1、線性代數模擬題一一 單項選擇題（每題3分，共18分） 1已知矩陣，且，則 a. 當時，必有秩； b. 當時，必有秩；c. 當時，必有秩； d. 當時，必有秩。2 已知 為3維列向量組，行列式 ，則行列式 a. 6； b. 6； c. 18； d. 18。3. 設線性空間中向量組線性無關，則的下列生成子空間中，維數為3的生成子空間是 a. L； b. L；c. L； d. L。4設為維列向量組，矩陣，下列選項中正確的是 a. 若線性相關，則線性無關；b. 若線性相關，則線性相關；c. 若線性無關，則線性無關；d. 若線性無關，則線性相關。5. 設為非零實矩陣，是行列式 中元素的代數余子式，則矩陣

2、必為 a. 不可逆矩陣； b. 對稱矩陣； c. 正交矩陣； d. 正定矩陣。6設為階非奇異矩陣，為的伴隨矩陣，則 a. ； b. ； c. ； d. 。 二 填空題（每題3分，共18分）1. 設3階方陣有特征值，則的相似對角陣為 ；2. 設,，其中是非齊次線性方程組的解,為矩陣,且, 則線性方程組 的通解為 ；3. 設實對稱矩陣滿足，則二次型 經正交變換 可化為標準形 ；4已知矩陣滿足，且，則行列式 ；5設4階矩陣滿足行列式，則其伴隨矩陣必有一個特征值為 ；6 已知4階矩陣 的秩 ，則齊次線性方程組 的基礎解系含 個線性無關的解向量。二 計算題（每題8分，共48分）1已知階矩陣且滿足方程 ，

3、其中，求矩陣。2. 已知非齊次線性方程組 ，其系數矩陣的秩試求：常數的值，以及該方程組的通解。3. 求正交變換,將實二次型 化為標準型,并寫出正交變換。4. 設為4階方陣，其中是4維列向量，且線性無關，。已知向量，試求線性方程組的通解。5. 已知 是3維線性空間的一個基，且 ， ， 。 （1）求由基 到基的過渡矩陣；（2）設向量 ，求 在基 下的坐標6. 設列向量 是矩陣 的對應特征值的一個特征向量. （1）求常數 ； （2）試問：矩陣能否相似于對角矩陣？ 為什么？四 證明題（每題8分，共16分）1. 已知矩陣為階正定矩陣,證明:（1） 矩陣的特征值都大于零； （2）若，則為正定矩陣。2設階方

4、陣,其中是維列向量,證明：（1）的充要條件為； （2）當時，矩陣不可逆。模擬題一答案一 選擇題 B A A C D二 填空題1. ； 2.；3.；4.； 5.三 計算題1； 2(1) (2) ， 3無解， 唯一解，通解為 ；4(1) 特征值 ；特征向量； (2) ，。5；6. (1)；(2)；(3), A。四 證明題1(1) ，故。 (2) ，且可由線性表示,故向量組與等價。 (1) 若不，則對任意， 線性相關，線性無關,故由線性表示，矛盾。2(1) 因為,且所以。(2) 因為，特征值的取值為，線性無關特征向量有個線性無關特征向量有個所以有個線性無關的特征向量，能相似于對角陣。(3) 的特征值

5、為344和549，所以，其中為特征值3的重數。線性代數模擬題二一、單項選擇題（每題3分，共15分）1. 向量組線性無關，且可由向量組線性表示，則以下結論中不能成立的是 (A) 向量組線性無關；(B) 對任一個，向量組線性相關；(C) 存在一個，向量組線性無關；(D) 向量組與向量組等價。2. 設三階矩陣 ，已知伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 3. 設是維非零實列向量,矩陣,，則_(A) 至少有1個特征值為1； (B) 只有1個特征值為1；(C) 恰有個特征值為1； (D) 沒有1個特征值為1。4. (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。5. 設為

6、實矩陣，則 (A) 必合同于階單位矩陣； (B) 必等價于階單位矩陣；(C) 必相似于階單位矩陣；(D) 是階單位矩陣。二、填空題（每題3分，共15分）1已知為階方陣，不是的特征值，且，則 。2. 若三階方陣有特征值 ，則行列式 。3已知實二次型正定,則常數的取值范圍為_。 4. 已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為 。5. 設為階實矩陣，且，則行列式 。三、計算題(每題9分,共54分)1 線性方程組為 ，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。2. 設3階方陣滿足方程 ，試求矩陣，其中， 。3計算行列式，其中， 4.

7、 已知實二次型 =，求正交變換,化為標準形，并寫出正交變換 5. 已知為三階實對稱矩陣，秩,是對應特征值的特征向量，試求：（1）的另一個特征值及其特征向量； （2） 矩陣，矩陣。6. 設的兩個基，；， （1） 求由基 的過渡矩陣； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐標；(3) 求在基下有相同坐標的所有向量。四、證明題(每題8分,共16分)1 設為矩陣，證明：存在非零矩陣，使的充分必要條件為秩。2. 設是階實矩陣,的特征值互異。證明:矩陣的充分必要條件為的特征向量都是的特征向量。模擬題二答案一、選擇題1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(A) 二、填空題1. ； 2. ； 3. ；4. 是的極大線性無關組；5. 三、計算題1. 當2時，方程組有唯一解 當2，1時，方程組無解 當2，1時，2 < 3，方程組有無窮多組解,其通解為 ，為任意常數。2. ， 3. ， ，。4.的矩陣，有特征值 A對應的線性無關的特征向量與單位正交特征向量，；， 于是正交變換即 化二次型為標準形 。5（1） 因為，所以；設，由正交， 得 （2） 設，則 。6. (1) 設 , (2) ，坐標 （3） 設 則 解得，故。四、證明題1設，則都是線性方程組的解。故方程組有非零解。2 必要性： 設，則當時，由，知 都是對應特征