1、第1 1頁共 1919 頁2020 屆山西省芮城縣高三下學期 3 月月考數學(文)試題一、單選題21 1 集合A x|x x 6 0，集合Bx|log2x 1,則AI B()A A 2,3B B.,3C C 2,2D D 0,2【答案】D D【解析】先解不等式求出集合A,B，再根據交集的定義求解即可.【詳解】由log2x 1解得0 x2，則B 0,2, AI B 0,2, 故選：D D.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，考查一元二次不等式的解法，考查指數不等式的解法,屬于基礎題.2 2 .已知復數 Z Z ia R是純虛數，則a的值為()2i11A A .B B. C C.2D D .222

2、【答案】A A【解析】根據復數除法運算化簡 z z，根據純虛數定義求得a. .2a 1門0515，解得：a丄025本題正確選項：A【點睛】本題考查純虛數的定義，關鍵是利用復數的除法運算進行化簡，屬于基礎題3 3.已知等差數列丿的前：i項和為兀，若地巧則片廠()解：由x2x 60即x 3 x 20解得2 x 3，則A2,3,-aiQZ2ia i i 2 i2 i2 i絲Ji是純虛數55【詳第2 2頁共 1919 頁A A B B.C C D D 【答案】B B【解析】 將已知條件化為引 d d 的形式，可得到時；根據中項的性質可得口 = 1 1，叫，代入 求得結果 【詳解】設等差數列 1 1 白

3、丿公差為 d d由込理=2 2 得:兒+ 4dJ-L4dJ-LL L+ + dJdJ = = a aL L+ + 7d7d 2 2: a a8 8= = 2 2兒S沾 15as- 15 x 2 - 30本題正確選項：劉【點睛】本題考查等差數列性質的應用，關鍵是能夠將已知條件轉變為首項和公差的關系，進而求得數列中的項 4 4 已知函數 f(x)f(x)是定義在R上的偶函數，當x 0，f (x) x33x，則31a f(22)，b f(log327),c到函數值的大小 【詳解】Q函數 f f (x)(x)是定義在R上的偶函數,1b伽3萬)f( 3)f(3),3Q 0 .2 222.2 3，當x 0

4、,f(x) 3x23 0恒成立,f (x) x33x在0,)上單調遞增,3f(22) f (、2)，即b ac. .故選：C.C.【點睛】f o, 2)的大小關系為(A A. a a b b c c【答案】C CB B.a c b【解析】利)上單調遞增，再根據自變量的大小得第3 3頁共 1919 頁本題考查利用函數的性質比較數的大小，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查 邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將自變量化到同一個單調區間中 故選：C C【點睛】本題考查根據函數表達式選擇其圖像的問題，這類問題主要是分析其定義域、值域、1偶性、對稱性、單調性和一些特殊點即可，屬于中檔題 6 6

5、已知點F是拋物線y22px(p 0)(O為坐標原點)的焦點，傾斜角為I過焦點F且與拋物線在第一象限交于點A，當AF 2時，拋物線方程為(In xf x得到f x為偶函數，所以當x 0時,1，求導討論其單調性, 分析其極值就可以得到答案【詳因為f2In所以fx為偶函數，則當x 0時，f xlx2I nx2此時f1(x) x -xx21x當x 1時，f (x)x 1時,f (x) 0. .所以f x在(0,1)上單調遞減，在(1,)上單調遞在x 0上，當x 1時函數f x有最小值f(1)-2由f x為偶函數，根據選項的圖像C C 符合. .的直線3InX【解第4 4頁共 1919 頁2小B B y

6、 2x第5 5頁共 1919 頁C C.y24x【答案】B B【解析】【詳解】 過點A作AB x軸于點B,則Rt ABF中，AFB 60, AF2,所以點A的坐標為（x0, . 3），得X_21，解得p（問22px0所以所求拋物線的方程為y22x，故選 B.B.7 7 剪紙藝術是中國最古老的民間藝術之一，作為一種鏤空藝術，它能給人以視覺上的藝術享受.在如圖所示的圓形圖案中有 1212 個樹葉狀圖形（即圖中陰影部分），構成樹葉狀圖形的圓弧均相同若在圓內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）Ac 3恵廠，63廠336巧A A.2B B.4C C.D.D.- -nnnn【答案】B B【解析】 利

7、用扇形知識先求出陰影部分的面積，結合幾何概型求解方法可得概率【詳解】設圓的半徑為 r r,如圖所示，所以|BF| | AF | cos AFB2AF1, AB | AF sin AFB , 3,故選：A.A.第 5 5 頁共 1919 頁1212 片樹葉是由 2424 個相同的弓形組成，且弓形 AmBAmB 的面積為1212 .r r sin623【點睛】本題主要考查幾何概型的求解，側重考查數學建模的核心素養所求的概率卩=竺形24 - r2_Jr24故選：A.A.第 5 5 頁共 1919 頁8 8.已知函數f x Asin(A 0,0,n-)的部分圖象如圖所示，且2f (a x) f (a

8、x) 0,則a的最小值為(12nC C .3【答案】A An65 n12【解析】a【詳解】由題意T11,T4126,函數 f f (x)(x)在y軸右邊的第一個零點為一 一64512在y軸左邊第一個零點是6412- a 的最小值是一.1212A A .第8 8頁共 1919 頁【點睛】是其圖象對稱中心的橫坐標.9 9 我國古代數學著作九章算術中有如下問題：今有器中米，不知其數，前人取半， 中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升 （注：一斗為十升） 問，米幾何？ ”下圖是 解決該問題的程序框圖， 執行該程序框圖，若輸出的 S=15S=15（單位：升）,則輸入的 k k 的值 為（ ）【解析】

9、根據程序框圖中程序的功能，可以列方程計算.【詳解】123由題意S 15,S 60.23 4故選：B.B.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關鍵.2a c cosCr,1010 .在 ABCABC 中，角 A A , B B, C C 的對邊分別為 a a, b b , c c,若=,b b = 4 4,則b cosB ABCABC 的面積的最大值為（）A A . 4.4.3B B. 2 2、一3C C. 3 3、3D D , 3【答案】A A【解析】由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理可得ac 16，由三角形的本題考查三角函數的周期性，考查函數的對稱性函數f（X）Asin（ x

10、 ）的零點就A A 4545【答案】B BB B. 6060C C. 7575D D . 100100第9 9頁共 1919 頁3面積公式可得所求.【詳解】,2a ccosC在 ABCABC 中=-b cosB 2a c cosB bcosC,由正弦定理得2sinA sinC cosB sinBcosC,2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin B C sinA.又sinA 0,cosB1,2OB,- B -.3在厶 ABCABC 中，由余弦定理得2 2 2 2 2b 16 a c 2accosB a c ac- 2ac ac ac,- ac 16，當且僅當a c時等號成

11、立.ABC的面積S acsin B ac 4 3. .24故選：A A.【點睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理實現 邊化角”，二是利用余弦定理實現角化變；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值. .2 21111 .已知Fi、F2是雙曲線C:2yr 1 （a 0, b 0）的左、右焦點，若直線a2b2y、3x與雙曲線C在第一象限交于點P，過P向x軸作垂線，垂足為D，且D為OF?（O為坐標原點）的中點，則該雙曲線離心率為（）A A .、.2B B.3C C., 2 1D D

12、. 、3 1【答案】D D第1010頁共 1919 頁【解析】 由題意得，連接PF1, PF2，貝y POF2為等邊三角形，所以OP OF1OF2, ,則PF1F2為直角三角形，且PF2c,PFi, 3c,又因為PFiPF22a，所以J3c c 2a，所以eCJ3 1，故選 D.D.a點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質 一一離心率的求解，其中根據條件轉化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關鍵.求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種c方法：求出a,ca,c，代入公式e；只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，a轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于 e e 的方程（不等式），解方程（

13、不等式），即可得 e e（e e 的取值范圍）.2 21212 .已知函數 血人弋 2若|仏丿血打，則勺卜治的最大值為（）A A . v vC C .沁匯 1 1D D.上1 1【答案】C C【解析】根據 K K 陽在每一段上的單調性可知 o o 二勺，禾 u u 用換元的方式可將問題轉化為求解$t）二血-鳥左1）的最大值的問題，通過導數求解出k最大值即可 【詳解】設卜當 V V 時，血）= &,血；單調遞減，不存在y冷,使得血“二血丿當紋時，血口：的,單調遞增，不存在幻“叮，使得: 0 0 x x: :令馬=詐=1 1，亡 I I，則勺=一，x x 廣血-叫+込二Int-Int-設迄；二口-

14、卜：則令，解得：當時，：皿；當產忑-山時， C C：.|.|則在 1 1穆上單調遞增，在上單調遞減8 8）= =石二 3ln23ln22本題正確選項：【點睛】本題考查利用導數求解函數的最值問題，關鍵是能夠通過換元的方式構造出新的函數，需要注意的是換元后新的自變量的取值范圍第1111頁共 1919 頁、填空題1313.已知向量v，b的夾角為& ,且a 1,0,bJ2，則2a b _【答案】.10【解析】利用數量積定義求解出a b，利用2a b J 2V b2求解出結果 【詳解】V V v VL 近Q a b a b cos 1 J2 1 422a b2ab 44a 4a bb27442 410【

15、點睛】本題考查向量的模的求解問題，關鍵是能夠通過平方運算將問題轉化為模長和夾角的運算問題 1414 某中學教學處采用系統抽樣方法，從學校高三年級全體800800 名學生中抽 5050 名學生做學習狀況問卷調查現將 800800 名學生從 1 1 到 800800 進行編號，在 1 1 至 1616 號中隨機抽取一個數，如果抽到的是 6 6,則從 4141 至 5656 號中應取的數是 _.【答案】5454【解析】抽 5050 名學生，就把 800800 名學生平均分成 5050 組，求出每組人數，這就是編號的 間隔數.【詳解】800166 1622,221638,38 165450，故答案為：

16、54.54.【點睛】本題考查系統抽樣， 屬于基礎題.1515 .已知sin 45，則cos的值為653 6【答案】4331010【解析】根據角的范圍，先求出cos 的值，然后用角變換6求解 第1212頁共 1919 頁【詳解】由55+ ,3 66 2所以cos 1 sin236V 65coscos=cos cos+s in sin66 66 663.34 14525 210故答案為4 43 3、3 31010【點睛】本題考查同角三角函數的關系和利用角變換求解三角函數值，屬于中檔題1616 .已知三棱錐P ABC中，PA底面ABC,AC 4，BC 3，AB 5，PAPA 3 3，則該三棱錐的內切

17、球的體積為 _.32【答案】一81【解析】 設三棱錐P ABC的內切球的半徑為r,由題意得，PA底面ABC，且AC 4, BC 3,AB 5,PA 3,則AC2BC2AB2，所以底面ABC為直角三角形,三棱錐P ABC的表面積為S14 3丄41 135 35 327,222 21 1且三棱錐的體積為V1 1433 6,3 2由表面積與內切球半徑的乘積等于三棱錐的體積, 即Sr 27r6，解得2 r 943所以內切球的體積為y r34(2)33233981點睛：本題考查了有關球的組合體問題，以及利用幾何體的體積分割求解內切球的半徑，解答時要認真審題，注意球的性質的合理運用，求解球的組合體問題常用

18、方法有（1 1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2 2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑；（3 3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心第1313頁共 1919 頁三、解答題1717 某中學為了解中學生的課外閱讀時間，決定在該中學的12001200 名男生和 800800 名女生中按分層抽樣的方法抽取 2020 名學生，對他們的課外閱讀時間進行問卷調查現在按課 外閱讀時間的情況將學生分成三類：A類（不

19、參加課外閱讀），B類（參加課外閱讀，但平均每周參加課外閱讀的時間不超過3 3 小時），C類（參加課外閱讀，且平均每周參加課外閱讀的時間超過 3 3 小時）.調查結果如下表：A類B類C類男生X5 53 3女生y3 33 3（1 1）求出表中x,y的值；（2 2） 根據表中的統計數據，完成下面的列聯表，并判斷是否有90%90%的把握認為 參加課外閱讀與否”與性別有關;男生女生總計不參加課外閱讀參加課外閱讀總計X X00.4550.4550.7080.7081.3231.3232.0722.0722.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910

20、.82810.828【答案】（1 1）X 4,y 2； （2 2）見解析，沒有 90%90%的把握認為 參加閱讀與否”與性別有關【解析】（1 1）分層抽樣是按樣本容量的比例確定的，因此由男生知抽取樣本中男生有 1212 人，女生有 8 8 人，由此可得x,y；（2 2）由（1 1）可得列聯表，根據公式計算出K2后可得結論.1200212002，女生 800800 人第1414頁共 1919 頁【詳解】第1515頁共 1919 頁(2(2)列聯表如下:男生女生總計不參加課外閱讀4 42 26 6參加課外閱讀8 86 61414總計12128 820202K2的觀測值k20(4 6 2 8)0.1

21、59 2.706，12 8 14 663所以沒有 90%90%的把握認為參加閱讀與否”與性別有關【點睛】本題考查分層抽樣，考查獨立性檢驗掌握分層抽樣和獨立性檢驗的概念是解題基礎.1818已知等差數列an的前n項和為Sn,公差d 0,印2，且印，a?,成等比數列(1 1)求數列an的通項公式及前n項和Sn；1-，求數列bn的前n項和Tn. .a?n 12【解析】(1 1)根據等比中項得a2越印，再將等差數列通項公式代入求得公差，利用 等差數列通項公式與前n項和公式，可求得答案；1 1 1(2 2)由(1 1 )得bn1 +丄，再利用裂項相消法和等比數列前n項和公式，即可n n 12n求得答案.

22、.【詳解】2 2(1)Qana2,a4成等比數列，a?a1a4,Q厲2,(2 d) 2(2 3d)，解得d 2解(1 1)設抽取的 2020 人中，男，女生人數分別為m,n2，則n-i20 120020 800 n22000所以x 12 5200012,Sn【答案】(1 1)an2n,Snn(n 1); (2 2)Tn2第1616頁共 1919 頁0 0 ( (舍去) ),【點睛】（1）求證：平面PAB平面PAC;（2）E,F分別是棱PB,BC的中點，G為棱PC上的點，求三棱錐A EFG的體積 【答案】（1 1）詳見解析；（2 2）. .12【解析】（1 1）利用余弦定理求出PA，根據勾股定理

23、可得AC PA，利用線面垂直的判定定理可證得AC平面PAB，根據面面垂直的判定定理可得結論； （2 2）根據平行關系可知SEFG從而可求解出VcSPBC,貝U可得VA EFG4PAB,從而求得結果 VA4PBC,利用體積橋得VA PBCVC PAB,【詳解】（1 1）證明：在PAB中，由余弦定理得：PA2PB2AB22PB ABcosPBA解得：PA ,5AC2PA2PC2ACPAan(n 1) 2 2n,S.n(22n)n(n 1)(2)由（1 11)得S-=-I-1)1a2mbn1+,2nTn(11)(11) L2231 1 -(1n)2 _2_1211 +1n 11-=22n本題考查等比

24、中項性質、等比數列前n項和、裂項相消求和、等差數列通項公式，考查邏輯推1919. .如圖，在三棱錐P ABC中,PB AC,AB AC 1,PB 2 2，PC 6,PBA 45. .第1717頁共 1919 頁又AC PB,PAI PB PAC平面PAB第1818頁共 1919 頁本題考查立體幾何中面面垂直關系的證明、三棱錐體積的求解問題 體積求解的關鍵是能夠根據平行關系得到錐體體積之間的比例關系,為易求的三棱錐體積的求解問題 122020 .已知函數f(x) a In x x (a R). .2(1 1)若函數 f(x)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為4x 2y 30，求實數a的值;

25、(2 2)當a 0時，證明函數g(x) f(x) (a 1)x恰有一個零點 【答案】(1)a(1)a1 1 ； (2)(2)證明見解析 a【解析】試題分析：(1 1)求得f(x) x，得到f(1) a 1 2，即求解a的值；x(2 2)由題意得g(x)的解析式，求得g(x)(x a)(x，分o a 1, a a 1 1,a 1x三種分類討論，即可得到實數a的值 試題解析：a(1 1)f xX. .x由切線的斜率為2得f1 a 12. .a(2 2)1. .g xal nx12xa21 x,x0,ax a x 1- gxxa 1xx1 1 當0a 1時，由g x0得0 x a或x 1,g x0得

26、a x 1g x在0, a上遞增，在a,1上遞減，在1,上遞增 又AC平面PAC平面PAB平面PAC(2 2)Q SPAB-PB ABsinPBA1-2,2 sin 45o121 12VC PAB1 1SPABAC1333Q E, F分別是棱PB,BC的中點EF /PCSEFGVA EFG4VAPBCVC PAB14412PBC 解決本題中三棱從而可將問題轉化【點第1919頁共 1919 頁又g aalna -a22a 1 a a lna1 a210,g 2a2 aln 2a2 0,當0 a 1時函數gx恰有一個零點 2 2 當a1時，g x0恒成立，gx在0,上遞增. .又g 112 0,g

27、 4 ln4 0,所以當a 1時函數gx恰有一個零點 3 3 當a1時，由g x0得0 x1或x a,g x0得1x a,g x在0,1上遞增，在1, a上遞減，在a,上遞增又g 1a102，g 2a2 aln 2a2 0,當a1時函數g x恰有一個零點 綜上，當a 0時，函數g x f x a 1 x恰有一個零點. .點睛：本題主要考查導數、函數的性質，考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算 能力 導數是研究函數的單調性、極值 （最值）最有效的工具，而函數是高中數學中重要的 知識點，在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，對導數的應用的考查主要從 以下幾個角度進行：（1 1）考查導數的

28、幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系；（2 2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數；（3 3）利用導數求函數的最值（極值），解決生活中的優化問題；（4 4）考查數形結合思想的應用 2121.已知動點 P P 是厶 PMNPMN 的頂點，M M （- 2 2, 0 0）, N N （ 2 2, 0 0）,直線 PMPM , PNPN 的斜率之3積為_ .4（1 1）求點 P P 的軌跡 E E 的方程；（2 2） 設四邊形 ABCDABCD 的頂點都在曲線 E E 上，且 ABAB / CDCD，直線 ABAB , CDCD 分別過點（-1 1 , 0 0）, （1 1,

29、 0 0）,求四邊形 ABCDABCD 的面積為242時，直線 ABAB 的方程.7第2020頁共 1919 頁2 2【答案】(1 1)二乙1(X XM); (2 2) x x+1+1 = 0 0.43【解析】(1 1)設點 P(xP(x, y)y),直接把已知條件用坐標表示并化簡即可；(2 2)設直線 ABAB 的方程為 x x= mymy- 1 1, A(xA(xi, y yi) ), B(xB(x2, y y2) )，由直線與橢圓相交弦長公 式(應用韋達定理計算)求出弦長，交求出原點到直線AB距離，表示出OAB面積,由對稱性知四邊形 ABCDABCD 的面積是OAB面積的 4 4 倍，從

30、而可以求出m.【詳解】解：(1 1)設點 P(xP(x, y)y),3直線 PMPM 與 PNPN 的斜率之積為-,42即 L L =丄x 2 x 2 x242 2化簡得匚y_432 2動點 P P 的軌跡 E E 的方程為乞43(2(2)設直線 ABAB 的方程為 x x= mymy - 1 1, A(XA(X1, y y1) ), B(xB(x2, y y2) ),x my 12x_4得(3m(3m2+4)y+4)y2- 6my6my- 9 9 = 0 0,1(XM),1(XM土 ；) )6my1+y2=3m廠，y1y293m2412.1 m23m24 |AB|AB|=-.1 m2y1y2

31、12 1 m23m24 又原點 O O 到直線 ABAB 的距離Q 112 1 m21SAABO=X-22 3m241 m6 1 m23 m24由圖形的對稱性可知，SABCD=4SAABO,|y|y1- y y2| |=2y24y2第2121頁共 1919 頁化簡得 18m18m4- m m2- 1717= 0 0,解得 m m2= 1 1，即 m m= ,直線 ABAB 的方程為 x x=y-1, 即卩 x xy+1y+1 = 0 0.【點睛】本題考查直接法求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題的面積問題.解題時采取設而不求思想方法，即設直線方程，設交點坐標，直線方程與橢圓方程聯立消元用韋達定 理計算弦長.為極點, ,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求G,C2的極坐標方程;1以MN邁，進而求得面積為 一. .2試題解析：C2的極坐標方程為22cos4 sin40(2 2)將一代入22 cos4 sin404得23伍40得12逅2丘,所以MN因為C2的半徑為 1 1,則C2MN的面為丄1sin 45122