1、第七節(jié)正弦定理和余弦定理知識(shí)能否憶起1正弦定理分類內(nèi)容定理2R(R是ABC外接圓的半徑)變形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin Asin Bsin Cabc，sin A，sin B，sin C解決的問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角2余弦定理分類內(nèi)容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C變形公式cos A；cos B；cos C解決的問題已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角3三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高

2、)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)小題能否全取1(2012·廣東高考)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，則AC()A4B2C. D.解析：選B由正弦定理得：，即，所以AC×2.2在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30° B45°C60° D75°解析：選Ccos A，又0°<A<180°，A60°.3(教材習(xí)題改編)在ABC中，若a18，b24，A45°，則此三角形有()A無解 B

3、兩解C一解 D解的個(gè)數(shù)不確定解析：選B，sin Bsin Asin 45°，sin B.又a<b，B有兩個(gè)4(2012·陜西高考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c.若a2，B，c2，則b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos B4122×2×2×4，所以b2.答案：25ABC中，B120°，AC7，AB5，則ABC的面積為_解析：設(shè)BCx，由余弦定理得4925x210xcos 120°，整理得x25x240，即x3.因此SABCAB×BC×sin B×3×

4、;5×.答案：(1)在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B.(2)在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典題導(dǎo)入例1(2012·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值自主解答(1)由bsin Aacos

5、B及正弦定理，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.在本例(2)的條件下，試求角A的大小解：，sin A.A.由題悟法1應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷2已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷以題試法1ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2

6、Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A sin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin B sin A，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B>0，故cos B，所以B45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀典題導(dǎo)入例2在ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀自主解答(1

7、)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)·b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，0<A<180°，A120°.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0°<B<60°，0°<C<60°，故BC，ABC是等腰的鈍角三角形由題悟法依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得

8、出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論注意在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解以題試法2(2012·安徽名校模擬)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m(4，1)，n，且m·n.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，試判斷ABC的形狀解：(1)m(4，1)，n，m·n4cos2cos 2A4·(2cos2A1)2cos2A2cos A3.

9、又m·n，2cos2A2cos A3，解得cos A.0<A<，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bc·b2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b ，于是abc ，即ABC為等邊三角形與三角形面積有關(guān)的問題典題導(dǎo)入例3(2012·新課標(biāo)全國卷)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.自主解答(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsi

10、n C0.因?yàn)锽AC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.由題悟法1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用，有時(shí)還需要交替使用2在解決三角形問題中，面積公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呉灿薪牵菀缀驼叶ɡ怼⒂嘞叶ɡ斫Y(jié)合應(yīng)用以題試法3(2012·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在ABC中，cos 2Acos2Acos A.(1)求角A的大小；(2)若a3，sin B2si

11、n C，求SABC.解：(1)由已知得(2cos2A1)cos2Acos A，則cos A.因?yàn)?<A<，所以A.(2)由，可得2，即b2c.所以cos A，解得c，b2，所以SABCbcsin A×2××.1在ABC中，a、b分別是角A、B所對(duì)的邊，條件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Ca<bA<Bcos A>cos B.2(2012·泉州模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊若A，b1，ABC的面積為，

12、則a的值為()A1 B2C. D.解析：選D由已知得bcsin A×1×c×sin，解得c2，則由余弦定理可得a2412×2×1×cos3a.3(2013·“江南十校”聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2，c2，1，則C()A30° B45°C45°或135° D60°解析：選B由1和正弦定理得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，所以cos A，則A60°.由正弦定理得，則s

13、in C，又c<a，則C<60°，故C45°.4(2012·陜西高考)在ABC中 ，角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，若a2b22c2，則cos C的最小值為()A. B.C. D解析：選C由余弦定理得a2b2c22abcos C，又c2(a2b2)，得2abcos C(a2b2)，即cos C.5(2012·上海高考)在ABC中，若sin2 Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不能確定解析：選C由正弦定理得a2b2<c2，所以cos C<0，所以C是鈍角，故ABC是

14、鈍角三角形6在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.若b2asin B，則角A的大小為_解析：由正弦定理得sin B2sin Asin B，sin B0，sin A，A30°或A150°.答案：30°或150°7在ABC中，若a3，b，A，則C的大小為_解析：由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.答案：8(2012·北京西城期末)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b2，B，sin C，則c_；a_.解析：根據(jù)正弦定理得，則c2，再由余弦定理得b2a2c22accos B，即a24a120，(a2

15、)(a6)0，解得a6或a2(舍去)答案：269(2012·北京高考)在ABC中，若a2，bc7，cos B，則b_.解析：根據(jù)余弦定理代入b24(7b)22×2×(7b)×，解得b4.答案：410ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75°，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45°.(2)sin Asin(30°45°)sin 30°cos

16、45°cos 30°sin 45°.故ab×1，cb×2×.11(2013·北京朝陽統(tǒng)考)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足a2bsin A0.(1)求角B的大小；(2)若ac5，且a>c，b，求·的值解：(1)因?yàn)閍2bsin A0，所以 sin A2sin Bsin A0，因?yàn)閟in A0，所以sin B.又B為銳角，所以B.(2)由(1)可知，B.因?yàn)閎 .根據(jù)余弦定理，得7a2c22accos，整理，得(ac)23ac7.由已知ac5，得ac6.又a>c，故a3

17、，c2.于是cos A，所以·|·|cos Acbcos A2××1.12(2012·山東高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若a1，c2，求ABC的面積S.解：(1)證明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B·，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(A

18、C)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比數(shù)列(2)因?yàn)閍1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因?yàn)?<B<，所以sin B，故ABC的面積Sacsin B×1×2×.1(2012·湖北高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C，3b20acos A，則sin Asin Bsin C為()A432 B567C543 D654解析：選D由題意可得a>b>c，且為連續(xù)正整數(shù)，設(shè)cn，bn1，an2(n>1，且

19、nN*)，則由余弦定理可得3(n1)20(n2)·，化簡得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin Asin Bsin Cabc654.2(2012·長春調(diào)研)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4sin2cos 2C，且ab5，c，則ABC的面積為_解析：因?yàn)?sin2cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根據(jù)余弦定理有cos C，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以ABC的面積SABCabsin C×6&#

20、215;.答案：3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(2bc)cos Aacos C0.(1)求角A的大小；(2)若a，SABC，試判斷ABC的形狀，并說明理由解：(1)法一：由(2bc)cos Aacos C0及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin(AC)0，sin B(2cos A1)0.0<B<，sin B0，cos A.0<A<，A.法二：由(2bc)cos Aacos C0，及余弦定理，得(2bc)·a·0，整理，得b2c2a2bc，cos A，0<A<，A.(2)SABCbcsin A，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos A，a，A，b2c26，由得bc，ABC為等邊三角形1已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊若a1，b，AC2B，則sin C_.解析：在ABC中，AC2B，B60°.又sin A，A30°或150°(舍)，C90°，sin C1.答案：12在ABC中，a2bco