1、專題一 證明平行垂直問題 題型一證明平行關(guān)系(1)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點求證：MN平面A1BD.(2)在正方體AC1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，求證：平面AMN平面EFDB.思考題1(1)如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG平面PBC.(2)如圖，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ3QC.求證：PQ平面B

2、CD. 題型二證明垂直關(guān)系(微專題)微專題1：證明線線垂直(1)已知空間四邊形OABC中，M為BC中點，N為AC中點，P為OA中點，Q為OB中點，若ABOC.求證：PMQN.(2)(2019山西太原檢測)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點，AEA1B1，D為棱A1B1上的點，求證：DFAE.微專題2：證明線面垂直(3)在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：BD1平面ACB1.(4)(2019河南六市一模)在如圖所示的幾何體中，ABCA1B1C1為三棱柱，且AA1平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD2CD，ADC60.若AA1AC，求

3、證：AC1平面A1B1CD.微專題3：證明面面垂直(5)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點，求證：平面DEA平面A1FD1.(6)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD，求證：平面PQC平面DCQ.思考題2(1)(2019北京東城區(qū)模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點，作EFBP交BP于點F，求證：PB平面EFD.(2)(2019濟南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.證

4、明：APBC；若點M是線段AP上一點，且AM3，試證明平面AMC平面BMC.題型三探究性問題在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點G，使GF平面PCB.若存在，確定G點的位置；若不存在，試說明理由思考題3 (2019山西長治二模)如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，PACD，PA1，PD，E為PD上一點，PE2ED.(1)求證：PA平面ABCD；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由專題二 求解異面

5、直線所成角和線面角問題題型一異面直線所成的角(1)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點，則異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于_(2)(2019安徽知名示范高中聯(lián)合質(zhì)檢)若在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACBAC60，平面A1ACC1平面ABC，AA1ACAB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為思考題1(2019湖南雅禮中學(xué)期末)如圖1，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E是DC的中點；如圖2，將DAE沿AE折起，使折后平面DAE平面ABCE，則異面直線AE和BD所成角的余弦值為_題型二定義法求線面角(1)(2019

6、山東荷澤期末)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1平面AB1C1，且AB1C1為等邊三角形，B1C12AA12，則直線AB與平面B1C1CB所成角的正切值為()A. B. C. D.(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為線段BD的中點設(shè)點P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為，則sin的取值范圍是()A，1 B，1 C， D，1思考題2(1)(2019河北石家莊一模)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角的大小為_(2)把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四

7、點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A90 B60 C45 D30題型三向量法求線面角(1)(2019河南鄭州月考)如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中點，O是AD的中點，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是_(2)如圖，菱形ABCD中，ABC60，AC與BD相交于點O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直線FO與平面BED所成的角為45，則AE_思考題3(1)正四棱錐SABCD中，O為頂點S在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_(2)

8、(2019河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱長均為2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為()A. B. C. D.(1)(2019太原模擬一)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形，PABD.求證：PBPD；若E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點，EF平面PCD，求直線PB與平面PCD所成角的大小(2)(2019湖南長郡中學(xué)選拔考試)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC5，AC8，D為線段AC的中點求證：BDA1D；若直線A1D與平面BC1D所成角的正弦值為，求AA1的長思考題4(2

9、019石家莊質(zhì)檢二)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為CBB160的菱形，ABAC1.(1)證明：平面AB1C平面BB1C1C；(2)若ABB1C，直線AB與平面BB1C1C所成的角為30，求直線AB1與平面A1B1C所成角的正弦值專題三 求解二面角問題題型一定義法求二面角(1)(2019臺州一模)在邊長為a的等邊三角形ABC中，ADBC于點D，沿AD折成二面角BADC，若此時BCa，則二面角BADC的大小為_(2)如圖，二面角l的大小是60，線段AB，Bl，AB與l所成的角為30，則AB與平面所成的角的正弦值是(3)已知三棱錐PABC的所有頂點都在表面積為16的球O的球面上

10、，AC為球O的直徑當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時，設(shè)二面角PABC的大小為，則sin()A.B. C. D.思考題1 (1)如圖，在矩形ABCD中，AB2，AD3，點E為AD的中點，現(xiàn)分別沿BE，CE將ABE，DCE翻折，使得點A，D重合于F，此時二面角EBCF的余弦值為()A. B. C. D.(2)如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，PA為母線，點C在底面圓周上，若PAAB2，ACBC，則二面角PACB的正切值是_題型二向量法求二面角(1)已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的銳二面角的正切值為_(2)(2

11、019河南安陽)二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150 B45 C60 D120思考題2(1)設(shè)平面的一個法向量為n1(1，2，2)，平面的一個法向量為n2(2，4，k)，若和所成的銳二面角的余弦值為，則k_(2)(2019遼寧丹東模擬)如圖，正方形A1BCD折成直二面角ABDC，則二面角ACDB的余弦值是_(3)(2019廣東中山模擬)在矩形ABCD中，已知AB2，AD2，M，N分別為AD和BC的中點，沿MN把平面ABNM折起，若折起后|AC|，則二面角AMNC的大小為()A3

12、0 B45 C60 D90(2019惠州二次調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ABC60，PAPB，PC2.(1)求證：平面PAB平面ABCD；(2)若PAPB，求二面角APCD的余弦值思考題3(2019河北五一名校聯(lián)考)在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求證：A1C1B1C；(2)求二面角B1A1CC1的正弦值題型三空間角的綜合問題(2019唐山五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2

13、CD，E是PB的中點(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值思考題4(2019江南十校素質(zhì)檢測)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，平面CDEF平面ABCD，F(xiàn)CFB，四邊形ABCD為平行四邊形，且BCD45.(1)求證：CDBF；(2)若AB2EF2，BC，直線BF與平面ABCD所成角為45，求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值專題四 綜合問題 題型一空間的距離(1)(2019江西九江期末)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E為CD的中點，F(xiàn)為PA的中點，且PAAB2.則

14、點P到平面BEF的距離為()A.B. C. D.(2)已知正方形ABCD的邊長為4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求點B到平面GEF的距離思考題1(1)(2019黑龍江哈爾濱期末)三棱柱ABCA1B1C1底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直，若AB2，AA11，則點A到平面A1BC的距離為()A. B. C. D.2.(2017課標(biāo)全國，理)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值(2)(2019湖南長沙一模)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別

15、為BB1，CD的中點，求點F到平面A1D1E的距離題型二探究性問題(2019湖南重點校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD,且ADCD2,BC4，PA2.(1)求證：ABPC；(2)在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角MACD的大小為45，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由思考題2(2019西安八校聯(lián)考)已知幾何體ABCC1B1N的直觀圖如圖所示，CB底面ABB1N，且ABB1N為直角梯形，側(cè)面BB1C1C為矩形，ANABBC4，BB18，NABABB190.(1)連接B1C，若M為AB的中點，在線段CB上是否存在一點P，使

16、得MP平面CNB1？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由(2)求二面角CNB1C1的余弦值題型三翻折問題(2019安徽合肥調(diào)研性檢測)平面四邊形ABCD中，DAB，ADAB，BCD為等邊三角形現(xiàn)將ABD沿BD翻折得到四面體PBCD，點E，F(xiàn)，G，H分別為PB，PD，CD，CB的中點(1)求證：四邊形EFGH為矩形；(2)當(dāng)平面PBD平面CBD時，求直線BG與平面PBC所成角的正弦值思考題3如圖，在直角梯形ABCP中，AB90，ABBC3，AP6，CDAP于D，現(xiàn)將PCD沿線段CD折成60的二面角PCDA，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(1)求證：PA平面EFG；(2)若M為線段

17、CD上的動點，求直線MF與平面EFG所成角的最大角，并確定成最大角時點M在什么位置？高考題呈現(xiàn)1(2014全國)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)AP1，AD，三棱錐PABD的體積V，求A到平面PBC的距離2(2016北京)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求證：PD平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由3.(2018浙江)如圖，已知多

18、面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值4.(2016課標(biāo)全國)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點(1)證明：MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值5(2018課標(biāo)全國)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值6(2016課標(biāo)全國，理)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值7.(2017課標(biāo)全國，理)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值8(2018課標(biāo)全國，理)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(1)證明：PO