1、典型例題1、過河問題例1小船在200m的河中橫渡，水流速度為2m/s，船在靜水中的航速是4m/s，求：v2v11小船怎樣過河時間最短，最短時間是多少？2小船怎樣過河位移最小，最小位移為多少？解： 如右圖所示，若用v1表示水速，v2表示船速，則：過河時間僅由v2的垂直于岸的分量v決定，即，與v1無關，所以當v2岸時，過河所用時間最短，最短時間為也與v1無關。過河路程由實際運動軌跡的方向決定，當v1v2時，最短路程為d ；2、連帶運動問題指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題原則是：把物體的實際速度分解為垂直于繩（

2、桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。v1甲乙v1v2例2 如圖所示，汽車甲以速度v1拉汽車乙前進，乙的速度為v2，甲、乙都在水平面上運動，求v1v2ABCDE解析：甲、乙沿繩的速度分別為v1和v2cos，兩者應該相等，所以有v1v2=cos13、平拋運動例3平拋小球的閃光照片如圖。已知方格邊長a和閃光照相的頻閃間隔T，求：v0、g、vc解析：水平方向： 豎直方向：先求C點的水平分速度vx和豎直分速度vy，再求合速度vC： （2）臨界問題典型例題是在排球運動中，為了使從某一位置和某一高度水平扣出的球既不觸網、又不出界，扣球速度的取值范圍應是多少？例4 已知網高H

3、，半場長L，扣球點高h，扣球點離網水平距離s、求：水平扣球速度v的取值范圍。解析：假設運動員用速度vmax扣球時，球剛好不會出界，用速度vmin扣球時，球剛好不觸網，從圖中數量關系可得：hHs L v；實際扣球速度應在這兩個值之間。4、圓周運動abcd例5如圖所示裝置中，三個輪的半徑分別為r、2r、4r，b點到圓心的距離為r，求圖中a、b、c、d各點的線速度之比、角速度之比、加速度之比。解析：va= vc，而vbvcvd =124，所以va vbvcvd =2124；ab=21，而b=c=d ，所以abcd =2111；再利用a=v，可得aaabacad=4124點評：凡是直接用皮帶傳動（包括

4、鏈條傳動、摩擦傳動）的兩個輪子，兩輪邊緣上各點的線速度大小相等；凡是同一個輪軸上（各個輪都繞同一根軸同步轉動）的各點角速度相等（軸上的點除外）。例6 小球在半徑為R的光滑半球內做水平面內的勻速圓周運動，試分析圖中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關系。（小球的半徑遠小于R。）解析：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖所示有：NGF ，由此可得：，（式中h為小球軌道平面到球心的高度）。可見，越大（即軌跡所在平面越高），v越大，T越小。mgO圖11FN點評：本題的分析方

5、法和結論同樣適用于圓錐擺、火車轉彎、飛機在水平面內做勻速圓周飛行等在水平面內的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。例7：長，質量可忽略不計的桿，其下端固定于O點，上端連接著質量的小球A，A繞O點做圓周運動，如圖所示，在A點通過最高點時，求在下面兩種情況下，桿的受力： A的速率為1m/s; A的速率為4m/s；解析：對A點進行受力分析，假設小球受到向上的支持力，如圖所示，則有 則分別帶入數字則有FN =16NFN = -44N負號表示小球受力方向與原假設方向相反例8 質量為M的小球在豎直面內的圓形軌道的內側運動，經過最高點不脫離軌道的臨界速度是V，當小球以3

6、V速度經過最高點時，球對軌道的壓力大小是多少？解析：對A點進行受力分析，小球受到向下的壓力重力，其合力為向心力，有則解得FN = 8mg例9 如圖所示，用細繩一端系著的質量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉盤上，細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔O吊著質量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m若A與轉盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉盤繞中心O旋轉的角速度的取值范圍（取g=10m/s2）解析：要使B靜止，A必須相對于轉盤靜止具有與轉盤相同的角速度A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向

7、心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O對于B，T=mg對于A，rad/s rad/s所以 2.9 rad/s rad/s練習：1在質量為M的電動機飛輪上，固定著一個質量為m的重物，重物到軸的距離為R，如圖所示，為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪轉動的最大角速度不能超過ABCD萬有引力及天體運動：例10 地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力恒量為G，可以用下式估計地球的平均密度是 （ ）A B C D解析 在地球表面的物體所受的重力為mg，在不考慮地球自轉的影響時即等于它受到的地球的引力，即： 密度公式 地球體積 由式解得，選項A正確。點評 本題用到了“平均密度”這個概念，它表示把

8、一個多種物質混合而成的物體看成是由“同種物質”組成的，用求其“密度”。例11 “神舟”五號載人飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變為距地面高度h=342km的圓形軌道。已知地球半徑R=6.37×103km，地面處的重力加速度g=10m/s2。試導出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計算周期T的數值（保留兩位有效數字）。解析 因萬有引力充當飛船做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律得： 又由得： 代入數據解得：T=5421s例12 全球電視實況轉播的傳送要靠同步衛星。同步衛星的特點是軌道周期與地球自轉的周期相同。如果把它旋轉在地球赤道平面中的軌道

9、上，這種衛星將始終位于地面某一點的上空。一組三顆同步衛星，按圖所示，排成一個正三角形，就可以構成一個全球通訊系統基地，幾乎覆蓋地球上全部人類居住地區，只有兩極附近較小的地區為盲區。試推導同步衛星的高度和速度的式子。設地球的質量用M表示，地球自轉的角速度用表示。解析 設衛星質量為m，軌道半徑為r，根據同步衛星繞地心的勻速圓周運動所需的向心力即為它受到的地球的引力，則有。解得。其中=7.27×10-5rad/s是地球的自轉角速度，G=6.67×10-11N·m2/kg2是萬有引力常量，M=5.98×1024kg是地球的質量。將這些數據代入上式，得同步衛星離地

10、心的距離為 r=4.23×107m。它的速率是，其數值大小為：v=r=4.23×107×7.27×10-5m/s=3.08×103m/s點評 三顆互成120°角的地球同步衛星，可以建立起全球通信網，每顆衛星大約覆蓋40%的區域，只有高緯度地區無法收到衛星轉播的信號。例13 地球同步衛星離地心距離為r，環繞速度大小為v1，加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度大小為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列關系式正確的是 （ ）ABCD 解析 在赤道上的物體的向心加速度a2g，因為物體不僅受到萬有引力，而且受到地面

11、對物體的支持力；隨地球一起自轉的物體不是地球衛星，它和地球同步衛星有相同的角速度；速度v1和v2均為衛星速度，應按衛星速度公式尋找關系。設地球質量為M，同步衛星質量為m，地球自轉的角速度為，則對同步衛星 赤道上的物體所以 對同步衛星所以 第一宇宙速度所以故答案為AD。例14 某物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在衛星中，在衛星以加速度隨火箭向上加速度上升的過程中，當物體與衛星中的支持物的相互擠壓力為90N時，求此時衛星距地球表面有多遠？（地球半徑R=6.4×103km，g取10m/s2）解析 設此時火箭上升到離地球表面的高度為h，火箭上物體受到的支持力為FN，物體受到的重力為mg，據牛頓第二定律在h高處 在地球表面處