1、抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3講平面向量的數量積講平面向量的數量積抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理1兩個向量的夾角兩個向量的夾角同向同向反向反向ab抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，它們的夾角為，它們的夾角為，我們把數量，我們把數量|a|b|cos 叫做向量叫做向量a和和b的數量積的數量積(或內積或內積)，記作，記作_.規定：零向量與任一向量的數量積為規定：零向量與任一向量的數量積為_.數量積數量積ab等于等于a的長度的長度|a|

2、與與b在在a的方向上的投影的方向上的投影_的乘積的乘積2平面向量的數量積平面向量的數量積3平面向量數量積的幾何意義平面向量數量積的幾何意義ab|a|b|cos |b|cos 0抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)eaae_；(2)非零向量非零向量a，b，ab_；4平面向量數量積的重要性質平面向量數量積的重要性質|a|cos ab0|a|2(1)ab_(交換律交換律)；(2)(a)b_(為實數為實數)；(3)(ab)c_.5平面向量數量積滿足的運算律平面向量數量積滿足的運算律ba(ab)a(b)abacbc抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3

3、年高考年高考設向量設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab_，由此得到由此得到x1x2y1y20 x1x2y1y26平面向量數量積有關性質的坐標表示平面向量數量積有關性質的坐標表示x2y2抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考對于數量積的復習應重視以下幾個方面對于數量積的復習應重視以下幾個方面(1)由于幾何意義和坐標意義是平面向量的兩個最本質特由于幾何意義和坐標意義是平面向量的兩個最本質特征，所以平面向量的數量積常結合平面向量基本定理考查征，所以平面向量的數量積常結合平面向量基本定理考查這兩個特征這兩個特征(2)認真理解數量積的定義及其幾何意義，理解投影

4、的概念認真理解數量積的定義及其幾何意義，理解投影的概念及其實質，對于數量積的坐標表示，要注意與兩向量共線及其實質，對于數量積的坐標表示，要注意與兩向量共線表示的區別求兩向量的數量積，包括定義法和坐標法兩表示的區別求兩向量的數量積，包括定義法和坐標法兩種形式種形式【助學助學微博微博】抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)明確運用數量積可以解決的問題，如求長度明確運用數量積可以解決的問題，如求長度(范圍范圍)、求、求夾角、解決垂直問題等，并重視數量積在三角函數、解析夾角、解決垂直問題等，并重視數量積在三角函數、解析幾何等知識中的應用幾何等知識中的應用(4)題型主要

5、以填空題為主，屬容易題，預計今后高考對數題型主要以填空題為主，屬容易題，預計今后高考對數量積的考查仍將是考查的重點和熱點量積的考查仍將是考查的重點和熱點抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案4考點自測考點自測抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考2(2012揚州第二次調研揚州第二次調研)已知單位向量已知單位向量a，b的夾角為的夾角為 120，那么，那么|2axb|(xR)的最小值是的最小值是_抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案

6、44(2012蘇錫常鎮聯考蘇錫常鎮聯考)已知已知|a|6，|b|3，ab12，則向量則向量a在向量在向量b方向上的投影為方向上的投影為_抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案8抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一考向一向量的數量積向量的數量積答案答案24抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結方法總結 當向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要當向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要根據向量加減法運算的幾何法則進行轉化，把題目中未知根據向量加減法運算的幾何法則進行轉化，把題目中未知的向量用已

7、知的向量表示出來，在這個過程中要充分利用的向量用已知的向量表示出來，在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識識抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2012鹽城市二模鹽城市二模)設向量設向量a，b，c滿足滿足abc0，(ab)c，ab，若，若|a|1，則，則|a|2|b|2|c|2的值是的值是_考向二考向二利用平面向量數量積求夾角與模利用平面向量數量積求夾角與模抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3

8、年高考年高考抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓練訓練2】 (2011揚州調研揚州調研)已知非零向量已知非零向量a，b，c滿足滿足abc0，向量，向量a，b的夾角為的夾角為120，且，且|b|2|a|，則向，則向量量a與與c的夾角為的夾角為_所以所以ac，即，即a與與c的夾角為的夾角為90.答案答案90抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例3】 (2012無錫期末考試無錫期末考試)已知已知ABC的角的角A、B、C所所對的邊分別是對的邊分別是a、b、c，設向量，設向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)考

9、向三考向三利用數量積解決向量平行、垂直問題利用數量積解決向量平行、垂直問題抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解由題意可知由題意可知mp0，即，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab.即即(ab)23ab40.ab4(ab1舍去舍去)方法總結方法總結 已知兩向量垂直就是利用其數量積為零列出方已知兩向量垂直就是利用其數量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數值在計算數量積時要注程，通過解方程求出其中的參數值在計算數量積時要注意方法的選擇：一種方法是利用向量的坐標形式求數量意方法的選擇：一種方法是利

10、用向量的坐標形式求數量積；另一種方法是利用向量數量積的計算公式求數量積積；另一種方法是利用向量數量積的計算公式求數量積抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2011遼寧卷改編遼寧卷改編)若若a，b，c均為單位向量，且均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則，則|abc|的最大值為的最大值為_考向四考向四平面向量數量積坐標表示及應用平面向量數量積坐標表示及應用抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考

11、答案答案(1)6(2)1方法總結方法總結 建立直角坐標系，用向量的坐標運算求解有關建立直角坐標系，用向量的坐標運算求解有關問題，多數情況下較為方便問題，多數情況下較為方便抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案5抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考 近幾年高考對平面向量的考查突出了近幾年高考對平面向量的考查突出了“創新性創新性”與與“靈靈活性活性”，其實質可以歸源于平面向量的幾何特征和代數特，其實質可以歸源于平面向量的幾何特征和代數特征通過建立直角坐標系，利用向量的坐標表示求與向量征通過建立直角坐標系，利用向量的坐標表示求與向量有

12、關的值或最值、范圍問題，往往較為方便通過向量的有關的值或最值、范圍問題，往往較為方便通過向量的坐標，可以建立函數模型坐標，可以建立函數模型(代數或三角函數代數或三角函數)，用函數性質，用函數性質或基本不等式求解或基本不等式求解熱點突破熱點突破15 充分利用向量的坐標表示求與向量有關的充分利用向量的坐標表示求與向量有關的 綜合性問題綜合性問題抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題與轉化審題與轉化 第一步第一步：通過建系，運用坐標法來解題比：通過建系，運用坐標法來解題比較簡單較簡單規范解答規范解答 第二步第二步：法一以：法一以A為原點，為原點，AB所在直線所在直線為為x軸，軸，AD所在直線為所在直線為y軸建立平面直角坐標系，設軸建立平面直角坐標系，設F(x,2)，抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考反思與回顧反思與回顧 第三步第三步：本題考查了向量的數量積運算、向：本題考查了向量的數量積運算、向量的坐標運算及向量加減法的幾何表示等知識，試題難度量的坐標運算及向量加減法的幾何表示等知識，試題難度較大考查了學生運用已學知識解決問題的能力較大考查了