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文檔簡介

1、精選優質文檔-傾情為你奉上 泰勒定理及帶有拉格朗日余項泰勒公式的應用探討 【摘要】泰勒定理是把函數用多項式近似表示的重要依據,是數學分析課程的重要內容.給出了泰勒定理的證明,泰勒定理是拉格朗日中值定理的推廣，相應地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推廣 泰勒公式在數學以及其他學科當中有著廣泛的應用，本文討論了帶有拉格朗日余項的泰勒公式之間的關系,從純數學的方面說明了泰勒公式的應用，以及在近似計算、求極限、求導數、積分計算、判斷級數收斂性、證明一些等式和不等式等方面的應用. 【關鍵詞】泰勒定理; 泰勒公式; 拉格朗日型余項1、 泰勒定理及證明 定理1: 若函數f( x) 在a，b上存在直至n 階的連

2、續導涵數，在( a，b ) 內存在（n + 1） 階導數，則對任意給定的x，x0a，b，至少存在一點( a，b) ，使得 證明: 作輔助函數 所要證明的定理式即為 2、 帶有拉格朗日余項的泰勒公式 若函數f( x) 在a，b上存在直至n 階的連續導涵數，在( a，b ) 內存在（n + 1） 階導數，則對任意給定的x，x0a，b，至少存在一點( a，b) ，使得 上式稱為泰勒公式，它的余項為 所以上式又稱為帶有拉格朗日余項的泰勒公式. 并且當n=0時，上式即為拉格朗日中值公式 故上式可看作拉格朗日中值定理的推廣.順便在此介紹一下拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理：若函數f滿足如下條件： 在這里

3、定理就不做證明了.由此可看出泰勒定理與拉格朗日中值定理之間的關系. 上式也稱為（帶有拉格朗日余項的）邁克勞林公式.3、 泰勒定理及帶有拉格朗日余項泰勒公式的應用(一)證明含高階導數的值的問題 由連續函數的介值定理知，至少存在一點 使得 (2) 證明等式和不等式 (3) 求極限的問題 (4) 判定級數的收斂性 （5） 證明函數有界問題 （6） 同時求同一點的不同階的導數值故由泰勒展開式的唯一性，有 (7） 近似計算近似值并估計誤差. 故可估算出誤差 因而它有3位有效數字. 據此可得到新的近似值 這個結果有4位有效數字. （8） 證明數的類型 據上式可得： 參考文獻【1】華東師范大學.數學分析（上、下冊）.高等教育出版社.【2】同濟大學.高等數學（上冊）.高等教育出版社.【3】吉米多維奇.數學分析習題集解（四）.山東科學技術出版社.【4】C.H.愛德華.微積分發展史.北京出版社.【5】數值分析簡明教程.

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