1、平面向量基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.2.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3.平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x

2、2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底.(×)(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.(×)(3)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示.()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.(×)(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，則等于45°.(×)2.已知點A(6,2)，B(1,

3、14)，則與共線的單位向量為_.答案(，)或(，)解析因為點A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，與共線的單位向量為±±(5,12)±(，).3.已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在AOB內，|2，且AOC，設 (R)，則的值為_.答案解析過C作CEx軸于點E(圖略).由AOC，知OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標為_.答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).5.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足，則_.答案解析，()，

4、.題型一平面向量基本定理的應用例1在ABC中，點P是AB上一點，且，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又t，試求t的值.思維啟迪根據題意可選擇，為一組基底，將，線性表示出來，通過t鍵立關于t的方程組，從而求出t的值.解，32，即22，2，即P為AB的一個三等分點(靠近點A)，如圖所示. A，M，Q三點共線，設x(1x)(x1)，而，(1).又，由已知t可得，(1)t()，解得t.思維升華平面向量基本定理表明，平面內的任意一個向量都可用一組基底唯一表示，題中將同一向量用同一組基底的兩種形式表示出來，因此根據表示的“唯一性”可建立方程組求解. 如圖，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數m

5、的值為_.答案解析設|y，|x，則， ，×y×x得，令，得yx，代入得m.題型二平面向量的坐標運算例2已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；(2)設3，2，求及M、N點的坐標.思維啟迪(1)直接計算、的坐標，然后運算；(2)根據向量的坐標相等列方程求點M，N的坐標.解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6).(2)3，2，2323，由A、B、C、D點坐標可得(3,2)(1，

6、2)(2,4).2(1,1)3(2,4)(4,10).設M(xM，yM)，N(xN，yN).又3，3()，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12).xM3，yM10，M(3，10).又2，即2，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0).思維升華向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).設a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數m，n；(3)求M、N的坐標及向量的坐標

7、.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設O為坐標原點，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).(9，18).題型三向量共線的坐標表示例3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_.(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.思維啟迪(1)根據向量共線列式求相

8、關點的坐標；(2)根據向量共線求參數.答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.設點D的坐標為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故點D的坐標為(2,4).(2)依題意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思維升華(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(a0)，則ba.(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標

9、均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).若為實數，(ab)c，則_.(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A、B、C能構成三角形，則實數m滿足的條件是_.答案(1)(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因為(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于點A、B、C能構成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有，解得m，故當點A、B、C能構成三角形時實數m滿足的條件是m.方法與技巧1.平面向量

10、基本定理的本質是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解.向量的坐標表示的本質是向量的代數表示，其中坐標運算法則是運算的關鍵.2.平面向量共線的坐標表示(1)兩向量平行的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是ab，這與x1y2x2y10在本質上是沒有差異的，只是形式上不同.(2)三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進行判定.失誤與防范1.要區分點的坐標和向量的坐標，向量坐標中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況.2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，

11、y2有可能等于0，所以應表示為x1y2x2y10.一、填空題1.(2012·廣東改編)若向量(2,3)，(4,7)，則_.答案(2，4)解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)(2，4).2.在ABC中，點P在BC上，且2，點Q是AC的中點，若(4,3)，(1,5)，則_.答案(6,21)解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21).3.若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共線，則的值為_.答案解析(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.4.如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點，xy，且 2

12、，則x_，y_.答案解析由題意知，又2，所以()，所以x，y.5.已知A(3,0)，B(0，)，O為坐標原點，C在第二象限，且AOC30°，則實數的值為_.答案1解析由題意知(3,0)，(0, )，則(3， )，由AOC30°知以x軸的非負半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°，tan 150°，即，1.6.已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實數x的值為_.答案解析因為a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因為uv，所以3(2x

13、1)4(2x)0，即10x5，解得x.7.(2013·江蘇)設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數)，則12的值為_.答案解析如圖，()，則1，2，12.8.在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.答案60°解析因為pq，則(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，結合余弦定理知，cos C，又0°<C<180°，C60°.二、解答題9.已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b).(1)若A、B、C三點共線，求a

14、、b的關系式；(2)若2，求點C的坐標.解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1).A、B、C三點共線，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，點C的坐標為(5，3).10.如圖，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且 P，G，Q三點共線.(1)設，將用，表示；(2)設x，y，證明：是定值.(1)解()(1).(2)證明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共線，由，得解得3(定值).備用題1.設向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為_.答案(4，2) 解析

15、a與b方向相反，可設ab(<0)，a(2,1)(2，).由|a|2，解得2，故a(4，2).2.設(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A、B、C三點共線，則的最小值是_.答案8解析據已知得，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，442 8，當且僅當，即a，b時取等號，的最小值是8.3.已知ABC中，點D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是_.答案0解析，.又rs，r，s，rs0.4.已知A(7,1)、B(1,4)，直線yax與線段AB交于C，且2，則實數a_.答案2解析設C(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2

16、，解得.C(3,3).又C在直線yax上，3a·3，a2.5.設A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若 (R)， (R)，且2，則稱A3，A4調和分割A1，A2.已知點C(c,0)，D(d,0)(c，dR)調和分割點A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是_.(填序號)C可能是線段AB的中點；D可能是線段AB的中點；C，D可能同時在線段AB上；C，D不可能同時在線段AB的延長線上.答案解析依題意，若C，D調和分割點A，B，則有，且2.若C是線段AB的中點，則有，此時.又2，所以0，不可能成立.因此不對，同理不對.當C，D同時在線段AB上時，由，知0<<1,0<<1，此時>2，與已知條件2矛盾，因此不對.若C，D同時在線段AB的延長線上，則時，>1，時，>1，此時<2，與已知2矛盾，故C，D不可能同時在線段AB的延長線上.6.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上運動.若xy，其中x，yR，求xy的最大值.解以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B(，)，設AOC(0，)，則C(cos ，sin )，由xy，得，所以xcos sin