1、雙拋物線勢場中的隧道效應王 鑫(陜西理工學院 物理系2007級物理學3 班 ，陜西 漢中 723000)指導老師：王劍華摘要量子力學中的隧道效應是一種重要的物理現象，有著非常廣泛的應用. 本文從薜定諤方程出發,討論了求解雙拋物線勢場中的隧道效應，給出了相應的透射系數和反射系數，并對其進行討論，研究其應用。關鍵詞 薜定諤方程與遂道效應；雙拋物線勢場中粒子的透射系數；雙拋物線勢場中粒子的透射系數；隧道效應及其應用引言在量子力學發展初期，德布羅意根據光的波粒二象性，提出了物質波假說，即認為微觀粒子（電子、質子、中子等）也具有波動性。由于微觀粒子具有波動性因而它在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘，這種

2、現象稱為隧道效應，隧道效應完全是由于微觀粒子具有波動的性質而來的。1957年，江崎制成了隧道二極管，第一次令人信服地證實了固體中的電子隧道效應的存在。1960年賈埃弗利用隧道效應測量了超導能隙，驗證了超導理論。1982年德國的賓尼等研制成功第一臺掃描隧道顯微鏡，把隧道效應的應用推向一個新的階段。近幾年來，人們十分關注分子和半導體量子阱中雙勢的隧道效應問題研究4-8，氨分子作為一個典型的三角錐形模型，早在1927年Hund就提出量子隧道效應會對三角錐形分子的內部結構有很大的調整作用1。適當選擇外部條件便可在不同程度上控制分子結構的穩定性。近幾年來在介觀尺度的隧道效應和光子隧道效應方面的研究日益成

3、為熱點1-9，如在超導技術及納米技術方面的應用發展較為明顯3。本文就雙拋物線的隧道效應問題求解并進行討論2-3。1 薛定諤方程與隧道效應在量子力學中，微觀體系的運動狀態是用一個波函數來描寫的，反映微觀粒子運動規律的微分方程是對時間的一階微分方程，即: (1.1)我們稱它為薛定諤方程（Schrödinger equation)，式中是表征力場的函數。 如果作用在粒子上的力場是不隨時間改變的，即力場是以勢能表征的，它不顯含時間，這時定態波函數所滿足的方程為: (1.3)稱為定態薛定諤方程（Schrödinger equation of stationary state)，其中表

4、示微觀粒子處于這個波函數所描寫的狀態時的能量，且其能量具有確定值。 設一個粒子，沿x軸正方向運動，其勢能為: （2.1）這種勢能分布稱為一維勢壘。 如圖2.1所示，故稱方勢壘。雖然方勢壘只是一種理想的情況，但卻是計算一維運動粒子被任意場散射的基礎。粒子在區域內，若其能量小于勢壘高度，經典物理來看是不能超越勢壘達到的區域。在量子力學中，情況則不一樣。為了討論方便，我們把整個區域分為三個區域：，U(x)U0E()()（）a0x 圖2.1 一維方型勢壘為了方便起見，將整個空間劃分為三個區域、區，則其定態薛定諤方程為 (2.2) 當時，透射系數，反射系數為（2.4）（2.3） 當時，只需令即可，透射系

5、數 (2.5)反射系數為 (2.6)如果粒子能量比勢壘高度小得多，即，同時勢壘的寬度不太大，以致，則 ，此時 ，于是 (2.7)為恒大于1的數值，當時 (2.8)當的時候，按照經典力學觀點，在情況下，粒子應暢通無阻的全部通過勢壘，而不會在勢壘上發生反射。而在微觀粒子的情形，則會發生發射。當的時候，從解薛定諤方程的結果來看，在勢壘內部存在波函數。即在勢壘內部找出粒子的概率不為零，同時在區域也存在波函數，所以粒子還可能穿過勢壘進入區域。 粒子在總能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象稱為遂道效應。 其中 它的數量級接近于1，所以透射系數隨勢壘的加寬或加高而減小。 由上面的結果我們可以看到，微觀粒子

6、被勢壘散射有與宏觀粒子完全不同的效應。當一個宏觀粒子的能量大于勢壘高度時，此粒子將通過區域（）而進入區域（）。但是對于一個能量的微觀粒子，不但有穿過勢壘的可能，而且還有被反射的可能。如果一個宏觀粒子的能量，則當此粒子在區域（）內由左向右運動到達勢壘邊界時將被反射，所以粒子不可能穿過區域（）而進入區域（）。但是對于一個的微觀粒子卻不然，它既有被反射的可能，也有穿透勢壘而進入區域（）的可能，這種貫穿勢壘的效應稱為隧道效應。 2 雙拋物線勢場中粒子的波函數下面計算 ABC DEF a b 0 c d （4.1） 各個區域的薛定諤方程為 (4.2) 其中 令 如上圖所示，假設粒子以一定的能量E從左入射

7、，碰到勢壘V（x），設V（x）變化比較緩慢，而且入射粒子能量E不太靠近V（x）的峰值，此時可以用W.K.B.法來處理粒子穿透勢壘的現象。按照經典力學，粒子在x=a處被碰回，但按照量子力學，考慮到粒子的波動性，粒子有一定的幾率穿透勢壘。當然，在許多情況下，這種幾率是很小的。現在我們就來計算雙勢壘穿透幾率T的大小。在A區遠離a處,由(3.6)式得波函數是, (4.3)在C區遠離b處,由(3.6)式得波函數是 , (4.4)而根據連接關系(3.8),(3.9),則在區域B中的W.K.B.近似解應為 .(4.5)其中, .利用a處的連接公式(3.10),(3.11)在區域A中的W.K.B.近似解(4.

8、3)應為 = + , (4.6)同理,在D區域的波函數為 , (4.7)在F區域,遠離d處,由于只有投射波,沒有反射波,所以,W.K.B近似解為 = , (4.8)由(3.8),(3.9) 則在區域E中的W.K.B.近似解應為. (4.9)其中, , . (4.10)利用波函數及其微商在x=0處的連續性得方程組并解之得 (4.11) (4.12)其中3 雙拋物線勢場中粒子的透射系數 下面計算粒子在雙拋物線勢場中的透射系數。 (4.13)反射系數 (4.14)于是，有R+T=1該式表示粒子透射概率與被反射概率之和等于1，是應該得到的合理結果.對于一維勢壘散射問題，反射系數與透射系數之和等于1，這

9、一結論具有普適性。當 =0時,即=0 那麼 ,.由此可以看出,一組緊排的雙拋物線勢壘對微觀粒子的散射不能看作各拋物線勢壘獨立散射的簡單組合，它們在各自左右界面上的反射是相干的.4 原子鐘 原子鐘的頻率標準就是利用氨分子（）基態勢壘貫穿的震蕩頻率。氨分子（）是一個棱錐體，原子在其頂點上，三個原子在基底。如圖所示：如果在處，則由于隧道效應，可以穿過勢壘而出現在點，當運動能量小于勢壘高度如圖中能級所示，則原子的運動由兩種形式組成。1. 之間或之間的震蕩（諧振子）；2 這兩個區域之間通過勢壘的緩慢得多的震蕩運動。對于基態，第二種震蕩頻率為。這就是原子鐘在規定時間標準時所利用的氨分子的勢壘貫穿運動。5

10、結論拋物線模型在物理、化學和分子生物學領域有著廣泛的應用,例如在結構化學教科書中用拋物線模型來討論分子的成鍵 ，拋物線模型在隧道效應中有著重要的意義. 本文就雙拋物線的隧道效應問題進行了討論.并且證明了一組緊排的雙拋物線勢壘對微觀粒子的散射不能看作各拋物線勢壘獨立散射的簡單組合，它們在各自左右界面上的反射是相干的.參考文獻 1 Lin W.A. and Ballentine L.E Quantum tunneling and regular and irregular quantuam dgnamics of driven double-well oscillatorJ. Phys.Rev.A

11、,1992,45(1);36-37.2Jose M.Gomez Llorente and Jesus Plate.Tunneling control in two-level systemJ.Phy.Rev.A,1992,45(1);58-69.3 LI Meng-chao,FU xing, WEI xiao-lei,HU Xiao-tang.vibration Compensation for Scanning Tunneling MicroscopeJ.Semiconductor Photonics and Technology,2003,9(4):230-233.4 朱濤,劉克家.一維對

12、稱雙勢阱的精確求解J.貴州工業大學學報,2003,32(2):56-59.5 鄭碧華，熊正燁.偏壓在隧道效應中的作用J.大學物理，2005，24（7）：16-18.6 齊吉泰.半導體器件中的量子隧道效應J.高師理科學刊， 2002，22（2）：23-26.7 李存志，林曉春.隧穿問題的Numerov算法J.西安電子科技大學學報，2005，32（1）:12-15.8 王曉秋，穆琳琳.光子隧道效應與電子隧道效應的比較研究J.大連大學學報，2003，24（6）：12-15.9 曾謹言. 量子力學（上）M.北京：科學出版社. 1984, 387-415.10 程檀生. 現代量子力學教程M.北京; 北京

13、大學出版社.2006,307-315.11 嵇英華，饒建平，雷敏生.介觀LC電路中的量子隧道效應J.物理學報，2002，51（2）：395-398.The Tunneling Effect within The Two Thing Line Power FieldLuxin (Grade 04,Class2,Major physics，physics Dept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi)Tutor: Wang JianhuaAbstract: In the quantum mechanics tunnel

14、 effect is one important physical phenomenon, has the extremely widespread application This article first introduced Schrödinger equation, discussed in the square shape potential barrier tunnel effect, and square shape potential barrier in the tunnel effect has carried on the promotion, obtains in the arbitrary shape potential field the tunnel effect, finally discussed in the parabola potential field tunnel effect It can precise manifest the crystal neu