1、第七節正弦定理和余弦定理知識能否憶起1正弦定理分類內容定理2R(R是ABC外接圓的半徑)變形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin Asin Bsin Cabc，sin A，sin B，sin C解決的問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角2余弦定理分類內容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C變形公式cos A；cos B；cos C解決的問題已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角3三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高

2、)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r為三角形的內切圓半徑)小題能否全取1(2012·廣東高考)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，則AC()A4B2C. D.解析：選B由正弦定理得：，即，所以AC×2.2在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30° B45°C60° D75°解析：選Ccos A，又0°<A<180°，A60°.3(教材習題改編)在ABC中，若a18，b24，A45°，則此三角形有()A無解 B

3、兩解C一解 D解的個數不確定解析：選B，sin Bsin Asin 45°，sin B.又a<b，B有兩個4(2012·陜西高考)在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若a2，B，c2，則b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos B4122×2×2×4，所以b2.答案：25ABC中，B120°，AC7，AB5，則ABC的面積為_解析：設BCx，由余弦定理得4925x210xcos 120°，整理得x25x240，即x3.因此SABCAB×BC×sin B×3×

4、;5×.答案：(1)在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B.(2)在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin A<a<baba>b解的個數一解兩解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典題導入例1(2012·浙江高考)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值自主解答(1)由bsin Aacos

5、B及正弦定理，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.在本例(2)的條件下，試求角A的大小解：，sin A.A.由題悟法1應熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷2已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷以題試法1ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2

6、Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A sin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin B sin A，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B>0，故cos B，所以B45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀典題導入例2在ABC中a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀自主解答(1

7、)由已知，根據正弦定理得2a2(2bc)·b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，0<A<180°，A120°.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0°<B<60°，0°<C<60°，故BC，ABC是等腰的鈍角三角形由題悟法依據已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得

8、出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結論注意在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解以題試法2(2012·安徽名校模擬)已知ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m(4，1)，n，且m·n.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，試判斷ABC的形狀解：(1)m(4，1)，n，m·n4cos2cos 2A4·(2cos2A1)2cos2A2cos A3.

9、又m·n，2cos2A2cos A3，解得cos A.0<A<，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bc·b2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b ，于是abc ，即ABC為等邊三角形與三角形面積有關的問題典題導入例3(2012·新課標全國卷)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.自主解答(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsi

10、n C0.因為BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.由題悟法1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解題時要根據具體題目合理選用，有時還需要交替使用2在解決三角形問題中，面積公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因為公式中既有邊也有角，容易和正弦定理、余弦定理結合應用以題試法3(2012·江西重點中學聯考)在ABC中，cos 2Acos2Acos A.(1)求角A的大小；(2)若a3，sin B2si

11、n C，求SABC.解：(1)由已知得(2cos2A1)cos2Acos A，則cos A.因為0<A<，所以A.(2)由，可得2，即b2c.所以cos A，解得c，b2，所以SABCbcsin A×2××.1在ABC中，a、b分別是角A、B所對的邊，條件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Ca<bA<Bcos A>cos B.2(2012·泉州模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊若A，b1，ABC的面積為，

12、則a的值為()A1 B2C. D.解析：選D由已知得bcsin A×1×c×sin，解得c2，則由余弦定理可得a2412×2×1×cos3a.3(2013·“江南十校”聯考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2，c2，1，則C()A30° B45°C45°或135° D60°解析：選B由1和正弦定理得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，所以cos A，則A60°.由正弦定理得，則s

13、in C，又c<a，則C<60°，故C45°.4(2012·陜西高考)在ABC中 ，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2b22c2，則cos C的最小值為()A. B.C. D解析：選C由余弦定理得a2b2c22abcos C，又c2(a2b2)，得2abcos C(a2b2)，即cos C.5(2012·上海高考)在ABC中，若sin2 Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不能確定解析：選C由正弦定理得a2b2<c2，所以cos C<0，所以C是鈍角，故ABC是

14、鈍角三角形6在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若b2asin B，則角A的大小為_解析：由正弦定理得sin B2sin Asin B，sin B0，sin A，A30°或A150°.答案：30°或150°7在ABC中，若a3，b，A，則C的大小為_解析：由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.答案：8(2012·北京西城期末)在ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b2，B，sin C，則c_；a_.解析：根據正弦定理得，則c2，再由余弦定理得b2a2c22accos B，即a24a120，(a2

15、)(a6)0，解得a6或a2(舍去)答案：269(2012·北京高考)在ABC中，若a2，bc7，cos B，則b_.解析：根據余弦定理代入b24(7b)22×2×(7b)×，解得b4.答案：410ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75°，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45°.(2)sin Asin(30°45°)sin 30°cos

16、45°cos 30°sin 45°.故ab×1，cb×2×.11(2013·北京朝陽統考)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足a2bsin A0.(1)求角B的大小；(2)若ac5，且a>c，b，求·的值解：(1)因為a2bsin A0，所以 sin A2sin Bsin A0，因為sin A0，所以sin B.又B為銳角，所以B.(2)由(1)可知，B.因為b .根據余弦定理，得7a2c22accos，整理，得(ac)23ac7.由已知ac5，得ac6.又a>c，故a3

17、，c2.于是cos A，所以·|·|cos Acbcos A2××1.12(2012·山東高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求證：a，b，c成等比數列；(2)若a1，c2，求ABC的面積S.解：(1)證明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B·，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(A

18、C)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比數列(2)因為a1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因為0<B<，所以sin B，故ABC的面積Sacsin B×1×2×.1(2012·湖北高考)設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續的三個正整數，且A>B>C，3b20acos A，則sin Asin Bsin C為()A432 B567C543 D654解析：選D由題意可得a>b>c，且為連續正整數，設cn，bn1，an2(n>1，且

19、nN*)，則由余弦定理可得3(n1)20(n2)·，化簡得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin Asin Bsin Cabc654.2(2012·長春調研)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sin2cos 2C，且ab5，c，則ABC的面積為_解析：因為4sin2cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根據余弦定理有cos C，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以ABC的面積SABCabsin C×6&#

20、215;.答案：3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2bc)cos Aacos C0.(1)求角A的大小；(2)若a，SABC，試判斷ABC的形狀，并說明理由解：(1)法一：由(2bc)cos Aacos C0及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin(AC)0，sin B(2cos A1)0.0<B<，sin B0，cos A.0<A<，A.法二：由(2bc)cos Aacos C0，及余弦定理，得(2bc)·a·0，整理，得b2c2a2bc，cos A，0<A<，A.(2)SABCbcsin A，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos A，a，A，b2c26，由得bc，ABC為等邊三角形1已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C所對的邊若a1，b，AC2B，則sin C_.解析：在ABC中，AC2B，B60°.又sin A，A30°或150°(舍)，C90°，sin C1.答案：12在ABC中，a2bco