1、班級 姓名 學案學案 5.4 數列求和數列求和 基礎知識梳理基礎知識梳理 1等差數列的前 n 項和公式 Snn（a1an）2na1n（n1）2d 2等比數列的前 n 項和公式 Snna1，q1，a1anq1qa1（1qn）1q，q1. 3一些常見數列的前 n 項和公式 (1)1234nn（n1）2； (2)13572n1n2； (3)24682nn2n 1辨明兩個易誤點 (1)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點 (2)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于 1 和不等于 1兩種情況求解

2、 2數列求和的常用方法 (1)倒序相加法： 如果一個數列an的前 n 項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前 n 項和即可用倒序相加法，如等差數列的前 n 項和即是用此法推導的 (2)錯位相減法： 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的， 那么這個數列的前 n 項和即可用此法來求，如等比數列的前 n 項和就是用此法推導的 (3)裂項相消法： 把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和 (4)分組求和法： 一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成， 則求和時可用分組轉化法，分別求和

3、后再相加減 (5)并項求和法： 一個數列的前 n 項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如 an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解 考點一_分組法求和_ 例 1(2014 高考湖南卷)已知數列an的前 n 項和 Snn2n2，nN*. (1)求數列an的通項公式； (2)設 bn2an(1)nan，求數列bn的前 2n 項和 規律方法 1.分組轉化法求和的常見類型 (1)若 anbncn，且bn，cn為等差或等比數列，可采用分組求和法求an的前 n 項和； (2)通項公式為 anbn，n為奇數，cn，n為偶數的數列， 其中數列bn， cn是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和 2本

4、題中求前 2n 項和轉化為求數列22n與(1)nn的和，在求(1)nn的和時，又利用了并項求和法 考點二_錯位相減法求和_ 例 2.(2015 浙江寧波高三模擬)設an是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且a11，b12，a2b310，a3b27. (1)求數列an，bn的通項公式； (2)設數列bn的前 n 項和為 Sn，記 cnSn2an，nN*，求數列cn的前 n 項和 Tn. 規律方法 用錯位相減法求和時，應注意： (1)要善于識別題目類型， 特別是等比數列公比為負數的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的

5、表達式 考點三_裂項相消法求和(高頻考點)_ 裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題 高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度： (1)求前 n 項和； (2)比較大小或不等式證明 例 3.(2014 高考廣東卷)設各項均為正數的數列an的前 n 項和為 Sn，且 Sn滿足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*. (1)求 a1的值； (2)求數列an的通項公式； (3)證明：對一切正整數 n，有1a1（a11）1a2（a21）1an（an1）13. 規律方法 1.解答本題利用了裂項相消法，而解答此題的關鍵是借助于放縮，即14k22k13k23k131k1

6、k1，即可相消 2利用裂項相消法求和應注意 (1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項； (2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等如：若an是等差數列，則1anan11d1an1an1，1anan212d1an1an2. 課后達標檢測 A 組 1數列an的通項公式是 an1n n1，其前 n 項和為 9，則 n 等于( ) A9 B99 C10 D100 2等差數列an的通項公式為 an2n1，其前 n 項的和為 Sn，則數列Snn的前 10 項的和為( ) A120 B100 C75 D70 3(2015 山東濟南期末)已知an為等差數列，a1033，a21，Sn為數列an的前 n 項和，則 S202S10等于( ) A40 B200 C400 D20 4數列 a12，ak2k，a1020 共有十項，且其和為 240，則 a1aka10的值為_ B 組組 5已知等差數列an的前