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文檔簡介

1、第十五章 傅里葉級數1 三角級數與傅里葉級數1證明(1) ， ，是上的正交系；(2) ， ，是上的正交系；(3) 1，是上的正交系； (4) 1， ，不是上的正交系；2求下列周期為的函數的傅里葉級數： (1) 三角多項式； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) .3設以為周期，在絕對可積，證明： (1) 如果函數在滿足，則；(2) 如果函數在滿足，則.2 傅里葉級數的收斂性1將下列函數展成傅里葉級數，并討論收斂性： (1) ； (2) ；2由展開式， (1) 用逐項積分法求，在中的傅里葉展開式； (2) 求級數，的和.3 (1

2、) 在 內，求的傅里葉展開式； (2) 求級數的和.4設在上逐段可微，且. ，為的傅里葉系數，是的導函數的傅里葉系數，證明：， .5證明：若三角級數中的系數，滿足關系，M為常數，則上述三角級數收斂，且其和函數具有連續的導函數.6設，求證：.7設以為周期，在上單調遞減，且有界，求證：.8設以為周期，在上導數單調上升有界. 求證：.9證明：若在點滿足階的利普希茨條件，則在點連續. 給出一個表明這論斷的逆命題不成立的例子.10設是以為周期的函數，在絕對可積，又設是的傅里葉級數的前n項部分和，則 ，其中是狄利克雷核.11設是以為周期，在連續，它的傅里葉級數在點收斂. 求證：.12設是以為周期、連續，其

3、傅里葉系數全為0，則.13設是以為周期，在絕對可積. 又設滿足存在. 證明. 進一步，若在點連續，則，其中.3 任意區間上的傅里葉級數1將下列函數在指定區間上展開為傅里葉級數，并討論其收斂性：(1) 在區間展開(2) ；(3) ； (4) 2求下列周期函數的傅里葉級數： (1) ； (2) .3把下列函數在指定區間上展開為余弦級數： (1) ； (2) 4把下列函數在指定區間上展開為正弦級數： (1) (2) .5把函數在上展開成余弦級數，并推出.6將函數分別作奇延拓和偶延拓后，求函數的傅里葉級數，其中7應當如何把給定在區間的可積函數延拓到區間內，使得它在中對應的傅里葉級數為： (1) ；(2)

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