1、第三章、經典單方程計量經濟學模型：多元線性回歸模型一、內容提要本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的情形相同。主要內容仍然包括模型的基本假定、模型的估計、模型的檢驗以及模型在預測方面的應用等方面。只不過為了多元建模的需要，在基本假設方面以及檢驗方面有所擴充。本章仍重點介紹了多元線性回歸模型的基本假設、估計方法以及檢驗程序。與一元回歸分析相比，多元回歸分析的基本假設中引入了多個解釋變量間不存在（完全）多重共線性這一假設；在檢驗部分，一方面引入了修正的可決系數，另一方面引入了對多個解釋變量是否對被解釋變量有顯著線性影響關系的聯合性F檢驗，并討論了F檢驗與擬合優度

2、檢驗的內在聯系。本章的另一個重點是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學習非線性模型如何轉化為線性回歸模型的常見類型與方法。這里需要注意各回歸參數的具體經濟含義。本章第三個學習重點是關于模型的約束性檢驗問題，包括參數的線性約束與非線性約束檢驗。參數的線性約束檢驗包括對參數線性約束的檢驗、對模型增加或減少解釋變量的檢驗以及參數的穩定性檢驗三方面的內容，其中參數穩定性檢驗又包括鄒氏參數穩定性檢驗與鄒氏預測檢驗兩種類型的檢驗。檢驗都是以F檢驗為主要檢驗工具，以受約束模型與無約束模型是否有顯著差異為檢驗基點。參數的非線性約束檢驗主要包括最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數檢驗。它們仍以估計無約

3、束模型與受約束模型為基礎，但以最大似然原理進行估計，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個數為自由度的分布為檢驗統計量的分布特征。非線性約束檢驗中的拉格朗日乘數檢驗在后面的章節中多次使用。二、典型例題分析例1某地區通過一個樣本容量為722的調查數據得到勞動力受教育的一個回歸方程為 R2=0.214式中，edu為勞動力受教育年數，sibs為該勞動力家庭中兄弟姐妹的個數，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數。問（1）sibs是否具有預期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預測的受教育水平減少一年，需要sibs增加多少？（2）請對medu的系數給予適當的解釋。（3）如果兩個

4、勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數為12年，另一個的父母受教育的年數為16年，則兩人受教育的年數預期相差多少？解答：（1）預期sibs對勞動者受教育的年數有影響。因此在收入及支出預算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短。根據多元回歸模型偏回歸系數的含義，sibs前的參數估計值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加1個兄弟姐妹，受教育年數會減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個。（2）medu的系數表示當兄弟姐妹數與父親受教育的年數保持不變時，母親每增加1年受教育的機會，其子女作為勞動者就會預期

5、增加0.131年的教育機會。（3）首先計算兩人受教育的年數分別為10.36+0.131´12+0.210´12=14.45210.36+0.131´16+0.210´16=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2以企業研發支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業銷售額（X1）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個有32容量的樣本企業的估計結果如下：其中括號中為系數估計值的標準差。（1）解釋log(X1)的系數。如果X1增加10%，估計Y會變化多少個百分點？這在經濟上是一個很大的影響嗎

6、？（2）針對R&D強度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設，檢驗它不雖X1而變化的假設。分別在5%和10%的顯著性水平上進行這個檢驗。（3）利潤占銷售額的比重X2對R&D強度Y是否在統計上有顯著的影響？解答：（1）log(x1)的系數表明在其他條件不變時，log(x1)變化1個單位，Y變化的單位數，即DY=0.32Dlog(X1)»0.32(DX1/X1)=0.32´100%，換言之，當企業銷售X1增長100%時，企業研發支出占銷售額的比重Y會增加0.32個百分點。由此，如果X1增加10%，Y會增加0.032個百分點。這在經濟上不是一個較大的影響。（2）針對備擇

7、假設H1：，檢驗原假設H0：。易知計算的t統計量的值為t=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的t 分布的臨界值為1.699（單側），計算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設。意味著R&D強度不隨銷售額的增加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311，計算的t 值小于該值，拒絕原假設，意味著R&D強度隨銷售額的增加而增加。（3）對X2，參數估計值的t統計值為0.05/0.46=1.087，它比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認為它對Y在統計上沒有顯著的影響。例3下表為有關經批準的私人住房單位及其決定因素的4個模

8、型的估計量和相關統計值（括號內為p-值）（如果某項為空，則意味著模型中沒有此變量）。數據為美國40個城市的數據。模型如下：式中housing實際頒發的建筑許可證數量，density每平方英里的人口密度，value自由房屋的均值（單位：百美元），income平均家庭的收入（單位：千美元），popchang19801992年的人口增長百分比，unemp失業率，localtax人均交納的地方稅，statetax人均繳納的州稅變量模型A模型B模型C模型DC813 (0.74)-392 (0.81)-1279 (0.34)-973 (0.44)Density0.075 (0.43)0.062 (0.32

9、) 0.042 (0.47)Value-0.855 (0.13)-0.873 (0.11)-0.994 (0.06)-0.778 (0.07)Income110.41 (0.14)133.03 (0.04)125.71 (0.05)116.60 (0.06)Popchang26.77 (0.11)29.19 (0.06)29.41 (0.001)24.86 (0.08)Unemp-76.55 (0.48)Localtax-0.061 (0.95)Statetax-1.006 (0.40)-1.004 (0.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.34

10、90.3380.3220.3121.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6（1） 檢驗模型A中的每一個回歸系數在10%水平下是否為零（括號中的值為雙邊備擇p-值）。根據檢驗結果，你認為應該把變量保留在模型中還是去掉？（2） 在模型A中，在10%水平下檢驗聯合假設H0：bi =0(i=1,5,6,7)。說明被擇假設，計算檢驗統計值，說明其在零假設條件下的分布，拒絕或接受零假設的標準。說明你的結論。（3） 哪個模型是“最優的”？解釋你的選擇標準。（4） 說明最優模型中有哪些系數的符號是“錯誤的”。說明你的預

11、期符號并解釋原因。確認其是否為正確符號。解答：（1）直接給出了P-值，所以沒有必要計算t-統計值以及查t分布表。根據題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數為零的原假設。由于表中所有參數的p-值都超過了10%，所以沒有系數是顯著不為零的。但由此去掉所有解釋變量，則會得到非常奇怪的結果。其實正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時一定要謹慎，要有所選擇。本例中，value、income、popchang的p-值僅比0.1稍大一點，在略掉unemp、localtax、statetax的模型C中，這些變量的系數都是顯著的。（2）針對聯合假設H0：bi =0(i=1,5,6,7)的備擇假設為

12、H1：bi =0(i=1,5,6,7) 中至少有一個不為零。檢驗假設H0，實際上就是參數的約束性檢驗，非約束模型為模型A，約束模型為模型D，檢驗統計值為顯然，在H0假設下，上述統計量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為（4，32）的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間。顯然，計算的F值小于臨界值，我們不能拒絕H0，所以i(i=1,5,6,7)是聯合不顯著的。(3）模型D中的3個解釋變量全部通過顯著性檢驗。盡管R2與殘差平方和較大，但相對來說其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優的模型。（4）隨著收入的增加，我們預期住房需要會隨之增加。所以可以預期3>0，事實上其估計值確是大

13、于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會隨之增加，所以我們預期4>0，事實其估計值也是如此。隨著房屋價格的上升，我們預期對住房的需求人數減少，即我們預期3估計值的符號為負，回歸結果與直覺相符。出乎預料的是，地方稅與州稅為不顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預期住房的需求將下降。雖然模型A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。 4、在經典線性模型基本假定下，對含有三個自變量的多元回歸模型：你想檢驗的虛擬假設是H0：。 （1）用的方差及其協方差求出。 （2）寫出檢驗H0：的t統計量。 （3）如果定義，寫出一個涉及b0、q、b2和b3的回歸方程，以便能直接得到q估計值及其標準

14、誤。解答： （1）由數理統計學知識易知 （2）由數理統計學知識易知，其中為的標準差。 （3）由知，代入原模型得這就是所需的模型，其中q估計值及其標準誤都能通過對該模型進行估計得到。三、習題（一）基本知識類題型3-1解釋下列概念：1) 多元線性回歸2) 虛變量3) 正規方程組4) 無偏性5) 一致性 6）參數估計量的置信區間7）被解釋變量預測值的置信區間6) 受約束回歸7) 無約束回歸8) 參數穩定性檢驗3-2觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數是否呈線性？或都是？或都不是？1)2)3)4)5)6)7) 3-3多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區別？3-4為什么說最小二乘估計量是最優的

15、線性無偏估計量？多元線性回歸最小二乘估計的正規方程組，能解出唯一的參數估計的條件是什么？3-5多元線性回歸模型的基本假設是什么？試說明在證明最小二乘估計量的無偏性和有效性的過程中，哪些基本假設起了作用？ 3-6請說明區間估計的含義。 （二）基本證明與問答類題型3-7什么是正規方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型：，的正規方程組，及其推導過程。3-8對于多元線性回歸模型，證明：（1）（2）3-9為什么從計量經濟學模型得到的預測值不是一個確定的值？預測值的置信區間和置信度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區間？為什么？ 3-10在多元線性回歸分析中，檢驗與檢驗有何不同？在一元線性

16、回歸分析中二者是否有等價的作用？3-11設有模型：，試在下列條件下：（1）（2）分別求出和的最小二乘估計量。3-12多元線性計量經濟學模型 1,2,n (2.11.1)的矩陣形式是什么？其中每個矩陣的含義是什么？熟練地寫出用矩陣表示的該模型的普通最小二乘參數估計量，并證明在滿足基本假設的情況下該普通最小二乘參數估計量是無偏和有效的估計量。 3-13有如下生產函數：（0.257） (0.219) 其中括號內數值為參數標準差。請檢驗以下零假設：（1）產出量的資本彈性和勞動彈性是等同的；（2）存在不變規模收益，即 。3-14對模型應用OLS法，得到回歸方程如下：要求：證明殘差與不相關，即：。3-15

17、 3-16考慮下列兩個模型：、要求：（1）證明： ， ，（2）證明：殘差的最小二乘估計量相同，即：（3）在何種情況下，模型的擬合優度會小于模型擬合優度。 3-17假設要求你建立一個計量經濟模型來說明在學校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人數，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個學年收集數據，得到兩個可能的解釋性方程：方程A： 方程B： 其中：某天慢跑者的人數 該天降雨的英寸數該天日照的小時數該天的最高溫度（按華氏溫度）第二天需交學期論文的班級數請回答下列問題：（1）這兩個方程你認為哪個更合理些，為什么？（2）為什么用相同的數據去估計相同變量的系數得到不同的符號？3-18對下列

18、模型： （1） （2）求出的最小二乘估計值；并將結果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計值作比較：（3） ，你認為哪一個估計值更好？3-19假定以校園內食堂每天賣出的盒飯數量作為被解釋變量，盒飯價格、氣溫、附近餐廳的盒飯價格、學校當日的學生數量（單位：千人）作為解釋變量，進行回歸分析；假設不管是否有假期，食堂都營業。不幸的是，食堂內的計算機被一次病毒侵犯，所有的存儲丟失，無法恢復，你不能說出獨立變量分別代表著哪一項！下面是回歸結果（括號內為標準差）： （2.6） (6.3) (0.61) (5.9) 要求：（1）試判定每項結果對應著哪一個變量？（2）對你的判定結論做出說明。 （三）基本計算類題

19、型3-20試對二元線性回歸模型： ，（）作回歸分析，要求：（1）求出未知參數的最小二乘估計量；（2）求出隨機誤差項的方差的無偏估計量；（3）對樣本回歸方程作擬合優度檢驗；（4）對總體回歸方程的顯著性進行檢驗；（5）對的顯著性進行檢驗；（6）當時，寫出和Y0的置信度為95%的預測區間。3-21下表給出三變量模型的回歸結果：方差來源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值(MSS)來自回歸(ESS)65965來自殘差(RSS)_總離差(TSS)6604214要求：（1）樣本容量是多少？（2）求RSS？（3）ESS和RSS的自由度各是多少？（4）求和？（5）檢驗假設：和對無影響。你用什么假設檢驗

20、？為什么？（6）根據以上信息，你能否確定和各自對的貢獻嗎？3-22下面給出依據15個觀察值計算得到的數據： ， ， ， ， ， ， 其中小寫字母代表了各值與其樣本均值的離差。要求：（1）估計三個多元回歸系數；（2）估計它們的標準差；并求出與？（3）估計、95%的置信區間；（4）在下，檢驗估計的每個回歸系數的統計顯著性（雙邊檢驗）；（5）檢驗在下所有的部分系數都為零，并給出方差分析表。3-23考慮以下方程（括號內為估計標準差）：（0.080） (0.072) (0.658) 其中：年的每位雇員的工資和薪水年的物價水平年的失業率要求：（1）對個人收入估計的斜率系數進行假設檢驗；（盡量在做本題之前不

21、參考結果）（2）討論在理論上的正確性，對本模型的正確性進行討論；是否應從方程中刪除？為什么？3-24下表是某種商品的需求量、價格和消費者收入十年的時間序列資料：年份12345678910需求量（噸）Y59190654506236064700674006444068000724007571070680價格（元）X123.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68收入（元）X27620091200106700111600119000129200143400159600180000193000要求：（1）已知商品需求量是其價格和消費者收入的函數，試

22、求對和的最小二乘回歸方程：（2）求的總變差中未被和解釋的部分，并對回歸方程進行顯著性檢驗；（3）對回歸參數，進行顯著性檢驗。3-25參考習題2-28給出的數據，要求：（1）建立一個多元回歸模型，解釋MBA畢業生的平均初職工資，并且求出回歸結果；（2）如果模型中包括了GPA和GMAT分數這兩個解釋變量，先驗地，你可能會遇到什么問題，為什么？（3）如果學費這一變量的系數為正、并且在統計上是顯著的，是否表示進入最昂貴的商業學校是值得的。學費這個變量可用什么來代替？ 3-26經研究發現，學生用于購買書籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水平有關，對18名學生進行調查的統計資料如下表所示：學生

23、序號購買書籍及課外讀物支出（元/年）受教育年限 （年）家庭月可支配收入（元/月）1450.54171.22507.74174.23613.95204.34563.44218.75501.54219.46781.57240.47541.84273.58611.15294.891222.110330.210793.27333.111660.85366.012792.76350.913580.84357.914612.75359.015890.87371.9161121.09435.3171094.28523.9181253.010604.1要求：（1）試求出學生購買書籍及課外讀物的支出與受教育年限

24、和家庭收入水平的估計的回歸方程：（2）對的顯著性進行t檢驗；計算和；（3）假設有一學生的受教育年限年，家庭收入水平，試預測該學生全年購買書籍及課外讀物的支出，并求出相應的預測區間（=0.05）。3-27根據100對(，)的觀察值計算出： 要求：（1）求出一元模型中的的最小二乘估計量及其相應的標準差估計量；（2）后來發現還受的影響，于是將一元模型改為二元模型，收集的相應觀察值并計算出： 求二元模型中的，的最小二乘估計量及其相應的標準差估計量；（3）一元模型中的與二元模型中的是否相等？為什么？3-28考慮以下預測的回歸方程： 其中：第t年的玉米產量（蒲式耳/畝）第t年的施肥強度（磅/畝）第t年的降

25、雨量（英寸）要求回答下列問題：（1）從和對的影響方面，說出本方程中系數和的含義；（2）常數項是否意味著玉米的負產量可能存在？（3）假定的真實值為，則估計值是否有偏？為什么？（4）假定該方程并不滿足所有的古典模型假設，即并不是最佳線性無偏估計值，則是否意味著的真實值絕對不等于？為什么？ 3-29已知線性回歸模型式中（0，），且（為樣本容量，為參數的個數），由二次型的最小化得到如下線性方程組：要求：（1）把問題寫成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之；（2）如果，求；（3）求出的方差協方差矩陣。3-30已知數據如下表：11103298351541285-6要求：（1）先根據表中數據估計以下回歸模

26、型的方程（只估計參數不用估計標準差）：（2）回答下列問題：嗎？為什么？嗎？為什么？（四）自我綜合練習類題型3-31自己選擇研究對象(最好是一個實際經濟問題)，收集樣本數據，應用計量經濟學軟件（建議使用Eviews3.1），完成建立多元線性計量經濟模型的全過程，并寫出詳細研究報告。四、習題參考答案 （一）基本知識類題型3-1解釋下列概念（1）在現實經濟活動中往往存在一個被解釋變量受到多個解釋變量的影響的現象，表現為在線性回歸模型中有多個解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元指多個解釋變量。（2）形如的關于參數估計值的線性代數方程組稱為正規方程組。3-2答：變量非線性、系數線性；變量、系

27、數均線性；變量、系數均線性；變量線性、系數非線性；變量、系數均為非線性；變量、系數均為非線性；變量、系數均為線性。3-3答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區別表現在如下幾方面：一是解釋變量的個數不同；二是模型的經典假設不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型多了“解釋變量之間不存在線性相關關系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數估計式的表達更復雜；3-4在多元線性回歸模型中，參數的最小二乘估計量具備線性、無偏性、最小方差性，同時多元線性回歸模型滿足經典假定，所以此時的最小二乘估計量是最優的線性無偏估計量，又稱BLUE估計量。對于多元線性回歸最小二乘估計的正規方程組，3-5答：多元線性回歸

28、模型的基本假定有：零均值假定、隨機項獨立同方差假定、解釋變量的非隨機性假定、解釋變量之間不存在線性相關關系假定、隨機誤差項服從均值為0方差為的正態分布假定。在證明最小二乘估計量的無偏性中，利用了解釋變量與隨機誤差項不相關的假定；在有效性的證明中，利用了隨機項獨立同方差假定。3-6答：區間估計是指研究用未知參數的點估計值（從一組樣本觀測值算得的）作為近似值的精確程度和誤差范圍。（二）基本證明與問答類題型3-7答：含有待估關系估計量的方程組稱為正規方程組。正規方程組的非矩陣形式如下：正規方程組的矩陣形式如下：推導過程略。3-16解：（1）證明：由參數估計公式可得下列參數估計值證畢。證明： 證畢。設：I式的擬合優度為：II式的擬合優度為：在中已經證得成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合優度小于模型I的擬合優度，必須滿足：。3-17答：方程B更合理些。原因是：方程B中的參數估計值的符號與現實更接近些，如與日照的小時數同向變