1、導數的概念與運算一 知識點梳理1導數的概念：（1）已知函數y=f(x)，如果自變量x在x0處有增量x，那么函數y相應地有增量y=f(x0+x)-f(x0),比值就叫做函數y=f(x)在x0到x0+x之間的平均變化率；（2）當x0時，有極限，就說函數y=f(x)在x0處可導，并把這個極限叫做f(x)在x0處的導數（或變化率），記作；（3）如果函數y=f(x)在開區間（a,b）內每一點都可導，就說y=f(x)在開區間(a,b)內可導，由這些導數值構成的函數叫做y=f(x)在區間(a,b)內的導函數，記作。2求導數的方法：（1）求函數的增量y；（2）求平均變化率；（3）求極限。3導數的幾何意義：函數

2、y=f(x)在x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點（x0，y0）處的切線的斜率，即斜率為。過點P的切線方程為：y- y0= (x- x0).4幾種常見函數的導數：(C為常數)；()；。5導數的四則運算法則：； ； 6復合函數的導數：設函數u=(x)在點x處有導數ux=(x)，函數y=f(u)在點x的對應點u處有導數yu=f(u)，則復合函數y=f( (x)在點x處也有導數，且 或fx( (x)=f(u) (x).二 基礎演練1函數的導數是 （ ） 2已知函數的解析式可（ ） 3曲線上兩點，若曲線上一點處的切線恰好平行于弦，則點的坐標為 （ ） 4若函數的圖象的頂點在第四象限，則函數

3、的圖象是（ ）5已知曲線在處的切線的傾斜角為，則，6曲線與在交點處的切線的夾角是三 典例剖析例1（1）設函數，求；（2）設函數，若，求的值（3）設函數，求例2 求函數的導數：；例3物體在地球上作自由落體運動時，下落距離其中為經歷的時間，若 ，則下列說法正確的是（ ）（A）01s時間段內的速率為（B）在11+ts時間段內的速率為（C）在1s末的速率為（D）若t0，則是11+ts時段的速率；若t0，則是1+ts1時段的速率例4（1）曲線：在點處的切線為 在點處的切線為，求曲線的方程；（2）求曲線的過點的切線方程例5設函數(1)證明：當且時，；(2)點（0<x0<1）在曲線上，求曲線上在

4、點處的切線與軸，軸正向所圍成的三角形面積的表達式（用表示）例6求函數 圖象上的點到直線的距離的最小值及相應點的坐標.四課后作業：1.一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為st3t22t，那么速度為零的時刻是 A.0秒B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末2.yx2cosx的導數是 A.y2xcosxx2sinx B.y2xcosxx2sinxC.y2xcosx D.yx2sinx3.函數yf(x)的圖象在點x5處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)等于 A.1 B.2 C.0 D.4.設曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn則x1·x2

5、··xn等于A. B. C. D.15.f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數，若f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)，則下列結論成立的是A.f(x)g(x) B.f(x)g(x)0C.f(x)g(x)為常數函數 D.f(x)g(x)為常數函數6.若點P是曲線yx2lnx上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為 A.1 B. C. D.7.設點P是曲線yx23x3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是.8.已知函數f(x)f()cosxsinx，則f()的值為.9.已知f1(x)sinxcosx，記f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x

6、)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，則f1()f2()f2009().三、解答題10.求下列函數的導數：(1)yx5x33x2；(2)y(3x34x)(2x1)；(3)y.11.已知曲線yx21與y1x3在xx0處的切線互相垂直，求x0的值.導數的概念與運算答案二 基礎演練1 CABA 5已知曲線在處的切線的傾斜角為，則，6曲線與在交點處的切線的夾角是例1 解：（1），（2），由得：，解得：或（3）例2 ；解：（1）（2）.；（3）令，；（4），例3物體在地球上作自由落體運動時，下落距離其中為經歷的時間，若 ，則下列說法正確的是（ ）（C）在1s末的速率為小結：本例旨在強化對導數意義的

7、理解，中的t可正可負例3（1）曲線：在點處的切線為 在點處的切線為，求曲線的方程；（2）求曲線的過點的切線方程解：（1）已知兩點均在曲線C上. 曲線：（2）設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，過點，解得：或，當時，切點為，切線方程為：當時，切點為，切線方程為：例4設函數(1)證明：當且時，；(2)點（0<x0<1）在曲線上，求曲線上在點處的切線與軸，軸正向所圍成的三角形面積的表達式（用表示）解：（1），兩邊平方得：即：，（2）當時，曲線在點處的切線方程為：，即：切線與與軸，軸正向的交點為所求三角形的面積為例5求函數 圖象上的點到直線的距離的最小值及相應點的坐標.解：首先由得 知

8、，兩曲線無交點.，要與已知直線平行，須，故切點：（0 , 2）. .課后作業1.一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為st3t22t，那么速度為零的時刻是 A.0秒B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末解析：st3t22t，vs(t)t23t2，令v0得，t23t20，t11或t22.答案：D2.yx2cosx的導數是 解析：y2xcosxx2sinx.答案：B3.(2010·福州模擬)函數yf(x)的圖象在點x5處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)等于 A.1 B.2 C.0 D.解析：因f(5)583，f(5)1，故f(5)f(5)2.答案：B4.設曲線yxn1

9、(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn則x1·x2··xn等于A. B. C. D.1解析：y(n1)xn，曲線在點(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，令y0，得xn.則x1·x2··xn···.答案：B5.f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數，若f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)，則下列結論成立的是A.f(x)g(x) B.f(x)g(x)0C.f(x)g(x)為常數函數 D.f(x)g(x)為常數函數解析：由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g

10、(x)0，所以f(x)g(x)C(C為常數).6.若點P是曲線yx2lnx上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為 A.1 B. C. D.解析：過點P作yx2的平行直線，且與曲線yx2lnx相切.設P(x0，xlnx0)則有ky|xx02x0.2x01，x01或x0(舍去)，P(1,1)，d.答案：B7.設點P是曲線yx23x3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是.解析：設切線的斜率為k，則kf(x)x22x3(x1)24.當x1時，k有最小值 4.又f(1)，所以切線方程為y4(x1)，即12x3y80.8.(2009·湖北高考)已知函數f(x)f()cosxsinx，則f()的值為.解析：f(x)f()cosxsinx，f(x)f()sinxcosx，f()f()×，f()1.故f()(1)×1.答案：19.已知f1(x)sinxcosx，記f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，則f1()f2()f2009().解析：f2(x)f1(x)cosxsinx，f3(x)(cosxsinx)sinxcosx，f4(x)cosxsinx，f5(x)sinxcosx，以此類推，可得出fn(x)fn4(x)又f1(x)f2(x)f3(x)