1、第一章 集合與函數概念一：集合的含義與表示1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東 西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合3、集合的表示： （1）用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。a、列舉法：將集

2、合中的元素一一列舉出來 a,b,cb、描述法：區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。xR| x-32 ,x| x-32語言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素與集合的關系： （1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA （2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aAu 注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集） 記作：N 正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R6、集合間的基本關系

3、（1）.“包含”關系（1）子集定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。記作：（或B）注意：有兩種可能（1）A是B的一部分；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA（2）.“包含”關系（2）真子集如果集合，但存在元素xB且xA，則集合A是集合B的真子集如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)讀作A真含與B（3）“相等”關系：A=B “元素相同則兩集合相等”如果AB 同時 BA 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定: 空集是任何集合的子集， 空

4、集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性質 任何一個集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB且BC，那么AC有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集7、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集，記作：U設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元

5、素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，CSA=韋恩圖示SA性 質A A=A A =A B=BAA BA A BBA U A=A A U =AA U B=B U A A U BA U BB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=二、函數的概念1 函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；（2）

6、與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域2 函數的三要素：定義域、值域、對應法則3 函數的表示方法：（1）解析法：明確函數的定義域（2）圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。（3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。4、函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x

7、、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法A、描點法： B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。 （3）函數圖像平移變換的特點： 1）加左減右只對x 2）上減下加只對y 3）函數y=f(x) 關于X軸對稱得函數y=-f(x)4）函數y=f(x) 關于Y軸對稱得函數y=f(-x)5）函數y=f(x) 關于原點對稱得函數y=-f(-x)6）函數y=f(x) 將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得函數y=| f(x)|7）函數y=f(x) 先作x0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函數f(|x|)三、函數的基本性質1、函數解析式子的求法（1）、函數的解析式是函數的一

8、種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）、求函數的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系數法：3）換元法：4)拼湊法：2定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保

9、證實際問題有意義.3、相同函數的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致 (兩點必須同時具備)4、區間的概念：（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示5、值域 （先考慮其定義域）（1）觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域； （2）反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數關系式化成X關于Y的函數關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。(3)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。 (4)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。6.分段函數 （1

10、）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（2）各部分的自變量的取值情況（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函數有取整函數、符號函數、含絕對值的函數7映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合

11、B中的每一個元素在集合A中都有原象。 注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數8、函數的單調性(局部性質)及最值（1）、增減函數（1）設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.（2）如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局

12、部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種（2）、 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.（3）、函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x11，且*當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數。此時，a的n次方根用符號 表示。當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數。此時正數a的正的n次方根用符號 表示，負的n的次方根用符號 表示。正的n次方根與負的n次方根可以合并成 （a0）。

13、注意：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數時，當是偶數時，式子 叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數。 3、 分數指數冪 正數的分數指數冪的，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義4、 有理數指數米的運算性質（1）；（2）；（3）5、無理數指數冪一般的，無理數指數冪aa（a0,a是無理數）是一個確定的實數。有理數指數冪的運算性質同樣使用于無理數指數冪。（二）、指數函數的性質及其特點1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1為什么？2、指數函數的圖象和性質a10a1時，若X

14、1X2 ,則有f(X1)10a1定義域x0定義域x0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）三、冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數2、冪函數性質歸納（1）所有的冪函數在（0，+）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸第三章 函數的應用方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數 ，把使成立的實數叫做函數的零點。2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：方程有實數根，函數的