1、2018屆高三第二輪復習數列第1講等差、等比考點【高 考 感 悟】從近三年高考看，高考命題熱點考向可能為：考什么怎么考題型與難度1.等差(比)數列的基本運算主要考查等差、等比數列的基本量的求解題型：三種題型均可出現難度：基礎題2.等差(比)數列的判定與證明主要考查等差、等比數列的定義證明題型：三種題型均可出現難度：基礎題或中檔題3.等差(比)數列的性質主要考查等差、等比數列的性質題型：選擇題或填空題難度：基礎題或中檔題1必記公式(1)等差數列通項公式：ana1(n1)d.(2)等差數列前n項和公式：Snna1.(3)等比數列通項公式：ana1qn1.(4)等比數列前n項和公式：Sn.(5)等差

2、中項公式：2anan1an1(n2)(6)等比中項公式：aan1an1(n2)(7)數列an的前n項和與通項an之間的關系：an.2重要性質(1)通項公式的推廣：等差數列中，anam(nm)d；等比數列中，anamqnm.(2)增減性：等差數列中，若公差大于零，則數列為遞增數列；若公差小于零，則數列為遞減數列等比數列中，若a10且q1或a10且0q1，則數列為遞增數列；若a10且0q1或a10且q1，則數列為遞減數列3易錯提醒(1)忽視等比數列的條件：判斷一個數列是等比數列時，忽視各項都不為零的條件(2)漏掉等比中項：正數a，b的等比中項是，容易漏掉.【 真 題 體 驗 】1(2015新課標高

3、考)已知an是公差為1的等差數列，Sn為an的前n項和若S84S4，則a10()A.B.C10D122(2015新課標高考)已知等比數列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()A2 B1 C. D.3(2015浙江高考)已知an是等差數列，公差d不為零若a2，a3，a7成等比數列，且2a1a21，則a1_，d_4(2016全國卷1)已知是公差為3的等差數列，數列滿足，.（I）求的通項公式；（II）求的前n項和.【考 點 突 破 】考點一、等差（比）的基本運算1(2015湖南高考)設Sn為等比數列an的前n項和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差數列，則an_2(2015重慶高考)已知

4、等差數列an滿足a32，前3項和S3.(1)求an的通項公式；(2)設等比數列bn滿足b1a1，b4a15，求bn的前n項和Tn.考點二、等差（比）的證明與判斷【典例1】( 2017全國1 )記Sn為等比數列的前n項和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通項公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列。.【規律感悟】判斷和證明數列是等差(比)數列的三種方法(1)定義法：對于n1的任意自然數，驗證an1an為同一常數(2)通項公式法：若ana1(n1)dam(nm)d或anknb(nN*)，則an為等差數列；若ana1qn1amqnm或anpqknb(nN*)，則an為等比

5、數列(3)中項公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，則an為等差數列；若aan1an1(nN*，n2)，且an0，則an為等比數列變式：(2014全國大綱高考)數列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設bnan1an，證明bn是等差數列；(2)求an的通項公式考點三、等差（比）數列的性質命題角度一與等差(比)數列的項有關的性質【典例2】(1)(2015新課標高考)已知等比數列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21B42C63D84(2)(2015銅陵模擬)已知等差數列an的前n項和為Sn，且S1012，則a5a6()A. B12 C6 D.命題角度二

6、與等差(比)數列的和有關的性質【典例3】(1)(2014全國大綱高考)設等比數列an的前n項和為Sn.若S23，S415，則S6() A31 B32C63 D64(2)(2015衡水中學二調)等差數列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則該數列前13項的和是() A13 B26 C52 D156 針對訓練1在等差數列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_2在等比數列an中，a4a816，則a4a5a7a8的值為_3若等比數列an的各項均為正數，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_【鞏 固 訓 練 】一、選擇題1(2015新課標高考)設Sn

7、是等差數列an的前n項和若a1a3a53，則S5()A5B7C9D112(2014福建高考)等差數列an的前n項和為Sn，若a12，S312，則a6等于()A8 B10 C12 D143(2014重慶高考)對任意等比數列an，下列說法一定正確的是()Aa1，a3，a9成等比數列 Ba2，a3，a6成等比數列Ca2，a4，a8成等比數列 Da3，a6，a9成等比數列4(2014天津高考)設an是首項為a1，公差為1的等差數列，Sn為其前n項和若S1，S2，S4成等比數列，則a1()A2 B2 C. D5(2015遼寧大連模擬)數列an滿足anan1anan1(nN*)，數列bn滿足bn，且b1b

8、2b990，則b4b6()A最大值為99 B為定值99 C最大值為100 D最大值為200二、填空題6(2015陜西高考)中位數為1 010的一組數構成等差數列，其末項為2 015，則該數列的首項為_7(2015安徽高考)已知數列an是遞增的等比數列，a1a49，a2a38，則數列an的前n項和等于_8(2014江西高考)在等差數列an中，a17，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為_三、解答題9(文)(2015蘭州模擬)在等比數列an中，已知a12，a416.(1)求數列an的通項公式；(2)若a3，a5分別為等差數列bn的第3項和第5項，試求數列bn的前

9、n項和Sn.10、(2014湖北高考)已知等差數列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數列(1)求數列an的通項公式；(2)記Sn為數列an的前n項和，是否存在正整數n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由11(2015江蘇高考)設a1，a2，a3，a4是各項為正數且公差為d(d0)的等差數列(1)證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次構成等比數列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構成等比數列？并說明理由第2講數列求和（通項）及其綜合應用【高 考 感 悟】從近三年高考看，高考命題熱點考向可能為：考什么怎么考題型與難度1.數列的通項公式考查等差、

10、等比數列的基本量的求解；考查an與Sn的關系，遞推關系等題型：三種題型均可出現難度：基礎題或中檔題2.數列的前n項和考查等差、等比數列前n項和公式；考查用裂項相消法、錯位相減法、分解組合法求和.題型：三種題型均可出現，更多為解答題難度：中檔題3.數列的綜合應用證明數列為等差或者等比；考查數列與不等式的綜合.題型：解答題難度：中檔題【 真 題 體 驗 】1(2015北京高考)設an是等差數列，下列結論中正確的是()A若a1a20，則a2a30B若a1a30，則a1a20C若0a1a2，則a2D若a10，則(a2a1)(a2a3)02(2015武漢模擬)已知等差數列an的前n項和為Sn，a55，S

11、515，則數列的前100項和為() A.B. C. D.3(2015福建高考)等差數列an中，a24，a4a715.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2an2n，求b1b2b3b10的值【考 點 突 破 】考點一、數列的通項公式【規律感悟】求通項的常用方法(1)歸納猜想法：已知數列的前幾項，求數列的通項公式，可采用歸納猜想法(2)已知Sn與an的關系，利用an求an.(3)累加法：數列遞推關系形如an1anf(n)，其中數列f(n)前n項和可求，這種類型的數列求通項公式時，常用累加法(疊加法)(4)累乘法：數列遞推關系如an1g(n)an，其中數列g(n)前n項積可求，此數列求通項公式一

12、般采用累乘法(疊乘法)(5)構造法：遞推關系形如an1panq(p，q為常數)可化為an1p(p1)的形式，利用是以p為公比的等比數列求解遞推關系形如an1(p為非零常數)可化為的形式1(2015新課標高考)設Sn是數列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_2(2015銅陵模擬)數列an滿足a1a2an3n1，nN*，則an_3若數列an滿足a13，an1，則a2 015的值為_考點二、數列的前n項和【規律感悟】1.分組求和的常見方法(1)根據等差、等比數列分組(2)根據正號、負號分組(3)根據數列的周期性分組2裂項后相消的規律 常用的拆項公式(其中nN*). . ()3錯位相減

13、法的關注點(1)適用題型：等差數列an乘以等比數列bn對應項(anbn)型數列求和(2)步驟：求和時先乘以數列bn的公比把兩個和的形式錯位相減整理結果形式4倒序求和。命題角度一基本數列求和、分組求和【典例1】(2015湖北八校聯考)等差數列an的前n項和為Sn，數列bn是等比數列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數列an和bn的通項公式； (2)令cn設數列cn的前n項和為Tn，求T2n.命題角度二裂項相消法求和【典例2】(2015安徽高考)已知數列an是遞增的等比數列，且a1a49，a2a38.(1)求數列an的通項公式；(2)設Sn為數列an的前n項和，bn，求數

14、列bn的前n項和Tn.命題角度三錯位相減法求和【典例3】(2015天津高考)已知an是各項均為正數的等比數列，bn是等差數列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通項公式；(2)設cnanbn，nN*，求數列cn的前n項和針對訓練1(2014湖南高考)已知數列an的前n項和Sn，nN*.(1)求數列an的通項公式； (2)設bn2an(1)nan，求數列bn的前2n項和2(2015山東高考)已知數列an是首項為正數的等差數列，數列的前n項和為.(1)求數列an的通項公式； (2)設bn(an1)2an，求數列bn的前n項和Tn.考點三、數列的綜合應用【典例4】(20

15、15陜西漢中質檢)正項數列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數列an的通項公式an；(2)令bn，數列bn的前n項和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn.變式：(2015遼寧大連模擬)數列an滿足an1，a11.(1)證明：數列是等差數列；(2)求數列的前n項和Sn，并證明.【鞏 固 訓 練 】一、選擇題1(2015浙江高考)已知an是等差數列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，a4，a8成等比數列，則()Aa1d0，dS40Ba1d0，dS40Ca1d0，dS40 Da1d0，dS402(2015保定調研)在數列an中，已知a11，an12an1，則其通

16、項公式為an()A2n1 B2n11C2n1 D2(n1)3(預測題)已知數列an滿足an1，且a1，則該數列的前2 015項的和等于()A. B3 023 C1 512 D3 0244(2015長春質檢)設數列an的前n項和為Sn，且a1a21，nSn(n2)an為等差數列，則an()A. B. C. D.5(2015云南第一次統一檢測)在數列an中，an0，a1，如果an1是1與的等比中項，那么a1的值是()A. B. C. D.二、填空題6(2014全國新課標高考)數列an滿足an1，a82，則a1_7若數列n(n4)()n中的最大項是第k項，則k_8(2015江蘇高考)設數列an滿足a

17、11，且an1ann1(nN*)，則數列前10項的和為_9(2015福建高考)若a，b是函數f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個不同的零點，且a，b，2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則pq的值等于_三、解答題10(2015湖北高考)設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求數列an，bn的通項公式；(2) 當d1時，記cn，求數列cn的前n項和Tn.11(2014山東高考)已知等差數列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列(1)求數列an的通項公式；(2)令bn(1)

18、n1，求數列bn的前n項和Tn.2018屆高三第二輪復習數列答案【 真 題 體 驗 】 （第1講等差、等比考點）1【解析】設等差數列an的首項為a1，公差為d.由題設知d1，S84S4，所以8a1284(4a16)，解得a1，所以a109.故選B.2【解析】設等比數列an的公比為q，a1，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2a1q 44(a1q31)，q64(q31)，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2.故選C.3【解析】由a2，a3，a7成等比數列，得aa2a7，則2d23a1d，即da1.又2a1a21，所以a1，d1.【答案】14【解】(1)an3n1(2)

19、考點一、等差（比）的基本運算1【解析】本題考查等比數列和等差數列等，結合轉化思想即可輕松求解等比數列的公比，進而求解等比數列的通項公式由3S1，2S2，S3成等差數列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，則3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.【答案】3n12【解】本題主要考查等差數列的通項公式與等比數列的前n項和公式，考查考生的運算求解能力(1)將已知條件中的a3，S3用首項a1與公差d表示，求得a1，d，即可求得數列an的通項公式；(2)結合(1)利用條件b1a1，b4a15求得公比，然后利用等比數列的前n項和公式進行計算(1)設an的公差為d，則由已知條件得a12d2

20、，3a1d，即a12d2，a1d，解得a11，d，故通項公式為an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.設bn的公比為q，則q38，從而q2，故bn的前n項和Tn2n1考點二、等差（比）的證明與判斷【典例1】 解：（1）設的公比為，由題設可得解得 故的通項公式為（2）由（1）可得由于,故成等差數列變式【解】(1)證明：由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首項為1，公差為2的等差數列(2)由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通項公式為ann22n2.考

21、點三、等差（比）數列的性質命題角度一與等差(比)數列的項有關的性質【解析】(1)本題主要考查等比數列的基本概念、基本運算與性質，意在考查考生的運算求解能力由于a1(1q2q4)21，a13，所以q4q260，所以q22(q23舍去)，a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故選B.(2)本題主要考查等差數列的性質amanapaq.由S1012得1012，所以a1a10，所以a5a6.故選A.命題角度二與等差(比)數列的和有關的性質【解析】（1）在等比數列an中，S2，S4S2，S6S4也成等比數列，故(S4S2)2S2(S6S4)，則(153)23(S615)解得S663.故選C.(2)3

22、(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1326.故選B.針對訓練1【解析】由a3a4a5a6a725得5a525，所以a55，故a2a82a510.2【解析】a4a5a7a8a4a8a5a7(a4a8)2256.【答案】2563【解析】a10a11a9a122e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a2010ln(a10a11)10ln e550.【鞏 固 訓 練 】一、選擇題1【解析】數列an為等差數列，a1a3a53a33，a31，S55.【答案】A2【解析】由題知3a1d12，a12，解得d2，又a6a15d，a612.故選C.3【解析】由

23、等比數列的性質得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比數列故選D.4【解析】由題意知SS1S4，(2a1d)2a1(4a1d)，把d1代入整理得a1.故選D.5【解析】將anaa1anan1兩邊同時除以anan1可得1，即bn1bn1，所以bn是公差為d1的等差數列，其前9項和為90，所以b1b920，將b9b18db18，代入得b16，所以b49，b611，所以b4b699.故選B.二、填空題6【解析】設等差數列的首項為a1，根據等差數列的性質可得，a12 01521 010，解得a15.【答案】57【解析】則a1，a4可以看作一元二次方程x29x80的兩根，故，或數列an是遞增的等

24、比數列，可得公比q2，前n項和Sn2n1.8【解析】等差數列的前n項和為Sn，則Snna1dn2(a1)nn2(7)n，對稱軸為，對稱軸介于7.5與8.5之間，即7.58.5，解得1d.【答案】三、解答題9.【解】(1)設數列an的公比為q，an為等比數列，q38，q2，an22n12n.(2)設數列bn的公差為d，b3a3238，b5a52532，且bn為等差數列，b5b3242d，d12，b1b32d16，Sn16n126n222n.10、【解】(1)設數列an的公差為d，依題意，2，2d，24d成等比數列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當d0時，an2；當

25、d4時，an2(n1)44n2，從而得數列an的通項公式為an2或an4n2.(2)當an2時，Sn2n.顯然2n60n800，此時不存在正整數n，使得Sn60n800成立當an4n2時，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n10(舍去)，此時存在正整數n，使得Sn60n800成立，n的最小值為41.綜上，當an2時，不存在滿足題意的n；當an4n2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.11【解】(1)證明：因為2an1an2d(n1，2，3)是同一個常數，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構成等比數列(2)不存在，理由如下：令a1da，則a1，a2，a3，

26、a4分別為ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0)假設存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構成等比數列，則a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，則1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化簡得t32t220(*)，且t2t1.將t2t1代入(*)式，t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，則t.顯然t不是上面方程的解，矛盾，所以假設不成立因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構成等比數列第2講 數列求和及其綜合應用【 真 題 體 驗 】1(2015北京高考)設an是等差數列，下列結論中正確的是()A若a1a20，則a2a30B若a1a30，則a

27、1a20C若0a1a2，則a2D若a10，則(a2a1)(a2a3)0【解析】若an是遞減的等差數列，則選項A、B都不一定正確若an為公差為0的等差數列，則選項D不正確對于C選項，由條件可知an為公差不為0的正項數列，由等差中項的性質得a2，由基本不等式得，所以C正確【答案】C2(2015武漢模擬)已知等差數列an的前n項和為Sn，a55，S515，則數列的前100項和為()A.B.C. D.【解析】設等差數列an的首項為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數列的前100項和為11.【答案】A3(2015福建高考)等差數列an中，a24，a4a715.(1)求數列an的通

28、項公式；(2)設bn2an2n，求b1b2b3b10的值【解】(1)設等差數列an的公差為d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)211532 101.1當n1時，S1a11，所以1.因為an1Sn1SnSnSn1，所以1，即1，所以是以1為首項，1為公差的等差數列，所以(1)(n1)(1)n，所以Sn.2當n1時，a1311，所以a112，當n2時，：a1a2an1an3n1，：a1a2an13(n1)1.得：an(3n1)3(n1)1，即an3，所以an3n1

29、，綜上可得：an【答案】3本題主要考查利用遞推數列求數列的某一項，通過研究數列的函數特性來解決由于a13，求a21，a32，a43，所以數列an是周期為3的周期數列，所以a2 015a67132a21.命題角度一基本數列求和、分組求和【典例1】(1)設數列an的公差為d，數列bn的公比為q，則由得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)命題角度二裂項相消法求和【典例2】(1)由題設知a1 a4a2 a38，又a1a49，可解得或(舍去)設等比數列an的公比為q，

30、由a4a1q3得q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.命題角度三錯位相減法求和典例3】(1)設數列an的公比為q，數列bn的公差為d，由題意q0.由已知，有消去d，整理得q42q280.又因為q0，解得q2，所以d2.所以數列an的通項公式為an2n1，nN*；數列bn的通項公式為bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，設cn的前n項和為Sn，則Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述兩式相減，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)

31、2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.針對訓練1【解】(1)當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1n.故數列an的通項公式為ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.記數列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數列bn的前2n項和T2nAB22n1n2.2【解】(1)設數列an的公差為d.令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，兩式相減，得3Tn41424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1.【典例4】【解】(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項數列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數列an的通項公式為an2n.(2)證明：由于an2n，bn，則bn.所以Tn1.變式：【解】(1)證明：an1，化簡得2，即2，故數列是以1為首項，2為公差的等差數列(2)由(1