0) (kZ)對稱中心：k2，0(kZ)周期22單調性單調增區間2k2，2k2(kZ)；單調減區間2k2，2k32 (kZ)單調增區間2k，2k (kZ)；單調減區間2k，2k(kZ)單調增區間(k2，k2)(kZ)奇偶性奇函數偶函數奇函數難點正本疑點清源1 函數的周期性若 f(xT)f(x) (0)，常數 T 不能說是函數 f(x)的周期因為 f(xT)f xT ，即自變量由 x 增加到 xT，T是函數的周期2 求三角函數值域(最值)的方法(1

3、)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)形式復雜的函數應化為 yAsin(x)k 的形式逐步分析x的范圍， 根據正弦函數的單調性寫出函數的值域；(3)換元法：把 sin x 或 cos x 看作一個整體，可化為求函數在區間上的值域(最值)問題1 設點 P 是函數 f(x)sin x (0)的圖象 C 的一個對稱中心，若點 P 到圖象 C 的對稱軸的距離的最小值是4，則 f(x)的最小正周期是_答案解析由正弦函數的圖象知對稱中心與對稱軸的距離的最小值為最小正周期的14，故 f(x)的最小正周期為 T44.2 函數 y23cosx4 的最大值為_，此時 x_.答案5342k，kZ解析當 c

4、osx4 1 時，函數 y23cosx4 取得最大值 5，此時 x42k(kZ)，從而 x342k，kZ.3 (2019福建)函數 f(x)sinx4 的圖象的一條對稱軸是()Ax4Bx2Cx4Dx2答案C解析方法一正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令 x4k2，kZ，xk34，kZ.取 k1，則 x4.方法二用驗證法x4時，ysin44 0，不合題意，排除 A；x2時，ysin24 22，不合題意，排除 B；x4時，ysin44 1，符合題意，C 項正確；x2時，ysin24 22，不合題意，故 D 項也不正確4函數 ytan4x的定義域為()Ax|xk4，kZBx|x2k4，k

5、ZCx|xk4，kZDx|x2k4，kZ答案A解析令4xk2，kZ，xk4，kZ.5 給出下列四個命題，其中不正確的命題為()若 cos cos ，則2k，kZ；函數 y2cos2x3 的圖象關于 x12對稱；函數 ycos(sin x)(xR)為偶函數；函數 ysin|x|是周期函數，且周期為 2.ABCD答案D解析命題：若，則 cos cos ，假命題；命題：x12，cos2x3 cos20，故 x12不是 y2cos2x3 的對稱軸；命題：函數 ysin|x|不是周期函數題型一三角函數的定義域、值域問題例 1(1)求函數 ylg sin 2x 9x2的定義域；(2)求函數 ycos2xs

6、in x|x|4 的最大值與最小值思維啟迪：求函數的定義域可利用三角函數的圖象或數軸；求函數值域時要利用正弦函數的值域或化為二次函數解(1)由sin 2x09x20，得2k2x2k，kZ，3x3.3x2或 0 x2.函數 ylg sin 2x 9x2的定義域為x|3x2或 0 x0)的函數的單調區間，可以通過解不等式的方法去解答列不等式的原則：把“x (0)”視為一個“整體”；A0 (A0)時，所列不等式的方向與 ysin x(xR)，ycos x(xR)的單調區間對應的不等式方向相同(反)(2)對于 yAtan(x) (A、為常數)，其周期 T|，單調區間利用xk2，k2 ，解出 x 的取值

7、范圍，即為其單調區間對于復合函數 yf(v)，v(x)，其單調性的判定方法：若 yf(v)和 v(x)同為增(減)函數時，yf(x)為增函數；若 yf(v)和 v(x)一增一減時，yf(x)為減函數(3)求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定求函數 ysin34xcos4x6 的周期、單調區間及最大、最小值解34x64x2，cos4x6 cos64xcos234xsin34x.y2sin4x3 ，周期 T242.當22k4x322k (kZ)時，函數單調遞增，函數的遞增區間為524k2，24k2(kZ)當22k4x3322k (kZ)時，函數單調遞減，函數的遞減區

8、間為24k2，724k2 (kZ)當 x24k2(kZ)時，ymax2；當 x524k2(kZ)時，ymin2.題型三三角函數的對稱性與奇偶性例 3(1)已知 f(x)sin x 3cos x(xR)，函數 yf(x)|2 的圖象關于直線 x0 對稱，則的值為_(2)如果函數 y3cos(2x)的圖象關于點43，0中心對稱，那么|的最小值為()A.6B.4C.3D.2答案(1)6(2)A解析(1)f(x)2sinx3 ，yf(x)2sinx3圖象關于 x0 對稱，即 f(x)為偶函數32k，kZ，k6，kZ，又|2，6.(2)由題意得 3cos2433cos2323cos230，23k2，kZ

9、，k6，kZ，取 k0，得|的最小值為6.故選 A.探究提高若 f(x)Asin(x)為偶函數，則當 x0 時，f(x)取得最大值或最小值若 f(x)Asin(x)為奇函數，則當 x0 時，f(x)0.如果求 f(x)的對稱軸，只需令x2k (kZ)，求 x.如果求 f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk (kZ)即可(1)定義運算|abcd|adbc，則函數 f(x)|33sin x1cos x|的圖象的一條對稱軸方程是()Ax56Bx23Cx3Dx6(2)若函數 f(x)asin xbcos x (05，ab0)的圖象的一條對稱軸方程是 x4，函數 f(x)的圖象的一個對稱中心是8，0，則

10、 f(x)的最小正周期是_答案(1)A(2)解析(1)f(x)|33sin x1cos x|3cos x 3sin x2 3cosx6 .所以當 x56時，f(x)2 3cos566 2 3.(2)由題設，有 f4 a2b2，即22(ab) a2b2，由此得到 ab.又 f8 0，acos8sin8 0，從而 tan81，8k4，kZ，即8k2，kZ，而 00，a0 或 a0，則2ab1 3ab5，解得a126 3b2312 3；7 分若 a0 或a0)的形式，再根據基本三角函數的單調區間，求出 x 所在的區間應特別注意，考慮問題應在函數的定義域內考慮注意區分下列兩題的單調增區間的不同：(1)

11、ysin2x4 ；(2)ysin42x.3利用換元法求三角函數最值時注意三角函數的有界性，如：ysin2x4sin x5，令 tsinx(|t|1)，則 y(t2)211，解法錯誤A 組專項基礎訓練(時間：35 分鐘，滿分：57 分)一、選擇題(每小題 5 分，共 20 分)1 函數 ycos x12的定義域為()A.3，3B.k3，k3 ，kZC.2k3，2k3 ，kZDR答案C解析由題意得 cos x12，即 2k3x2k3，kZ，故函數定義域為2k3，2k3 ，kZ.2 ysinx4 的圖象的一個對稱中心是()A(，0)B.34，0C.32，0D.2，0答案B解析ysin x 的對稱中心

12、為(k，0) (kZ)，令 x4k (kZ)，xk4(kZ)，由 k1，x34得 ysinx4 的一個對稱中心是34，0.3 (2019山東)若函數 f(x)sin x (0)在區間0，3 上單調遞增，在區間3，2 上單調遞減，則等于()A.23B.32C2D3答案B解析f(x)sin x(0)過原點，當 0 x2，即 0 x2時，ysin x 是增函數；當2x32，即2x32時，ysin x 是減函數由 f(x)sin x (0)在0，3 上單調遞增，在3，2 上單調遞減知，23，32.4 函數 f(x)cos 2xsin52x是()A非奇非偶函數B僅有最小值的奇函數C僅有最大值的偶函數D有

13、最大值又有最小值的偶函數答案D解析f(x)cos 2xsin52x2cos2x1cos x2cos x14298.顯然有最大值又有最小值，而且在 R 上有 f(x)f(x)，所以正確答案為 D.二、填空題(每小題 5 分，共 15 分)5 函數 ylg(sin x)cos x12的定義域為_答案2k，32k(kZ)解析要使函數有意義必須有sin x0cos x120，即sin x0cos x12，解得2kx2k32kx32k(kZ)，2kx32k，kZ，函數的定義域為x|2k0)和 g(x)2cos(2x)1 的圖象的對稱軸完全相同若x0，2，則 f(x)的取值范圍是_答案32，3解析由對稱軸

14、完全相同知兩函數周期相同，2，f(x)3sin(2x6)由 x0，2，得62x656，32f(x)3.7 函數 f(x)2sin x(0)在0，4 上單調遞增，且在這個區間上的最大值是 3，那么_.答案43解析因為 f(x)2sin x (0)在0，4 上單調遞增，且在這個區間上的最大值是 3，所以 2sin4 3，且 042，因此43.三、解答題(共 22 分)8 (10 分)設函數 f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線 x8.(1)求；(2)求函數 yf(x)的單調增區間解(1)令 28k2，kZ，k4，kZ，又0，則54k14，kZ.k1，則34.(2)由(1)

15、得：f(x)sin2x34 ，令22k2x3422k，kZ，可解得8kx58k，kZ，因此 yf(x)的單調增區間為8k，58k，kZ.9 (12 分)(1)求函數 y2sin2x3 (6x6)的值域；(2)求函數 y2cos2x5sin x4 的值域解(1)6x6，02x323，00)的圖象向右平移4個單位長度，所得圖象經過點34，0，則的最小值是()A.13B1C.53D2答案D解析根據題意平移后函數的解析式為 ysin x4 ，將34，0代入得 sin20，則2k，kZ，且0，故的最小值為 2.2 (2019上海)若 Snsin7sin27sinn7(nN*)，則在 S1，S2，S100

16、中，正數的個數是()A16B72C86D100答案C解析易知 S10，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sin7sin27sin77sin87sin27sin37sin770，S9sin37sin47sin770，S10sin47sin770，S11sin57sin67sin770，S12sin67sin770，S13sin770，S14sin77sin1470，S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共 14 個在 S1，S2，S100中，正數的個數是

17、 1001486(個)3 已知函數 f(x)2sin x(0)在區間3，4 上的最小值是2，則的最小值等于()A.23B.32C2D3答案B解析f(x)2sin x (0)的最小值是2，x2k2，kZ，32k24，kZ，6k32且8k2，kZ，min32，故選 B.二、填空題(每小題 5 分，共 15 分)4 函數 y2sin(3x) (|2)的一條對稱軸為 x12，則_.答案4解析由題意得 312k2，kZ，k4，kZ，又|2，4.5 函數 ysin x1sin x(0 xcos x 時，f(x)sin x.給出以下結論：f(x)是周期函數；f(x)的最小值為1；當且僅當 x2k (kZ)時

18、，f(x)取得最小值；當且僅當 2k2x0；f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是 2.其中正確的結論序號是_答案解析易知函數 f(x)是周期為 2的周期函數函數 f(x)在一個周期內的圖象如圖所示由圖象可得，f(x)的最小值為22，當且僅當 x2k54(kZ)時，f(x)取得最小值；當且僅當 2k2x0；f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是 2.所以正確的結論的序號是.三、解答題7 (13 分)已知 a0，函數 f(x)2asin2x6 2ab，當 x0，2 時，5f(x)1.(1)求常數 a，b 的值；(2)設 g(x)fx2 且 lg g(x)0，求 g(x)的單調區間解(1)x0，2 ，2x66，76 .