廣西桂林陽朔中學2020屆高考仿真卷數學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.在A48C中，角A8,C的對邊分別為。，b,c.若A4BC為銳角三角形，且滿足

sinB（14-2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2ac.A=2BD.5=2A

2

2,若函數/（x）==（x>l）有最大值-4,則a的值是

A.1B.-1C.4D.一4

3.已知雙曲線C：1一方=1（。>00>0）的焦距為2,，焦點到雙曲線。的漸近線的距離為乎c,則

雙曲線的漸近線方程為（）

A,y=±y[3xBy=±V^xQy=±xDy=+2x

4.在一組樣本數據（玉，x）,（心％），…，（當,"）（〃-2,再，天不全相等）的散點圖中，若所

有樣本點a，yj（i=l,2,,〃）都在直線y=-3?上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（）

A.-3B.0C.-1D.1

5.已知函數/（x）=sin（2cyx+°）（切>0,9>0）的最小正周期為兀，且則。的最小值

為（）

7171

A.4B.2C.兀D.2兀

6.設是兩條不同的直線,a,￡是兩個不同的平面,aua/工力,則是“。，"，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

7.已知S“是等差數列｛4｝的前〃項和，若q+%+%=4,￡=10,則%=（）

1416207

A.9B.9C.9D.3

8.已知等邊三角形ABC中，。是線段AC的中點，DE±AB,垂足為瓦尸是線段6。的中點，則力后

()

3535

A.--BD+-FCB.-BD--FC

8484

1313

-BD--FC--BD+-FC

84D.84

9.已知的二項展開式的各項系數和為32,則二項展開式中工的系數為（）

A.5B.10C.20D.40

14v

10.若兩個正實數、，）‘滿足一+—=1,且不等式x+4<m2-3m有解，則實數機的取值范圍（）

xy4

A.(-1,4)B.(—l)u(4,

c.(~4，1)D.(f°)D(3,+8)

11.設函數〃x）=，若〃1）是的最小值,則實數。的取值范圍為（)

X+1,X>1

A.[T2）B.[T。]C.口，2/口收）

2y-x<4

12.若直線y=k（x+l）與不等式組<3x-y?3表示的平面區域有公共點，則實數k的取值范圍是（）

2x+y>2

A.S]B.I。？c.[々I]D.（-2,2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/（X）=F+1,

13.函數1-3%,尤若/=則*=

14.已知集合4={一1，1，2,4},8={-1,0,2},則4B=.

1（4>0,。>0）

左支上一點，鳥是雙曲線的右焦點，且雙曲線的一條

15.已知點尸是雙曲線2及

漸近線恰是線段PF2的中垂線，則該雙曲線的離心率是.

16.將函數f（x）=26sinxcosx+2cos?-1的圖象向右平移°（8>°）個單位長度后，其函數圖象關于

軸對稱，則夕的最小值為_.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

”、x\nx/八、

/（%）=-------,（。>0）_

17.（12分）已知函數"a。當。=1時，求函數,=/（乃在》=1處的切線方程；求函

數/（x）在,，2句上的最小值；證明：Vxw（0,4w）,都有mex.

18.（12分汨知等比數列{4}是遞增數列，其公比為4,前〃項和為S",并且滿足4+4+/=28盧+2

,.1

（\d=a，，.log2_T

是&和%的等差中項.求數列1凡）的通項公式；若4,4=4+4++2,求使

式+”,2，,+1=30成立的正整數n的值.

19.（12分）為了了解校園噪音情況，學校環保協會對校園噪音值（單位：分貝）進行了50天的監測，得

到如下統計表：

噪音值（單位：分貝）[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]

頻數14122085

（1）根據該統計表，求這50天校園噪音值的樣本平均數（同一組的數據用該組組間的中點值作代表）.

根據國家聲環境質量標準：“環境噪音值超過65分貝，視為重度噪音污染；環境噪音值不超過59分貝，

視為輕度噪音污染.”如果把由上述統計表算得的頻率視作概率，回答下列問題：求周一到周五的五天中恰

有兩天校園出現重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.學校要舉行為期3天的“漢字聽寫大

賽”校園選拔賽，把這3天校園出現的重度噪音污染天數記為X,求X的分布列和方差0（X）.

20.（12分）已知+當“=1時，求不等式/。）＜3的解集；設關于x的不等式/（x）＜3

有解，求”的取值范圍.

21.（12分）如圖，四邊形ABC。為正方形，E,尸分別為AZZBC的中點，以。尸為折痕把△OR7折

起，使點C到達點P的位置，且PFLBF.證明：平面PEFL平面A8FQ；求DP與平面ABF。所成

角的正弦值.

22.（10分）己知函數/（力=加一產（4€用，/'（X）是"X）的導數（e為自然對數的底數）.

I.當a=l時，求曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線方程；

II.若當x2°時，不等式/（*）,一工一1恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1、A

2、B

3、A

4、C

5、D

6、A

7、A

8、C

9、B

10、B

11、C

12、B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

14、｛T?

15、石

71

16、3

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(l)y=x-l；(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：

(1)利用導函數研究函數的切線方程可得切線方程為y=x-\

I1(1\1

(2)分類討論可得：當a2—時，f(x),，而=/(a)=需；當—<a<2a,f(x),“j“=f-=----；當

ccIe/ae

時，/(6.而=/(2。)=2山(2。)

(3)構造新函數g(x)=xlnx,結合⑴的結論和不等式的特點研究函數的最值即可證得題中的結論.

試題解析：

(1)a=l時，/(x)=xlnx,/,，(A：)-lnx+1

切線斜率左=/'。)=1,切點為(1,0),切線方程為y=x-l

(2)/〈X)=+1,令/"(x)=0=x=，

ae

①當aN［時，/"(x)>0,/(x)在［a,2可上單調遞增，

:廳增疝,=f(G=lna；

②當1<a<2a,即時，/'(x)在a,-上單調遞減，在-,2a上單調遞增，

e2eeee

??.f(x)而“=f7

③當aS，時，/'（耳<0,/（%）在,,2可上單調遞減,

???/（x）,””=/（2a）=2/〃（2a）

x2

（3）要證的不等式兩邊同乘以元，則等價于證明工/招>丁-一

ee

令g(x)=xlnx,則由（1）知二/（4而=/

Y21—r

令夕（尤）=/一工，則“3=7；-,當0cx<1時，d（x）>0,9（x）遞增；

當x>l時，”（力<0,0（x）遞增減；.?.0（x）3=e⑴=-g

所以.加=*（力…,且最值不同時取到,即X如;>/-工

]2

Vx€（0,+00）,都有/ZLV>------o

e'ex

點睛：導數是研究函數的單調性、極值（最值）最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在

歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，

對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：⑴考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯

系.（2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數.（3）利用導數求函數的最值（極

值），解決生活中的優化問題.（4）考查數形結合思想的應用.

18,(I)a,=2"；(H)n=4.

【解析】

【分析】

（I）設等比數列的公比為4,根據題意，得2（%+2）=28一4，解得小=8,進而聯立方程組，求得

%=2,q=2,即可求解數列的通項公式；

（II）由（I）得a=a,jlog2，=-〃-2”,利用乘公比錯位相減法，即可求解。

【詳解】

（I）依題意，設等比數列的公比為q,

&+氏+見=28

貝“2⑷+2）=4+%,即2（4+2）=28i，解得的=8.

所以4+4=2。.

%=32,

a聞+《/=204=；’或，

于是有府=&解得:

[<7=2，1

qf

又｛為｝是遞增的，故q=2闖=2,所以4=2”.

(H)=??-log2—=-n-2",

a.

XX2X

Tn=bx+b2++&?=-(12+22++〃2")①

貝U27；,=-(1X22+2X23++〃X2"T)②

②-①，得(,=(2+22++2")-〃2?一2—〃心向，

即數列也｝的前〃項和7；=2n+1-2-n-2n+1,

則7；+〃2"M=2"M-2=30,

即2向=32,解得〃=4.

【點睛】

本題主要考查等差、等比數列的通項公式及求和公式、數列求和的“錯位相減法”，此類題目是數列問題中

的常見題型，對考生計算能力要求較高，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在

“錯位”之后求和時，弄錯等比數列的項數，能較好的考查考生的數形結合思想、邏輯思維能力及基本計算

能力等.

19、⑴61.8；⑵⑴焉而;(ii)答案見解析.

【解析】

試題分析：根據該統計表，同一組的數據用該組組間的中點值作代表，可求這50天校園噪音值的樣本平

均數；

(2)(i)由題意，“出現重度噪音污染”的概率為“出現輕度噪音污染”的概率為，，

設事件A為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”,利用獨

立重復試驗的概率可求求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音

污染的概率.

(ii)由題意，服從二項分布，求X的分布列和方差。(Xb

56x1+58x4+60x12+62x20+64x8+66x5

試題解析：(1)由數據可知無----------------------------------------=61.8o

50

(2)由題意，“出現重度噪音污染”的概率為

“出現輕度噪音污染”的概率為士，

設事件4為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”，則

(3)由題意X~B貝!lP(X=A:)=C；，4二0,1,2,3.

故分布列為

X0123

729243271

P

1000100010001000

O(X)=/^(l-p)=Q27

20、(1)(-2,1)；(2)一3<a<3.

【解析】

【分析】

(1)當。=1時，利用零點分段法去絕對值，將/(力轉化為分段函數的形式，并由此解出不等式的解集.

(2)先利用絕對值不等式求得/(x)的最小值，這個最小值小于3,由此列不等式，解不等式求得。的取

值范圍.

【詳解】

X<—1

解：(1)當。=1時，不等式尤+l+x<3等價于〈(「

-(x+l)-x<3

'-l<x<0

或，，

(x+l)-x<3

x>0

或(%+1)+%<3'

解得一2〈尤<一1或一1Wx<0,即0<x<l.

所以不等式/(力+尤<3的解集是(一2,1).

(2)由題意得/(犬,皿<3,

因為/(九)=k+4+國之,+4—才=時，故<3,—3<〃<3,

【點睛】

本小題主要考查零點分段法解絕對值不等式，考查不等式存在性問題的求解方法，屬于中檔題.

21、(1)證明見解析；(2)旦.

4

【解析】

【分析】

(D首先從題的條件中確定相應的垂直關系，即BFVEF,又因為PFEF=F,利用線

面垂直的判定定理可以得出平面PE尸，又BFu平面A8FO,利用面面垂直的判定定理證得平面

PEFABFD；

(2)結合題意，建立相應的空間直角坐標系，正確寫出相應的點的坐標，求得平面ABFZ)的法向量，設

UIWUUHr±廠

0P與平面所成角為。，利用線面角的定義，可以求得Sin8=盤俄=與=也，得到結果.

|//P|-|Z)P|<34

【詳解】

(1)由已知可得，BE工PF,BE1EF,又PFEF=F,所以平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面PEF_L平面ABFD；

(2)作PH上EF,垂足為".由(1)得，2”，平面48/70.

以“為坐標原點，”產的方向為軸正方向，河|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系”一型.

由(1)可得，DE工PE.又DP=2,DE=\,所以PE=由.又PF=1,EF=2,故PE1PF.

可得PH=叵,EH=2.

22

則”(0,0,0),尸0,0,手,0b1,_|,0),02=(⑸

HP=0,0,^-為平面的法向

UUS，UUB，3

HPDP4

設。P與平面A8FD所成角為。，貝!1sin<9=jwcr一出必

I研|回耳一4

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為旦.

4

【點睛】

該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于

常規題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明

確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關系，從而證得結果；對于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量

來完成，注意相對應的等量關系即可.

1

22、I.x+y+l=0；ILae—oo—

2

【解析】

【分析】

L利用解析式和導數分別求解出切點坐標和斜率，根據點斜式方程寫出切線方程；H.將問題轉化為

g(x)=ac2-e，+x+iwo在［o,+8)上恒成立；當時，根據導數可驗證出g(x)單調遞減，從而滿

足恒成立的結論：當時，根據導數可知xe［0,ln2a)時，g(x)單調遞增，導致不等式不恒成立，

從而可確定。的范圍.

【詳解】

2xzv

L當。=1時，/(x)=x-e9/(x)=2x-e

則/(())=0_浮=_1,./(0)=0_6°=_1

「?切線方程為：y+l=-l(x-O),即冗+y+l=O

IL當xNO時，/(%)<—x—1恒成立，即：依2一產+工+1<0在［0,包)上恒成立

設g(x)=or2-ex+x+l

則g'(x)=2cix-ex+1,g"(x)=2Q-ex

①當時，2a<1,此時,2e°=l,貝Ug"(x)W0

可知g'(x)在［0,4w)上單調遞減，則g'(x)<g'(O)=0

Ag(x)在［0,”)上單調遞減g(x)?g(0)=0

即/(x)?-恒成立.??a〈g滿足題意

②當時，令g"(%)=0,解得：x=\n2a

當x?0,ln2a)時，g"(x)>0,則g'(x)單調遞增

此時g〈x)之g<0)=0,則g(尤)在［0,ln2a)上單調遞增

\g(x)?g(0)0

BP^xe［0,ln2a)時，/(x)>-x-l

即/(x)?-x—l不恒成立，可知a>；不合題意

綜上所述，ae|^-oo,1

【點睛】

本題考查導數的幾何意義、利用導數解決不等式恒成立問題，處理自變量取值范圍的臨界點恰為恒成立的

式子取等號的點的恒成立問題時，通常采用構造函數的方式，將問題轉變成與零的大小比較，根據導數符

號恒定即函數單調性恒定，確定取值范圍；再說明在所得范圍的補集上不恒成立，從而使問題得以解

決.2019-2020高考數學模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b,c,若smA=￥，2=3母4四?=2也，貝!|b的值為（）

A.6B.3C.2D.2或3

2.若在/+丁241所圍區域內隨機取一點，則該點落在N+?|W1所圍區域內的概率是（）

_12

A.兀B.71C.2TtD.兀

3.楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡

（1623-1662）是在1654年發現這一規律的.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里

出現了如圖所示的表，這是我國數學史上的一個偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的

項，依次構成數列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數列前135項的和為（）

l8l8,7,7

A.2-53B.2-52c.2-53D.2-52

4.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n,x的值分別為3,2,

則輸出v的值為

A.9B.18C.20D.35

5.公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近

圓的面積，并創立了“割圓術”.利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14,這就

是著名的“徽率”.小華同學利用劉徽的“割圓術”思想在半徑為1的圓內作正〃邊形求其面積，如圖是其設計

的一個程序框圖，則框圖中應填入、輸出〃的值分別為（）

B.S=-xnxsin^-,18

A.S=—xnxsin----,24

2n2n

S=L〃xsin幽＞,545=-xnxsin^-,18

C.2nD.2n

6.直線/:&+y+4=0（2GR）是圓C：x2+/+4x—4y+6=o的一條對稱軸，過點A（（）,Z）作斜率為

1的直線，〃，則直線機被圓。所截得的弦長為（）

V2

A.2B.^2C,V6D.2&

7.已知?！?,函數/（x）=cos（3X+?。┰冢ǘ?4）上單調遞增，則0的取值范圍是（）

42

6白已爭U

A.24B.24c.44D.24

8.已知拋物線％2=4y上有一條長為8的動弦AB,則弦AB的中點到x軸的最短距離為（）

A.2B..3C.4D.5

2

9.在△ABC中，|C4|=1,|C叫=2,NACB=§乃，點”滿足CAI=C3+2CA，則加4.朋8=

A.0B.2C.2百D.4

10.已知函數f（x）=|ln|l+x||,若存在互不相等的實數％,x2,毛，/，滿足

f{\）=/（X,）=f（x3）=f（x4）,則/（fg）=（）

z=i2

A.0B.1C.2D.4

11.若X為實數，貝!1“交〈了?2a”是“2夜4土上243''成立的（）

2x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TT7T

12.已知函數/（x）=sin（口x+。）（。>0,\（p\<-\其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為i，將函數

y=/（x）的圖象向左平移轉個單位后，得到的圖象關于y軸對稱，那么函數y=/（x）的圖象（）

16

7171

A.關于點（一7,。）對稱B.關于點（7,0）對稱

1616

7171

X----X-----

C.關于直線16對稱D.關于直線4對稱

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設函數/（x）=（.+0）cosx（"0）,若/（—2017）=1,5^/（2017）=.

x+2y>0

"x->,<0

14.若變量x,y滿足約束條件〔"一2〉+23°,則z=2“一），的最小值等于.

r，

15.已知函數JU）=+isinx則滿足不等式/I"?）+/（2"）<。成立的實數m的取值范圍是

22

土-匕=1

16.過雙曲線。2b23>°，">°）的右焦點小作漸近線的垂線，垂足為P,且該直線與）'軸的交點

為。，若歸（。為坐標原點），則雙曲線的離心率的取值范圍為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

/(x)=sinf2x+—j+2sin2

.求函數,（x）的最小正周期和單調遞減區間；在

17.（12分）已知函數

/⑷=3

A48C中，a/,。分別是角A,B,C的對邊，若'（2）5,b+c=7?BC的面積為26,求邊。的

長.

18.（12分）每年七月份，我國J地區有25天左右的降雨時間，如圖是J地區S鎮2000-2018年降雨量（單

位：mm）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題:

假設每年的降雨天氣相互獨立，求S鎮未來三年里至少有兩年的降雨

量不超過350mm的概率；在S鎮承包了20畝土地種植水果的老李過去種植的甲品種水果，平均每年的總

利潤為31.1萬元.而乙品種水果的畝產量m（kg/畝）與降雨量之間的關系如下面統計表所示，又知乙品

種水果的單位利潤為32-0.01xm（元/kg）,請幫助老李排解憂愁，他來年應該種植哪個品種的水果可以使

利潤&（萬元）的期望更大？（需說明理由）;

降雨量[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)

畝產量500700600400

x=Zcosa

V

19.(12分)在直角坐標系xOy中，直線1的參數方程為U='sinaa為參數)，在以坐標原點為極點,

x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線￡/=2cos',曲線2I3力求G的直角坐標方程；

若直線I與曲線分別相交于異于原點的點M,N,求IMNI的最大值.

20.(12分)為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對10()名家用轎車駕駛員進行調查，

得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40

人，不超過100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過

100km/h的有25人.完成下面的列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h的

人與性別有關.

平均車速超過100km/h人數平均車速不超過100km/h人數合計

男性駕駛員人數

女性駕駛員人數

合計

(2)以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中

駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛數為X,若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列和數

學期望.

參考公式與數據：

2

P(K>k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K-Mad-bcg

(a+b)(c+d)(a+c)(O+d),其中〃=a+b+c+d.

21.(12分)為了調查民眾對國家實行“新農村建設”政策的態度，現通過網絡問卷隨機調查了年齡在20

周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數分布和支持“新農村建設”人數如下表：

年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

頻數102030201010

支持“新農村建設”311261262

(1)根據上述統計數據填下面的2x2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為以50歲為分界點對“新農村

建設”政策的支持度有差異;

年齡低于50歲的人數年齡不低于50歲的人數合計

支持

不支持

合計

(2)為了進一步推動“新農村建設”政策的實施，中央電視臺某節目對此進行了專題報道，并在節目最后

利用隨機撥號的形式在全國范圍內選出4名幸運觀眾(假設年齡均在20周歲至80周歲內)，給予適當的

獎勵.若以頻率估計概率，記選出4名幸運觀眾中支持“新農村建設”人數為J，試求隨機變量J的分布列和

數學期望.

參考數據:

P(K2>k)0.1500.10()0.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

2_n(ad-bc)

參考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(0+d),其中〃=a+b+c+d.

22.(10分)如圖所示，直三棱柱ABC--A|B1G的底面是邊長為2的正三角形，E,F分別是BC,CG

的中點.

證明：平面AEFL平面BiBCG；若直線AC與平面AiABBi所成的角為45。，求

三棱錐F-AEC的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1、D

2、B

3、A

4、B

5、C

6、C

7、D

8、B

9、A

10^A

11、B

12、B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

5

2

16、Z

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

JT、兀

17、（1）最小正周期7=萬，單調遞減區間是伙萬+7,攵萬+二］（左eZ）；（2）。=5.

36

【解析】

試題分析:

JT/rr

（1）解析式可化為/（x）=sinlx--+1,由此可得最小正周期，將2》-二代入正弦函數的增區間，

I6/6

求得X的范圍即可得到函數的單調增區間.（2）由/（9）="|可得4=三，根據A4BC的面積為2g可

得6c=8,然后由余弦定理可得a=5.

試題解析：

，f(x)的最小正周期Tn

2

,,7Tc71~,31,r

由2k,7i~\—<2x---42k/iH----,kQZ,

6

5n

xvkx+—,(k€Zh

6

，函數IN的單調遞減區間是出『［kxikGZ).

(2)由(1)得f(x)sinQx--)-1,

6

/(-)=sin(A-7)+1=j，

:.sin(A~—)=—,

62

…五x5冗

?--<A--<一

666

??A-一-

3

又SMBC=g8csin|=^bc=2百,

**?be89

由余弦定理得b"-c"-2bcco§3(b*c)2-3bc，

又，

???a?=72-3x8=25，

??a=5.

點睛：利用正、余弦定理求解三角形面積問題的題型與方法

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各個邊角后，直接求三角形的面積.

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他各量.

(3)求三角形面積的最值或范圍，這時一般要先得到面積的表達式，再通過基本不等式、三角函數的最值等

方法求得面積的最值或范圍.

18、(1)之；(2)乙品種楊梅的總利潤較大.

【解析】

【分析】

(1)由頻率分布直方圖中矩形面積和為1,計算第四組的頻率，再求出第三組矩形面積的一半，求和即

可求出對應的概率值，再利用獨立重復試驗概率公式可得結果；(2)根據直方圖求隨機變量的概率，可得

隨機變量J的分布列，求出乙品種楊梅的總利潤的數學期望，與過去種植的甲品種楊梅平均每年的總利潤

為28萬元比較得出結論和建議.

【詳解】

(1)頻率分布直方圖中第四組的頻率為1-l(X)x(().002+().(X)4+0.003)=0.1

該地區在梅雨季節的降雨量超過350〃〃〃的概率為50x0.003+0.1=0.25

所以該地區未來三年里至少有兩年梅雨季節的降雨量超過350相〃?的概率為

xfi-11+C^f-l=—+—=—(或0.15625.)

I4J\4j646432

（2）據題意，總利潤為20〃（32-0.01〃）元，其中“=500,700,600,400.

所以隨機變量J（萬元）的分布列如下表:

1273531.222.4

P0.20.40.30.1

故總利潤&（萬元）的期望

魅=27x0.2+35x0.4+31.2x0.3+22.4x0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31（萬元）

因為31>28,所以老李應該種植乙品種楊梅可使總利潤J（萬元）的期望更大.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的應用以及離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.直方圖的主要性

質有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為1；（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數據的頻率；（3）每

個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等處橫

坐標表示中位數.

22

19、（I）x+y--x-^y=0;（IDG

22

【解析】

【分析】

（I）將極坐標方程化為P2=gpcose+#oin6,然后再結合轉化公式求解即可.（II）由于點",N

同在直線。=a上，故可根據M,N兩點的極徑差的絕對值來求出然后再求出其最大值.

【詳解】

（I）極坐標方程0=cos（6-可化為Q=gcos6+】，sine

所以p1=；/?cos9+^/?sine，

將/7cosg=x,/?sine=y,p2=/+丁代入上式可得/+/,

所以曲線G的直角坐標方程為V+V一gx—#y=o.

（II）不妨設OWa〈萬，點M,N的極坐標分別為（4a）,（22，。），

6=a

由Vc八，得到Q]=2cosa.

p=2cose

0=a

由,得至監=cos

p-cos仁)

所以=\P\~P-\=2cosa-cosa——--cosa------sincr=V3s山a--

因為0<a<7i,

TTTT2^^

所以一；<~r~，

333

所以當a—￡=即&=竺時，|MN|取得最大值JL

326

【點睛】

本題考查極坐標和直角坐標間的轉化，合理利用轉化公式求解是解題的關鍵.對于極坐標系內的長度問題,

根據題意可利用極徑差的絕對值求解，此時要求兩點應為同一條直線與一條曲線或兩條曲線的交點，注意

轉化的合理性.

20、(I)表格見解析，有關(II)|

【解析】

【分析】

(I)根據題目中的數據，完成列聯表，求出長2=8.13>7.879,從有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h

與性別有關.

(H)記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過lOOkm/h的車輛數為X,推導出X服從二項分布,即B

由此能求出在隨機抽取的10輛車中平均有4輛車中駕駛員為男性且車速超過lOOkm/h.

【詳解】

(I)

平均車速超過1QOhn/h人數平均車速不超過1QOkm/h人數合計

男性駕駛員人數401555

女性駕駛員人數202545

合計6040100

因為丁=100x(40x25空2。)二.429>7.879,

60x40x55x45

所以有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h與性別有關；

(U)根據樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取1輛，駕駛員為男性且車

402

速超過100km!h的車輛的概率為—

X可取值是0,1,2,3,X3,y，有:

03

p(x=o)=c；聯J唱，g)=喧閭

(230

P(X=2)=C；51(1

X的分布列為

X0123

2754368

P

U5?25725125

ic27154c36°86

E1r\X)=0x---1-1x---1-2x---F3x=—.

,)1251251251255

【點睛】

本題考查獨立性檢驗的應用，考查概率的求法及應用，考查二項分布的性質等基礎