1、18第26卷第24期2002年12月2s日電力系統在一種極限運行狀態下的穩定性分析鄧集祥9張芳(東北電力學院信息化教學中心9吉林省吉林市1s2012)摘要:針對電力系統出現一對共軛虛根的靜態穩定極限運行狀態9在分歧理論的基礎上9提出了穩定性分析的數值微分算法9解決了這類穩定性分析中必須涉及的相關高階偏導數的計算問題9以及計算中如何選取增量的問題9成功地完成了這種極限運行狀態的穩定性分析0實際電力系統算例表明9文中所給出的理論方法是正確和有效的9特別適合于復雜的多機電力系統9為分析多機電力系統極限運行狀態下的穩定性提供了一個有效的途徑和工具0關鍵詞:多機電力系統;靜態穩定極限;高階偏導數;數值微

2、分;分歧中圖分類號:TM712引言隨著世界范圍內電力工業的改革和電力系統的了便于理解本文所提出的算法9將在第2節再略加說明;對于第2個問題9將在第s節提出在原系統雅可比矩陣基礎上用數值微分計算相關高階偏導數的方法;對于第s個問題9將在第4節首次提出用以決定數值微分中所用增量大小的原則和公式0通過解決這些問題9使分析這種極限狀態下的電力系統動態特性的理論和方法得以實現0最后9以黑龍江北部與俄羅斯聯網的北黑電網為例9詳細地給出分析這種系統穩定性的步驟與方法9從而為系統的安全穩定運行提供一些新觀點和新方法0互聯9新型快速控制設備的大量投入使用9系統有時會運行于穩定極限附近;另一方面9由于經濟政治和生

3、態等方面的要求9人們也在人為地促使系統運行點向穩定極限點移動0所以9極限狀態下電力系統的運行分析已成為世界范圍內緊迫且重要的研究課題10小干擾下電力系統的一種極限運行狀態9就是其線性化系統的特征根中出現一對共軛虛根9而其他根都具有負實部的狀態9此時9分歧出現9系統將顯現出很強的非線性0對這種強非線性系統9以往的穩定分析理論已不能適應9取而代之的是分歧理論0這時9若HOpf分歧的橫截條件24再被滿足9那么出現的將是HOpf分歧0在此鄰域內9系統將由原平衡點分歧出一個主導系統動態特性的極限環9它在時域中的表現為增幅振蕩或等幅的非線性振蕩0因為此時系統最容易失去穩定的模式(主導模式)9仍然是機電振蕩

4、模式9所以系統振蕩的頻率仍在0.2HZ2.sHZ范圍內0本文將在文獻s9s的基礎上9提出對運行于這種極限狀態下的多機系統進行穩定性分析的理論和方法0要解決的問題是:D采用什么方法將高維非線性系統壓縮到二維的非線性中心流形上9以簡化分析的難度;如何從狀態方程與含中間變量(各機電壓電流)的機端電壓方程非線性網絡方程中求取相關的高階偏導數9以計算曲率系數9完成穩定性分析; 如何保證數值計算的精度9這是本文的重點0對于第1個問題9雖然文獻s已有闡述9但為數學模型對N機系統9其狀態方程為:-=f(x9/9/)xN(1)式中:x R;/是系統的參數;/是由各機電壓(Vdi9Vgi)電流(1di91gi)組

5、成的中間變量9可由機端電壓方程和網絡方程求出0系統的數學模型由含狀態變量中間變量的狀態方程9以及含狀態變量中間變量的機端電壓方程和網絡方程共同構成0A=8xx=x(2)為系統雅可比矩陣0其中9x 為系統平衡點0若J變化9使A的特征值中出現一對純虛根9而A的其余特征根實部均小于0時9即表明系統已處于一種靜態穩定極限狀態0(s)式中:x19x29xs分別是泰勒級數中的1階項2階項和s階項0一般的小干擾穩定分析9因為系統顯現的非線在平衡點處把式(1)展開成泰勒級數:-=x1+x2+xs+高階項x收稿日期:2002-01-10;修回日期:2002-06-07019性較弱 所以僅取到1階 做線性化分析就

6、夠了 而對顯現強非線性的靜態穩定極限附近 僅取1階就不夠了 要考慮到 階或 階以上項才能獲取到分析穩定性的足夠信息 2 而對一個N維系統 泰勒級數中的1階項應有N>N項 2階項有N2>N項 所以 如果直接對原系統(式(1 做穩定性分析 是很難完成的 若先把高維非線性空間約化到二維的非線性中心流形上 形成二維的非線性分歧方程 再把二維的分歧方程展開成泰勒級數 2 這樣 泰勒級數中的2階項只有 項 階項也僅有-學術研究-鄧集祥等電力系統在一種極限運行狀態下的穩定性分析程解出/ 再代回狀態方程 形成不含/封閉的狀態方程 以得到狀態變量的1階偏導數(A陣 計及2階以上偏導數 由于很難再列寫

7、出狀態變量的2階以上偏導數的表達式 況且要取偏導數的變量還不是電力系統原始數學模型中的狀態變量 而是經約化后的中心流形變量 所以對多機電力系統解析求高階偏導數是非常困難的事情 本節將提出一種利用原始系統A陣數值求取y1 y2的2階偏導數和相關的 階偏導數的簡單又有效的方法首先 從式( 和式(5 很容易得到利用原系統項 分析起來就簡單多了 這就是前面我們把高維非線性空間約化問題作為要解決的關鍵問題之一的原因高維非線性空間的約化按文獻 所提出的方法形成變換矩陣 (文獻 中是矩陣 -1 T就是規格化的左特征向量矩陣 令 1和 1為相應于共軛虛根的右特征向量和規格化的左特征向量 1 1+j I 對狀態

8、向量X做變換X X + y 新的狀態變量中 y1 y2是主導系統動態特性的中心流形變量 y y yN是非中心流形變量 衰減的非中心流形變量將隨著時間的增長變為 為此 在下面的分析中 可取yy yN 2 進而 上面的變換可寫為X X +1y1- Iy2( 這將使我們能把分析集中在二維的中心流形變量y1 y2上 這樣 式(1 所示系統就變為y F(y / u Tf (X + 1y1- Iy2 / u(53穩定性分析分析本文所提出的這種極限運行狀態下系統的穩定性 主要是要求出此時系統的曲率系數B2 用它來判斷分歧出的極限環是軌道穩定的 還是不穩定的 文獻 給出了求取B2的思路和方法 按文獻 中的式(

9、9 對中心流形變量y1 y2進行泰勒級數展開 展開式中的y21y2項系數就是曲率系數B2 顯然 求曲率系數的關鍵問題就是如何計算F對y1 y2的各2階偏導數和相關的 階偏導數 對單機無窮大系統 因為能夠形成不顯含/封閉的狀態方程 所以可像文獻 5那樣直接列寫狀態變量的高階偏導數以求曲率系數 完成系統的穩定性分析 但對多機系統 其數學模型是由含/的狀態方程與線性機端電壓方程非線性網絡方程共同構成的 線性化分析中 可以變非線性網絡方程為線性 從而可由線性機端電壓方程和線性化網絡方A陣來表示中心流形變量1階偏導數的公式f(X -A(y1 y2 I8y2 (6 8y1f(X A(y1 y2 1為求中心

10、流形變量的2階偏導數 我們先定義 A8Xf(X Ay 1 (7 這實際上是要在A的基礎上 看自變量y1產生微增量時 函數8f/8X將是怎樣變化的利用中心差商 6 7可得到求中心流形變量2階偏導數的計算式+-18y21f(X2Ay2(8 +I8y18y2f(X-2Ay同樣對于y2 令A 8f(X Ay(- I/8X 可以得到f進而F對y2的2階偏導數 這里特別要強調的是 雖然求的是2階偏導數 但因為A陣是解析法求出來的 不是由數值微分法得出的 所以 現在數值法真正做的并不是求2階偏導數 而僅僅是求1階偏導數 這就是本文所提出的數值法求電力系統高階偏導數的特點所在令S(y1 y2 2 T18f(X

11、 y1 y2/8X 那么 與穩定性相關的 階偏導數應該是S對y1和y2的2階偏導數 由文獻 2 知其為(228y21+8y22J/ 同樣 S也可以用A來表示 進而要求的 階偏導數 實際上是在用數值微分求2階偏導數 文獻 6提出了求取這2階偏導數的幾種方法 從計算精度出發 這里用的是9點拉普拉斯 而9點拉普拉斯是在5點拉普拉斯基礎上外插完成的4數值微分中增量的選取和計算精度分析選好增量Ay的大小是保證數值微分計算準確性的關鍵 本節提出了選取增量的原則和公式 這些原則和公式在理論上是可行的 而且經過多個系統20大母線節點,按本文所提出的處理無窮大母線節點的辦法形成系統數學模型,系統總階數為24階I

12、2E(9)首先,定義函數ref( ):的多次試算,效果也是相當令人滿意的1I<E式中:E是用以判斷自變量I是否為0的小數進而,式(8)中所用增量可以定義為:ref(I)=I%(10)u1式中:U是計算機的相對計算精度Ay=U3refC>式(9)和式(10)的構成是基于下述思想:因為x%是式(1)在原平衡點處狀態量的值,u1是中心流形變量所支撐的空間到原系統狀態量所支撐的空間變換大小的量度,這里是要在原系統1階偏導數(由原系統狀態量求出)基礎上,對中心流形變量取各階偏導數,所以,我們選擇 x% / u1 用來代表Ay的標度,或者說是標幺基準在當前的數值微分中,截斷誤差是O(Ay2)階

13、,舍入誤差是O(U/Ay)階6,7,為兼顧截斷誤差和舍入誤差,選定因子U1/3 如果計算精度取雙精度,即U=10-14,這時,粗略地計算,取Ay=10-4,則數值微分的截斷誤差應是O(10-8)階,舍入誤差是O(U/Ay)=O(10-10)階,完全可以滿足實際需要用在求取3階偏導數時的增量可定義為:Ay=U6refx%u1(11)因子為C>U1/6,是因為所用的9點拉普拉斯的截斷誤差是O(h4)階,而舍入誤差是O(U/h2)階6,為兼顧截斷誤差和舍入誤差,所以因子U的指數為1/6 同樣,若把計算機計算精度取為雙精度,也就是U=10-14,也足以滿足實際需要對文獻3中的算例,由第3節提出的

14、數值算法和本節提出的增量Ay選取的原則和方法,求得曲率系數B2=-0.049856016352,而文獻3中用解析法算得的是-0.049856015785 用經典模型(因為狀態變量僅為6和,所以能夠形成包含P在內的獨立完整的狀態方程)進行多機系統校驗,本文算法與解析法所得結果的誤差在10-8以下,這足以說明本文所提出的數值微分算法以及數值微分中增量Ay選取原則和方法的正確性5實際算例分析圖1所示為北黑電網系統,發電機均采用3階模型(6,Eg/),3臺機組的阻尼系數均為8 黑河熱電廠勵磁調節系統用可控硅3階模型,調速系統是兩個慣性環節 西溝水電廠勵磁調節系統是自并勵2階,調速系統是3階 把與俄羅斯

15、聯網處作為無窮Eigenvaluesofthesystem特征根序號特征根值5,6-0.0632 j3.37797,8-0.0000 j2.932112,13-0.2411 j2.239917,18-0.5284 j1.036019,20-0.4015 j0.582421,22-0.2246 j0.4361注:表中數據修約到10-4由表1可見,由于第7,8個特征根的實部為0,所以系統已處于一種靜態穩定極限運行狀態 利用特征根與機電回路相關比,求出24個特征根中屬于低頻振蕩模式的是第5,6,7,8,12,13個特征根,而導致系統處于極限穩定狀態的是第7,8個低頻振蕩模式 再利用特征根靈敏度計算公

16、式,求出有關參數變化對第7,8個模式實部的影響 對此模式實部影響較大的參數,就是與這種極限運行狀態緊密相關的系統參數 算出水電二廠調速系統時間常數T1勵磁調節器反饋環節放大倍數Kf2勵磁調節器反饋環節時間常數Tf,以及水電一廠勵磁調節器反饋環節放大倍數Kf1按上面給定的運行狀態,可以求得 x% =3.3667, u1 =3.4048 若計算機計算精度為雙精度,那么按式(10)選定用于式(8)中的增量Ay=1.5959>20-5,按式(11)選定用于求3階偏導數的增量Ay=3.43826>20-3 按上面提出的算法,求得B2=-6.3302 因B2<0,系統原來不穩定的平衡點實

17、際上將消失,代之以穩定的平衡態,即軌道穩定的極限環 亦即,若Kf2整定在大于0.0276的鄰域,則系統將位于S平面左半平面的虛軸附近,按線1性化分析 小干擾下 系統將是漸近穩定的 若 f 整定在小于 6的鄰域 則系統將位于 平面右半平面的虛軸附近 超越靜態穩定極限) 一有小擾動發生 系統出現的將是等幅的小模低頻振蕩 而不是線性化分析所決定的增幅低頻振蕩對另外 個與這種極限運行狀態緊密相關的系統參數 水電二廠的 1 f和水電一廠的 f1 根據橫截條件8Re 8 的正負 即可判斷在上述各個參數的哪個鄰域 大于還是小于臨界值)內出現等幅的小模低頻振蕩取水電二廠調速系統時間常數 1為分歧參數 且當其由

18、初始值 整定值) 變為 4 時 同樣由于第 個特征根的實部為 所以系統也處于一種極限 靜態穩定極限)運行狀態 按前面提出的計算方法算得 1 因為 所以軌 道不穩定的極限環將出現在 平面的左半平面由算例可以看出 系統中不同參數的變化將引起不同的低頻振蕩 造成不同的穩定結果 這是單機系統學術研究鄧集祥等電力系統在一種極限運行狀態下的穩定性分析的準確性 解決了分析極限運行狀態所用理論和方法實施的關鍵問題 這些方法不僅適用于本文 也完全適用于電力系統其他需求高階偏導數的地方 利用這些新理論與方法所獲得的一些新見解 將拓寬我們的視野 有助于深入研究電力系統極限運行狀態下的動態特性 增強對電力系統的認識

19、有利于系統的安全穩定運行參考文獻1邱家駒 韓禎祥 薛禹勝 iuJiaju anZhenxiang Xue年國際大電網會議系列報道 電力系統的運Yusheng)行和控制 AReviewofCIGRE onPowerSystemOperationandControl) 電力系統自動化 AutomationofElectricPower 1 ),14Systems)KuZnetsovYA ElementsofAppliedBifurcationTheory nded NewYork,Springer 199鄧集祥 劉廣生 邊二曼 DengJixiang LiuGuangsheng BianErman

20、) 低頻振蕩中的opf分歧研究 StudyonopfBifurca-tioninLowFreguencyOscillation) 中國電機工程學報 Proceed- 1 6), 91 94ingsoftheCSEE) 199 4JiW VenkatasubramanianV CenterManifoldComputationsinBifurcationAnalysisofLargeSystemsSuchAsthePowerSys- tem In,ProcofAmericanControlConference NewYork,199 1 1 9鄧集祥 馬景蘭 DengJixiang MaJing

21、lan) 電力系統中非線性奇異現象的研究 StudyonNonlinearSingularityPhenomenoninPowerSystems) 電力系統自動化 AutomationofElectricPow- ),14erSystems) 1999LapidueL PinderGF 科學和工程中的偏微分方程 PartialDifferentialEguationinScienceandEngineering) 北京,煤炭工業出版社 Beijing,CoalIndustryPublishingouse) 19 施妙根 顧廂珍 ShiMiaogen GuXiangZhen) 科學和工程計算基礎

22、 BasicComputationinScienceandEngineering) 北京,清華大學出版社 Beijing,TsinghuauniversityPress) 199中未有過的新現象 這也符合北黑電網實際出現的情況 既有因水電二廠調速系統時間常數整定不當而引起的增幅低頻振蕩 也有因水電二廠勵磁調節器反饋環節放大倍數整定不當而引起的等幅小模低頻振蕩結論基礎上 提出了一種極限狀 本文在文獻態下電力系統穩定性分析的理論與方法 實例計算表明 本文的理論與方法是正確和有效的 特別適合于復雜多機電力系統 為多機電力系統極限運行狀態下的穩定性分析提供了一個有效的途徑和工具 本文首次提出的數值微分算法避開了解析求導 在原系統雅可比矩陣的基礎上 直接求取相關的高階偏導數 進而可方便地計算極限運行狀態下系統的曲率系數 首次提出的數值微分計算的增量選取及誤差和精度分析方法 保證了數值微分計算6鄧集祥 194 ) 男 博士 教授 主要研究領域為電力系統分析和控制 配電網自動化 E-mail,djx mail neiep edu cn張芳 19 9 ) 女 碩士研究生 主要研究方向為電力系統