1、第三節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)一一奇偶性、單調(diào)性、周期性考綱解讀1 .理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義，會(huì)利用單調(diào)性解決函數(shù)的最值問(wèn)題.2 .結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.3 .會(huì)利用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).命題趨勢(shì)研究有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的高考試題，考查重點(diǎn)是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值(值域)、比較大小及求解函數(shù)不等式 .函數(shù)奇偶性的判斷及其應(yīng)用是常考知識(shí)點(diǎn)，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、最值等結(jié)合綜合考查知識(shí)點(diǎn)精講函數(shù)奇偶性定義設(shè)y = f (x), x w D(D為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間)，如果對(duì)于任意的xw D ,都有f(_x) = f(x),則稱函數(shù)y=f(x

2、)為偶函數(shù)；如果對(duì)于任意的x D ,都有f (x) = f (x),則稱函數(shù)y = f (x)為奇函數(shù).性質(zhì)(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)u函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)f(x)是奇函數(shù)u 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 .(3)若奇函數(shù)y=f(x)在x=0處有意義，則有f(0) = 0;偶函數(shù)y=f(x)必滿足f(x)=f(|x|).(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個(gè)偶

3、函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的1 一一 .一 ,一1 一 一一和的形式.記 g(x) = 2f (x)+ f (-x) , h(x) = 2 f (x) - f (x),貝U f (x) = g(x)+ h(x).(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如 f(x) g(x), f (x) -g(x), f (x) g(x), f (x)-：- g(x).對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；奇父(2)奇=偶；奇父(+ )偶=奇；偶黑(子)偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)y = f g(x)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為

4、奇函數(shù)的單調(diào)性定義一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間M=D,若對(duì)于任意的X1,x2w M ,當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有f(X1)<f(X2)(或f (Xi) a f(X2),則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的，區(qū)間 M為函數(shù)f (x)的一個(gè)增(減)區(qū)間.注：定義域中的X1,X2 = M具有任意性，證明時(shí)應(yīng)特別指出對(duì)于任意的為？2亡M ” .單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間討論的.熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價(jià)形式：設(shè) XpX2 w M =a, b且 Xi <X2 ,則 f (X1) - f (X2) >。U f (x)在a,b上是增

5、函數(shù)。過(guò) Xi _ X2單調(diào)遞增函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)的割線的斜率恒大于零u (Xi -X2)f(K)-f(X2) 0.f(Xi) - f (x2)M0u f (x)在a,b上是減函數(shù) u 過(guò)單調(diào)遞減函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn) Xi - X2的割線的斜率恒小于零 二(xi - x2)f(xi) - f (x2) :： 0.性質(zhì)對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減二增；減-增二減.一般地，對(duì)于乘除運(yùn)算沒(méi)有必然的結(jié)論.如 增Xt曾二增”不一定成立；若f(x)為增函數(shù)，則ii i為減函數(shù) 也是錯(cuò)反的.如f ( x) = x(x W R,X ¥ 0),則y =二

6、為減函數(shù)是不正f(X)f(x) x確的，但若具備如下特殊要求，則結(jié)論成立：i -右f (x)為增函數(shù)，且 f (x) >0(或f (x) <0 ),則為減函數(shù).f(x)i 一，右f (x)為減函數(shù)，且 f (x) >0(或f (x) <0 ),則為增函數(shù).f (X)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增(減)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).函數(shù)的周期性定義設(shè)函數(shù)y = f(x)(xWD),如存在非零常數(shù)T,使得對(duì)任何xWD,x+TWD,且f (x

7、 +T) = f (x),則函數(shù)f (x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個(gè)周期.若在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期.注：函數(shù)的周期性是函數(shù)的整體”性質(zhì)，即對(duì)于定義域 D中的任何一個(gè) X,都滿足f(x +T) = f (x)；若f(x)是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)個(gè)周期后，能夠完全重合.性質(zhì)若f(x)的周期為T,則nT(n wZ,n=0)也是函數(shù)f(x)的周期，并且有f(x + nT)=f(x).有關(guān)函數(shù)周期性的重要結(jié)論(如表所示)函數(shù)式滿足關(guān)系(xw R)周期f(x+T) = f (x)Tf (x +T) =f(x)2T11f (x+T) ; f(x+T)f(x)

8、f(x)2Tf(x+T) = f (x-T)2Tf (x +T) =-f (x-T)4T1f (a +x) = f (a -x) f (b +x) = f (b -x)2(b-a)f (a +x) = f (a -x)f (x)為偶函數(shù)2a'f (a +x) = -f (a -x) f (b +x) = f (b -x)2(b-a)'f (a +x) = - f (a -x)、f(x)為奇函數(shù)2a:f (a +x) = f (a -x) (f (b +x) =_f (b -x)4(b _ a)f (a +x) = f (a -x)(f (x)為奇函數(shù)4af (a +x) =_f

9、 (a -x)f(x)為偶函數(shù)4a函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)y = f (x)有兩條對(duì)稱軸x = a, x =b(a < b),則函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，且T =2(b -a)；(2)若函數(shù)y = f (x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a, c), (b,c)(a <b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且 T =2(ba)；(3)若函數(shù)y = f(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(a <b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T =4(b a).題型歸納及思路提示題型16 函數(shù)的奇偶性f(_x)=_f(x),則函數(shù) f(x)為奇f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心

10、對(duì)稱，則思路提示：判斷函數(shù)的奇偶性，常用以下兩種方法：(1)定義法.首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若函數(shù)；若f (x) = f (x),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).(2)圖像法根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性進(jìn)行判斷，若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；若函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù).【例2.25】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=36 - x2|x 3| -3 f (x) =Vl-x2 +4x2 -1 ；(3) f (x) =log2(x + Mx2+1)；(4)f(x)=10g2(1 -x2)|x-2| -2(5)f(x)x2 +x(x <0)=<2，-x +x(x >0)

11、解析v36-x2(1)由f(x)=可知|x+3|-3236-x2 之 0Jx+3|_3#0一'-6<x<6,故函數(shù)f (x)的 x豐0fix豐-6定義域?yàn)閤|-6<x<0或0<x<6,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故 f (x)為非奇非偶函數(shù).1x2 之 0c 2x2 =1= x = ±1 ,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故x -1 之 0f(x)=0,所以f(x)= f(x) = f(x),所以函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x ,都有x +Vx2+1 Ax十|x |之0 ,故定義域?yàn)?R.且f (一x) =log

12、2(，x2+1 x) =log2(-j=) =-log2(%,x2+1 + x) = _f (x),故 f(x),X2 1 x為奇函數(shù).'1-x2 >0.、 (4)由J=_1 < x < 0或0 < x <1 , 7E義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.Jx -2|-2 0022、此時(shí)，f (x)0g2(1-x ) =log2(1-x),故有 f(_x) = -f(x),所以 f(x)為奇函數(shù). |x-2|-2-x2當(dāng) x <0 時(shí),x >0, f (x) =x x = f(x);當(dāng) x > 0 時(shí),-x <0, f(x) =x2 x= -f (x)

13、.故 f (x)為奇函數(shù).評(píng)注 利用定義判斷函數(shù)的奇偶性要注意以下幾點(diǎn)：首先必須判斷 f (x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則是非奇非偶函數(shù).若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)定義域任意x說(shuō)明滿足定義.若否定奇偶性只需有一個(gè)自變量不滿足.有些函數(shù)必須根據(jù)定義域化簡(jiǎn)解析式后才可判斷，否則可能無(wú)法判斷或判斷錯(cuò)誤，如本例(2),若不化簡(jiǎn)可能誤判為偶函數(shù)，而本例(4)可能誤判為非奇非偶函數(shù).本例 (3) 若用奇偶性 的等價(jià)形式， 則f(一x) + f (x) =log2Gx2 +1 -x) +log2(nx2 +1 +x) =log21 = 0,即 f(-x) =-f (x),故f(x)為奇函數(shù)，顯

14、然，等價(jià)形式的整理較定義法更為容易.這提醒我們，在函數(shù)解析式較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)使用等價(jià)形式來(lái)判斷奇偶性較為方便變式1:判斷下列函數(shù)的奇偶性f(x) =(x-1)(2)f(x)=3二 | x_314 - x2(1)x 2(x T)(3) f(x) =<0(-1 Mx<1)； x-2(x >1)(4) f(x) =|x -2| |x - 2|.，一 一1 x .解析 (1)函數(shù)f(x)=(x-1)J的定義域?yàn)閤|1Wx<1,其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)1-x稱，故函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)=3423的定義域?yàn)?-2, 2),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又函數(shù) ,4-x2M

15、xxUxW1 =二*，可得f(-x) = -f(x),故f(x)函數(shù)為奇函數(shù).4 -x2, 4 . x2(3)解法一：設(shè) x <1 ,貝U x >1, f (x) = x2 = f(x),同樣當(dāng)iwxwl時(shí)，f(_x)=f(x),故f(x)函數(shù)為奇函數(shù).解法二：(圖象法)函數(shù) f(x)的圖象如圖2-42所示，知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).圖2 42(4)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又 f (_x) H -x -2| +| -x +2H x+2| +| x-2|=f (x),故函數(shù) f(x)為偶函數(shù).變式2：已知函數(shù)f (x) = lg(x + 22 + x2) lg J2 ,

16、試判斷其奇偶性解析函數(shù)的定義域?yàn)?R,又2 x2x , 2 - x2 - xx2 - 2 - x2,f (x)為奇f (x) + f (x) = 1g尸一+ 1gx = lg() = 0,故函數(shù)222函數(shù).a 一【例2.26已知函數(shù)f (x) =x2 + (x=0,x= R),試判斷其奇偶性. x分析利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解析 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2,滿足f (x) = f (x),故f (x)為偶函數(shù)；ao a當(dāng) a #0時(shí)，f (x) = x + , f (-x) = x 一一，假設(shè) f (一x) = f (x)對(duì)任意 x= R , x ¥ 0 恒 xx成立，則此時(shí)a

17、 =0 ,與前提矛盾；假設(shè)f(x) = f(x)對(duì)任意xwR, x#0恒成立，則此時(shí) 2x2=0,即x = 0,與條件定義域x | x # 0, x w R矛盾.綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a#0時(shí)，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù).評(píng)注 函數(shù)f(x)是奇函數(shù)u f(x) + f (x) = 0;函數(shù)f(x)是偶函數(shù)u f (x) f (x) =0 .奇偶函數(shù)的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若要說(shuō)明一個(gè)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，可以舉一個(gè)反例本題的結(jié)論還可以借用運(yùn)算函數(shù)的的奇偶性的規(guī)律獲得，已知函數(shù)是一個(gè)由x2與芻通過(guò)xa 一加法法則運(yùn)算得到的函數(shù)，而y=x2為偶函數(shù)，y = (a#0)為

18、奇函數(shù)，故當(dāng)a#0時(shí)，x2f(x)為 偶+奇”形式，故為非奇非偶函數(shù)；當(dāng) a = 0時(shí)，則f(x)=x為偶函數(shù).2 一.一 一一變式1：函數(shù)F(x) =(1)f (x)是偶函數(shù)，并且f(x)不等于零，則f (x)是()2x -1A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)2，-2，解析 可證明g(x)=什ff 乂為奇函數(shù)，要使 F(x)= (1 f x(是)禺函2x -12x -1數(shù)，由運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律可知，f (x)是奇函數(shù)，故選 A.變式2：對(duì)于函數(shù)y=f(x), xWR, "y =| f (x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“f (x)是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件B

19、.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 若函數(shù)y = f (x)是奇函數(shù)，則f ( x) = - f ( x)此時(shí)，| f ( x )#|-f x月f| x(因此y =| f ( x)岸偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱，但當(dāng)y =| f (x) |的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，未必推出y = f(x)是奇函數(shù)，如 y = x2是偶函數(shù)，且 y =| f (x)|=|x2|=x2,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，并非奇函數(shù)，故"y=| f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選B.【例 2.27 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x, yw R都有 f(

20、x+y) + f(x y) =2f(x)f(y),且 f(0)#0,試判斷 f(x)的奇偶性.分析 對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性判斷通常利用賦值法得到f (x)與f (x)的關(guān)系.解析 由函數(shù)定義域?yàn)镽可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.依題意可令x = 0,y = 0,得 2f(0) =2f(0)2，因?yàn)?f(0) #0,所以 f (0)=1 .令 x=0,可得 f (y) + f( y) = 2f (y), 即f (y) = f ( _y),所以f (x) = f ( x),故函數(shù)f (x)為偶函數(shù).評(píng)注 對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，常通過(guò)賦值法(如令x = 0,1,-1等)湊成含有f(x)與f(-x)的關(guān)系的

21、式子，然后進(jìn)行判斷.變式1:已知函數(shù)f (x)在R上有定義，且對(duì)任意 x, y w R都有f (x + y) = f (x) + f (y), 試判斷f (x)的奇偶性.解析 令 x=y=0,得 f(0)=牙(0), =(0,)令丫 = 一x,得f(0) =f(x)+f(x=)0f (x=> f,所以函數(shù) y=f(x)是奇函數(shù).變式2：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x1,x2 w R有f (x1+x2) = f (x1)十f (x2) + 1 , 則下列說(shuō)法正確的是()A. f(x)是奇函數(shù)B. f(x)是偶函數(shù)C. f (x) +1為奇函數(shù)D. f(x) +1為偶函數(shù)解析解法一：

22、由 x1,x2WR有f(x+x)= f( x)+ f(2xK 1設(shè) x1 =x,x2 = x,貝U f (0) = f (x)+ f (-x)+1 = 一1 ,所以 f (x)+1 = f(x)1 = f(-x)+1,令 F(x) = f (x)+1,故 F(x) = f(x)+1 = -f(x)+1 = F(x),所以 F(x)= f(x)+1 是奇函數(shù)，故選 C.變式3 ：已知函數(shù)f (x)在(-1,1)上有定義，且對(duì)任意x,yw (-1,1)都有x y、f (x) + f (y) = f (一-)，試判斷函數(shù)f (x)的奇偶性.1 xy分析 對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性判斷通常利用賦值法，如令

23、x = y = 0轉(zhuǎn)化.解析 由于f(x)+f y )=f 衛(wèi)上，論x=y = 0,得2f (0)f (0即f(0” 0令 1 xyy =x,則 f(x)+ f( x)= f(0, O 以 f(x) = f(x)故 f(x)為奇函數(shù).變式 4 ：已知f(x) , g(x)在 R上有定義，對(duì)任意的x,yw R ,有f(x-y) = f (x)g(y)-g(x)f (y),且 f(1)#0 .(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)若 f (1) = f(2),求 g(1) +g(1)的值.解析 解法一：令 x = y=0,則 f(0)= f(0)g(0)g(0)f(0) =0,令 x=0,y=1,則

24、 f(1)=f(1)g(0)g(1)f(0),又 f(1)#0, f(0) =0，所以 g(0) = 1 ,令 x=0,則 f(-y) = f(0)g(y)-g(O)f(y) = -f(y),所以 f(x)為奇函數(shù).解法二：令 x=m-n,則一x=n-m所以，f (x) = f (m n) = f (m)g(n) g(m) f (n),f (x) = f (n -m) = f (n)g(m) g(n) f (m) = f (x),所以 f (x)為奇函數(shù).(2)令 x=1,y = 1，則 f (2)= f(1)g(1) + g(1)f (1),所以 f(2) = f(1)g(-1) + g(1

25、),又因?yàn)?f (1)=f(2) ¥0,所以 g(1) + g(1)=1 ,故 g(1)+g(1)的值為 1.32.2_【例2.28 已知偶函數(shù)f (x) = (1 a)x + mx +1的定義域?yàn)?m -3m 8,m),則m + 2a =.分析定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件解析 因?yàn)閒 (x)為偶函數(shù)，故其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以m2 -3m-8 = 0 ,且m2 - 3m -8 <m ,解得m =4 .由函數(shù)f (x)為偶函數(shù)得x3的系數(shù)為 0,則1-a = 0,即a =1 ,故 m +2a =6.變式1：若函數(shù) f (x)=為奇函數(shù)，則 a=()(2x -

26、 1)(x-a)1 23A.B.-C.-D.12 341解析解法一：由函數(shù)的定義域?yàn)閤|x#-且x#a,有因?yàn)閒(x)奇函數(shù)，可知定義21域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故 a =,故選A.2解法二：f(x) =(2x 1)(x-a)為奇函數(shù)，由于分子為奇函數(shù)，則分母為偶函數(shù)，又知分母1為二次函數(shù)，則一次項(xiàng)系數(shù)為0,所以a=-,故選a.222、變式2：右函數(shù)f (x) =loga(x+可x +2a )是奇函數(shù)，則 a =,分析由函數(shù)的定義域含有數(shù) 0,則必有f(0)=0解析 函數(shù)f(x) =loga(x+Jx2+2a2)(a >0且a*1)為定義域?yàn)?R的奇函數(shù)，且在x = 0有意義，故滿足 f(0)

27、= 0,從而得loga亞/ = 0= a2 = 1,又a>0且a*1,所以22 a =.21變式3：右f (x) = +a是奇函數(shù)，則 a =.2x -1解析解法一：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x) + f(x)=0, 11. 一 1 2x一 1即+a + +a =0 ,整理得 +2a = 0 ,得 a = 一 .2 -12x -12x -121解法二：(賦值法)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(1)+f(1) = 0,解得a=-.2k -2x .變式4：函數(shù)f (x) =7(k為常數(shù))為其定義域上的奇函數(shù).則 k =1 k 2k -2x解析 依題意，函數(shù)f (x) = k x (k為常數(shù)

28、)為其定義域上的奇函數(shù)，則1 k 2xf ( _x) -2x -k1 k 2x故 (2k k)(2k -k) Zk2 -1)(1 k_2k)k -那k|_|2k _12k -kkk- " 2k k " 1 k|J2k ,1-k2k(k2 -1)(22k +1) =0,k =±1 ,11 _2x1 _2 -2x _1，,1 _2x .若 k=1,得f(x)=1 2x，f(_x)=1 2x=2x 1= f(x)，故f(x)=1 2x為奇函數(shù)；1212a 2x 11 . 2x_1 _2x2x 12-1 1 2x. 右 k=-1,得 f(x) =, f(-x) =_f(x

29、),故 f(x)為奇函數(shù);1 -2x2x -12- -11 -2x故 k=1 或 k=-1.1 - kx變式5：函數(shù)f(x)=loga()(a A1)為其定義域上的奇函數(shù)，則 k =.x -1f(-x 尸1 k xlao-g-(=-x -1依題意，函數(shù)f(x尸)為其定義域上的奇函數(shù)，則F)log ()，1 kx-x -1-x1,#1 -k2x2 =1 -x2=(k2 -1)x2 =0,k =±11 -kx1 一 x右 k=1 ,付 f (x) =loga() =l0ga(1)，無(wú)息義，故舍去；x -11 -x1 -xx -1右 k=-1,得 f(x)=loga(), f (-x) =

30、 loga() loga() = -f(x)，滿足 f (x)為前函x -1-x -1x 1數(shù)，故k=-1【例2.29已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x5-«,0)時(shí)，f(x) = x x4,則 當(dāng) x W (0, )時(shí)，f (x) =.解析 當(dāng) x>0 時(shí)，貝 u x<0, f(x)=(x)(x)4=x x4,因?yàn)?f(x)是偶函數(shù)，所 以 f (x) = f (x) =xx4 ,故當(dāng) xW(0,)時(shí)，f(x) = xx4.評(píng)注 解此類題分三步：第一步將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；第2步將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；第3步利用函數(shù)的奇

31、偶性求出解析式變式1：已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x>0時(shí)，f(x) = x x2,求函數(shù)f(x)的 解析式.解析 當(dāng)x< 0時(shí)，-x> 0,所以 f(-x)=-x-(-x) 2=-x-x2，因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)，所以 f(x)=- f(-x)= x 2+x, 所以當(dāng) x<0 時(shí) f(x)=- f(-x)= x 2+x；當(dāng) x=0 時(shí)，f(0)=0,1x2 -x所以 f(x)1_x2(x-0)(x ： 0)【例2.30已知f(x)為定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)，求證： f (x) 一定可以寫成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和的形式.分析 先設(shè)f(x)能寫成一個(gè)

32、函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，再利用奇偶函數(shù)的定義列方程組，解方程組即得.解析 先假設(shè)存在f (x) = g(x) + h(x) 其中 g(x)為奇函數(shù)，h(x)是偶函數(shù)，則 f (x) = g(x) + h(x) =g(x) + h(x)由 + 得，h(x)= f(x) + f(-x),由-得,g(x)= f (x) f(-x). 22由此，我們得出結(jié)論，對(duì)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f (x),都可以寫成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.變式 1 ：已知定義在 R 上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f (x)+g(x) =ax-a+2(a >0, a =1).若 g(2) = a

33、,則 f(2)=()A.2b.154C.174D.a2解析 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，所以由f(x)+g(x)=a x-a-x+2得 f(-x)+g(-x)=a x-ax+2 即-f(x)+g(x)= a x-ax+2 . + ，得 g(x)=2,-得 f(x)= ax-a-x,又 g(2)=a,所以 a=2, 所以 f(x)= 2x-2-x, f(2)= 2 2-2-2=15/4，故選 B變式2:設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)， 則下列結(jié)論正確的是 ()A. f(x) + |g(x)| 是偶函數(shù)B.f(x) |g(x)|是奇函數(shù)C.| f(x) | +g(

34、x)是偶函數(shù)D. | f (x)-g(x)是奇函數(shù)解析 令 f(x)=x2,g(x)=x3，則A.f(x)+ | g(x)|= x2+| x3|, f(-x)+1 g(-x)|= x2+| x3|= f(x)+ | g(x)|,故選項(xiàng) A 正確.同理 B,C,D 錯(cuò)誤.1例 2.31函數(shù) f (x) =x3 +sinx+ 1(xw R),若 f (a) =2 ,則 f(a)的值為()A.3B.0C.-1D.-2分析 函數(shù)f (x) =x3+si伙+1中y = x3+si nx為奇函數(shù)，借助奇函數(shù)的性質(zhì)求解.解析 令 g(x)=x3+si rx,得 f(x)=g(x)+1,依題意得，g(a)+1

35、 = 2,所以 g(a) = 1.由 y =g(x)為奇函數(shù)，故 g(-a) = -g(a) = -1 ,所以 f (a) = g(-a) +1 =0 ,故選 B.評(píng)注 本題中雖然函數(shù)整體沒(méi)有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，f(x) + f(x)=0,特別地 f (x)min+f(x)max=0.變式1：對(duì)于函數(shù)f (x) =asin x+bx+c (其中a,bwR,cwZ),選取a, b,c的一組計(jì)算f(1)和f(-1),所得出的正確結(jié)果一定不可能是()A.4 和 6B.3 和 1C.2 和 4D.1 和 2解析 f(1)+ f(-1)=asin1+b+c+as

36、in(-1)-b+c=2c,因?yàn)?cz,則 f(l)+ f(-l 為偶數(shù)，在 4 個(gè)選項(xiàng) 中，只有選項(xiàng) D中1+2=3不是偶數(shù)，故選 D.變式 2 ：已知函數(shù) f (x) =ax3+bsin x+4(a,bw R) , f (lg(log210) =5 ,則f(lg(lg 2)=()A. -5 B. -5 C. 3D.411分析log210=,lg(log 210) =lg()=lg(lg 2),根據(jù)函數(shù) y=ax3+bsinx為奇函數(shù)求解.lg2lg211解析 由 血10=,lg(log210)=lg()=lg(lg2),則 f( lg(lg 2) )+f( lg(lg 2) =8,故 lg

37、2lg2f(lg(lg 2) =3,故選 C.(x 1)2 sin x變式3：設(shè)函數(shù)f (x)g的最大值為 M,最小值為 m,則M +n=.x 1解析 將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的奇偶性求解2一、 (x 1) sinx / 2x sin x 、幾 2x sinxf (x)g=1 +-2,設(shè) g(x)=2，貝U g(-x) =g(x),所以 g(x)是x 1x 1x 1奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性知g(x)max +g(x)min =0,所以題型17 函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)思路提示判斷函數(shù)的單調(diào)性一般有四種方法：定義法、圖像法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法和導(dǎo)數(shù)法a ,【例2.32】求證：函數(shù)f (x) =

38、x+(a >0)在Ja,+g)上是增函數(shù).x，分析利用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明.解析 設(shè)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1, x2 w &+兇)且x < x2 ,則有f(x1)- f(x2) =(x1 -x2)亙 =(x1-x2)(1 -) .因?yàn)閤1, x2,a, +°°),所以x1x2x1 x2, ax1x2 >a , 1 >0,x1-x2<0 ,f (x1) - f(x2) <0=f (x1)< f (x2),故 f (x)在x1x2ja,y)上是增函數(shù).評(píng)注 利用函數(shù)單調(diào)性的定義判定時(shí)，其步驟為：(1)取值；(2)作差比較；(3)定量

39、；(4)判斷.解題時(shí)注意所設(shè)的 x1，x2在區(qū)間內(nèi)須具有任意性.若否定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，只要取兩個(gè)特殊自變量說(shuō)明不滿足即可.變式1：已知函數(shù)f (x)對(duì)任意x, y w R ,滿足f (x) + f (y)= f(x + y) + 2 ,當(dāng)x>0時(shí)，f(x) >2 ,求證：f (x)在R上是增函數(shù).分析判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性利用定義法求解.解析 任取 Xl,X2WR,設(shè) X1<X2, *2«1>0,因?yàn)?>0,時(shí)，f(x)>2,所以 f( X2- X1)>2,由 f(x)+ f(y)= f(x+y)+2,可得 f(x+y)- f(x)= f(y)-

40、2 ,設(shè) x+y=x2,x=x1，貝U y=X2-X1，所以 f( X2)- f( X1)= f( x 2- X1 )-2.因?yàn)?f( x 2- X1) > 2,所以 f( X2)- f( x 1)= f( X2-X1)-2>0,所以 f( X2) > f( X1),當(dāng)即X1<X2, f( X2)> f( X1),所以f(x)在R上是增函數(shù).評(píng)注：判定抽象函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常利用賦值法和定義法比較f( X2)和f( X1)的大小變式2：定義在R上的函數(shù)y = f(x), f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)A1,且對(duì)任意的a,bWR,有 f (a b)= f(a

41、) f (b).(1)求證：f(0)=1;(2)求證：對(duì)任意的 x W R ,恒有f (x) > 0 ;(3)證明：f (x)是R上的增函數(shù)；(4)若f (x)，f (2x x2) >1 ,求x的取值范圍.(5)解析 (1)令 a=b=0,則 f(0)= f(0) 2,因?yàn)?f(0)w0,所以 f(0)=1.(6) ( 2)當(dāng) x> 0 時(shí)，f( x) > 1 > 0;當(dāng) x=0 時(shí)，f( 0)=1 >0;(7)當(dāng) x< 0 時(shí)，f( x) f(- x)= f( 0)=1 ,則 f( x)=【f(-x)】 -10,(8)故對(duì)任意的 xWR,恒有f( x

42、) > 0.(9) ( 3)令 a > 0,貝U a+b > b,f(a+b)- f(b)= f(a) fb)- f(b)= f(a)-1 fb),(10)當(dāng) a>0 時(shí),f( a)>1,且bWR,恒有 f(b) > 0.故 f(a+b) > f(b),(11)所以f(x)在R上是增函數(shù).(12) (4)因?yàn)?f(x). f(2x-x 2)= f(3x-x2) > 1= f( 0)，所以 3x-x2 > 0,(13)所以0Vx<3,故x的取值范圍時(shí)(0,3)【例2.33】設(shè)(*,a)是函數(shù)y =x2-4|x|+5的一個(gè)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a

43、的取值范圍是()A.-2,二) B.(-二，-2C.2,二)D.(-二,2分析 作出函數(shù)的圖象，找出遞減區(qū)間，從而確定a的取值范圍.2斛析 由y=x -4|x|+5得，f (-x) = f (x),知y = f (x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.只要畫出當(dāng)x之0時(shí)的圖象，然后作出其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形即可得到x<0部分的圖a < -2 .故選 B.象，如圖所示.可知，若(*,a)為函數(shù)f(x)的減區(qū)間，則變式1 ：下列區(qū)間中，函數(shù) f (x) =|ln(2-x)|在其上為增函數(shù)的是()4-3A.(-二,1B.-1,-C.0-)D.1,2)32解析 用圖象法解決，將y=lnx的圖像關(guān)

44、于y軸對(duì)稱得到y(tǒng)=ln (-x),再向右平移兩個(gè)單位， 得到y(tǒng)=ln (-(x-2)的圖像，將得到的圖像在 x軸下方的部分翻折上來(lái)，即得到f(x)=|ln(2-x)|的圖像，由圖2-43知，選項(xiàng)中f(x)是增函數(shù)的顯然只有D.故選D.評(píng)注：要得到函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|的圖像，也可先作函數(shù)y=ln(x+2)的圖像，將其關(guān)于 y軸對(duì)稱得函數(shù)y=ln(-x+2)的圖像，在x軸下方的部分翻折上來(lái)，即得到 f(x)=|ln(2-x)|的圖像.變式2：已知函數(shù)f(x)=e|xa(a為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間1,+/)上是增函數(shù)，則 a的取值 范圍是.解析 如圖2-44所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間a,

45、+ °°)上單調(diào)遞增, 因此11,+8)j【a,+8),故a的取值范圍是(-8, 1】.變式3：定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f (x) = f (2-x),若f (x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，則f(x)()A.在區(qū)間-2,1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)B.在區(qū)間一2,1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)C.在區(qū)間-2,1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)D.在區(qū)間-2,-1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)E.分析 根據(jù)題意，作出函數(shù)f(x)的草圖，判斷函數(shù)的單調(diào)性即求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間F.解析 由f(x)= f(2-x)可知f(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，又因?yàn)閒

46、(x)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于x=0 對(duì)稱，可得到f(x)為周期函數(shù)且最小正周期為2,結(jié)合f(x)在區(qū)間1,2是減函數(shù)，可得到如圖2-45所示的函數(shù)f(x)的草圖，觀察可知，f(x)在區(qū)間-2,-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是 減函數(shù).故選B.G.變式4:已知f (x) =«(3a 1)x+ 4a(x <1) 口叱山一是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()lOga x(x 之 1)A.(0,1)iB.%)1 1C.7,3)分析本題所給的函數(shù)為分段的形式，要滿足在 減，而且要滿足在整個(gè)定義域上都遞減.id7,i)R上的遞減不僅要滿足在每個(gè)子區(qū)間上遞解析 函數(shù)f(x)在R上遞減，故 x

47、< 1時(shí)，f(x)=(3a-1)x+4a單調(diào)遞減，因此 3a-1 < 0,彳導(dǎo)a<?;當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=logax單調(diào)遞減，故0 < a< 1.同時(shí)結(jié)合f(x)的圖像(如圖2-46所示),當(dāng) x=1 時(shí)，(3a-1) +4a>loga1,解得 a >1/7,綜上a的取值范圍是1/7, 1/3).故選C.評(píng)注：關(guān)于分段函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意：若 f(x)=颯(X a，b、h(x)(xqc,d) ,(其中cb), g(x)在a,b上是增函數(shù),h(x)在c,d上是增函數(shù)，則 數(shù)，若使f(x)在區(qū)間a,bU< h(c).即有下面的重要結(jié)論：f(x)

48、在區(qū)間a,bU c,d上不一定是增函c,可上一定是增函數(shù)，需補(bǔ)充條件g(b)分段函數(shù)f(x)=h(x)(x：黑)，(其中增函數(shù)g(x),二 h(x)在a,b上遞增在c,d上遞增，(其中c之b)g(x) max Mh(x) ming(x)分段函數(shù)f (x)二h(x)(xTa,b ) ,(其中c之b)為單調(diào)減函數(shù)(xWc,d)g(x) 在a,b上遞減u h(x)在c,d上遞減，(其中cb) g(x)mm -h(x) max題型18 函數(shù)的周期性思路提示(1) f(x+a)= f(x)= T =|a|(a¥0)； f(x + a)=f(x + b)= T =|a b|(a#b)；(2) f

49、(x+a) = f (x)= T = 2|a|(a#0);f(x+a) = f(x +b)= T = 2|ab|(a#b)；f (x a) f (x b)= c= T = 2 | a _ b | (a ； b, c ； 0).(3) f(x) - f (x-a) - f (x -2a),T =6|a|(a = 0).1 一 一【例2.34已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足f(x+1)=,若f(1)=8 ,則f(x)f(2014) =.一1斛析 f (x +1) =, f (x +1)葉(x) =1 ,有 f (x +1) - f (x +2) = 1 , 所 以f(x).11f(x) = f(

50、x+2),故T =2,所以 f(2 0)1f40)=.f (1)81 一一一變式1：函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足f(x + 2) =，若f(1) = 5 ,則f (f(5)=.f(x)解析 f (x + 2 即 f x(+ U2)x 彳，)有 f( x+ 4) f (x + 2 ),所以 f(x+4)=f(x),故T=4 , f(x)f(5)=f(1)=-5,所以 f(f(5)=f(-5)=f(-1)=1/f=-1/51【例 2.35已知函數(shù) f(x)滿足 f (1) =,4f (x)f (y) = f (x+y) +f (x y)(x,y= R),則4f(2010);.解析 令 y =1,

51、4f (x)f (1) = f (x+1) + f(x1)= f (x) = f(x+1) + f (x-1) =f(x+1) = f(x) f (x1) , T=6,所以 f(2010) = f (0),又令 x = 1,y = 0,有1 ，14 f (1) f(0) = f (1)十 f (1),所以 f (0) = 2, f (2010) =2 .【例2.36已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集 R上的不恒等于零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X都5有 xf(x+1)=(1+x)f(x),貝U f1)的值是()A.0B. -C.1D. 522分析 f (x)為偶函數(shù)，有xf(x + 1) = (1+x)

52、f(x),只能從x+1=x或者x+1+x=0時(shí)入手.1.1 - 11-11 - 1一斛析 當(dāng) x+1+x=0 時(shí)，即* =時(shí)，一一f (一) = - f (一一)= f (一),得22222221 35f()=0, f()=Q f ()=0,故選 A.2 22評(píng)注 本題也可以從另外一方面解答，先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，當(dāng)x皂Z時(shí)，f ("1)=fxx 1 x. . f(x) . f (x 1) 1令 g(x)=,則 g(x+1)=.所以 g(x + 1) = g(x) , t =1 ,令 x =，得xx 12111111151 f(5)心f(一)=f(一)= f(一), f()=0 .因?yàn)?g

53、(一)=g(一),即 ，=,2 =0.故222222225122f(5) =0.21 f (x)變式1：已知a為非零常數(shù)，xuR且f(x+a)=U ,試判斷f(x)的周期性.1- f(x)解析 f(x aUU%1-f x )x( a2 =)1 f x( a1 f x( a11f (x )_)1 - f (x )_ _ 1")1_1 f (x )- - f x ()1-f (x )所以 f (x +2a)|_f (x) = -1 ,即f (x +2a)|_f (x +4a) = -1 所以 f(x+4a)=f(x),T=4|a|,故(x)為周期函數(shù)，且 T=4|a|.題型19 函數(shù)性質(zhì)

54、的綜合思路提示(1)奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)(或軸對(duì)稱函數(shù))與單調(diào)性綜合解 不等式和比較大小.(2)奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)之間距離的2倍，是對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間距離的4倍. 如函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱，可得 T =2|ab|(a¥b).f(x) = f (2a -x), f(x) = f (2b x),所以 f (2a x) = f (2b x),可得 T = 2 | a b |. 如函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x = a和直線 x = b軸對(duì)稱，可得 T =2|a b|(a ¥b). f (x) = f (2a x), f (x) = f (2bx),所以 f(2a-x)= f (2b x), 可得 T =2|a -b|.如函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，且關(guān)于直線x=b軸對(duì)稱，可得 T =4|a b|(a ¥b) . f (x) = f (2a x), f (x) = f (2b x) , 所 以 一 f(2a-x) = f (2b x),故 f(4b4a +x) = f(x) , T =4|a b|.2.37 定義在R上的偶函數(shù)f (x)滿足：對(duì)任意的x1, x2 W (q ,0( x1 # x2),有