1、.1.1.1 探究勾股定理1.經(jīng)歷用測量法和數(shù)格子的方法探究勾股定理的過程,開展合情推理才能,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.2.會(huì)解決直角三角形的兩邊求另一邊的問題.1.經(jīng)歷“測量猜測歸納驗(yàn)證等一系列過程,體會(huì)數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)的過程.2.在觀察、猜測、歸納、驗(yàn)證等過程中培養(yǎng)語言表達(dá)才能和初步的邏輯推理才能.3.在探究過程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般及化歸等數(shù)學(xué)思想方法.通過讓學(xué)生參加探究與創(chuàng)造,獲得參加數(shù)學(xué)活動(dòng)成功的經(jīng)歷.【重點(diǎn)】勾股定理的探究及應(yīng)用.【難點(diǎn)】勾股定理的探究過程.【老師準(zhǔn)備】分發(fā)給學(xué)生打印的方格紙.【學(xué)生準(zhǔn)備】有刻度的直尺.導(dǎo)入一:展示教材P2開頭的情境.如下圖,從電線桿離地面8 m處向地

2、面拉一條鋼索,假如這條鋼索在地面的固定點(diǎn)間隔 電線桿底部6 m,那么需要多長的鋼索?事實(shí)上,古人發(fā)現(xiàn),直角三角形的三條邊長度的平方存在一個(gè)特殊關(guān)系,學(xué)完了這節(jié)課,我們就會(huì)很容易地求出鋼索的長度.設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)問題情境,造成學(xué)生的認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生的求知欲望.導(dǎo)入二:如下圖,強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一個(gè)旗桿在離地面9米處折斷倒下,旗桿頂部落在離旗桿底部12米處.旗桿折斷之前有多高? 【師生活動(dòng)】在直角三角形中,任意兩條邊確定了,第三條邊確定嗎?為什么?在直角三角形中,任意兩條邊確定了,第三條邊也就隨之確定,三邊之間存在著一種特定的數(shù)量關(guān)系.事實(shí)上,古人發(fā)現(xiàn),直角三角形的三條邊長度的平方存在一種特殊的關(guān)系.讓

3、我們一起去探究吧!過渡語古代人已經(jīng)認(rèn)識(shí)到直角三角形的三條邊的長度之間存在著特殊的平方關(guān)系,終究存在怎樣的關(guān)系呢?大家一起來探究下吧.一、用測量的方法探究勾股定理思路一【學(xué)生活動(dòng)】1.畫一個(gè)直角三角形,使直角邊長分別為3 cm和4 cm,測量一下斜邊長是多少.2.畫一個(gè)直角邊長分別是6 cm和8 cm的直角三角形,測量一下斜邊長是多少.3.畫一個(gè)直角邊長分別是5 cm和12 cm的直角三角形,測量一下斜邊長是多少.【問題】你能觀察出直角三角形三邊之間的關(guān)系嗎?設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生感知直角三角形三條邊的長度存在特殊的關(guān)系,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的探究欲望.思路二任意畫一個(gè)直角三角形,分別測量三條邊長,把長度標(biāo)在

4、圖形中,計(jì)算三邊的平方,把結(jié)果填在表格中. 直角三角形直角邊長直角邊長斜邊長123【師生活動(dòng)】師:觀察表格,有什么發(fā)現(xiàn)?生1:a2+b2=c2.生2:兩直角邊的平方和很接近斜邊的平方.師:很準(zhǔn)確,他用了很接近這個(gè)詞,非常棒!有哪些數(shù)據(jù)得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13師:哪些數(shù)據(jù)沒得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3師:怎樣驗(yàn)證直角三角形三邊之間的平方關(guān)系呢?二、驗(yàn)證直角三角形三條邊長度存在的特殊關(guān)系,用數(shù)格子的方法探究勾股定理過渡語剛剛的探究活動(dòng),我們只是通過測量和計(jì)算發(fā)現(xiàn)了直角三角形三條邊之間

5、存在的特殊關(guān)系,那么我們怎樣去驗(yàn)證呢?兩條直角邊能不能求出斜邊呢?1.探究等腰直角三角形的情況.思路一展示教材P2圖1 - 2部分圖.探究問題:1這個(gè)三角形是什么樣的三角形?2直角三角形三邊的平方分別是多少?它們滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?學(xué)生通過數(shù)格子的方法可以得出SA+SB=SC設(shè)計(jì)意圖通過三個(gè)正方形面積的關(guān)系,得到直角三角形三邊的關(guān)系.思路二展示教材P2圖1 - 2,直角三角形三邊的平方分別是多少,它們滿足上面所猜測的數(shù)量關(guān)系嗎?你是如何計(jì)算的?【師生活動(dòng)】師:在這幅圖中,邊長的平方是如何刻畫的?我們的猜測如何實(shí)現(xiàn)?生:用正方形A,B,C刻畫的,就是證A+B=C.師:再準(zhǔn)確點(diǎn)說呢?生:是用三個(gè)正

6、方形A,B,C的面積刻畫的,就是證明正方形A的面積加上正方形B的面積等于正方形C的面積.師:請同學(xué)們快速算一算正方形A,B,C的面積.學(xué)生交流面積C的求法,老師巡視點(diǎn)評(píng)生:A的面積是9,B的面積也是9,C的面積是18.師:你用什么方法得到正方形C的面積為18個(gè)單位面積?生1:我先數(shù)整個(gè)格子有12個(gè),兩個(gè)三角形格子拼成一個(gè)正方形格子,能湊6個(gè),一共是18個(gè).生2:把正方形對折,得到兩個(gè)三角形.學(xué)生板演,并列式計(jì)算生3:分成四個(gè)全等的直角三角形.學(xué)生板演,口述面積求法師:方法不錯(cuò),你們很擅長動(dòng)腦筋,我們用數(shù)格子、分割圖形的方法得到C的面積,還有什么方法可以得到嗎?生:在正方形C的外側(cè)畫一個(gè)大正方形

7、,用大正方形的面積減去4個(gè)三角形的面積.學(xué)生板演,口述面積求法師:很好,他采用了補(bǔ)形的方法計(jì)算面積,我們能得到什么結(jié)論?生1:SA+SB=SC.生2:a2+b2=c2.師:我們看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能驗(yàn)證嗎?2.探究邊長為3,4,5的直角三角形的情況.展示教材P2圖1 - 3部分圖.對于一般的直角三角形是否也有這樣的關(guān)系?你是如何計(jì)算的?【問題】1正方形A的面積是多少個(gè)方格?正方形B的面積是多少個(gè)方格?2怎樣求出正方形C的面積是多少個(gè)方格?3三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系?同桌交流、小組討論,共同討論如何求正方形的面積,找到三邊平方之間的關(guān)系.【提示】在正方形

8、C的四周再補(bǔ)上三個(gè)相等的直角三角形,變成一個(gè)新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的兩直角邊分別為1.6個(gè)單位長度和2.4個(gè)單位長度,上面所猜測的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?說明你的理由.學(xué)生考慮、交流,老師請學(xué)生口答,并板書,指出這就是這節(jié)課要學(xué)習(xí)的勾股定理.【學(xué)生總結(jié)】直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.假如用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊,那么a2+b2=c2.考慮1運(yùn)用此定理的前提條件是什么?2公式a2+b2=c2有哪些變形公式?3由2知直角三角形中,只要知道條邊,就可以利用求出. 設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷“獨(dú)立考慮小組討論合作交流的環(huán)節(jié),進(jìn)一步加深對勾股定理的理解,并激發(fā)

9、學(xué)生的愛國熱情.知識(shí)拓展1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些變形關(guān)系式,如a2=c2-b2=c+bc-b;b2=c2-a2=c+ac-a.2.在鈍角三角形中,三角形三邊長分別為a,b,c,假設(shè)c為最大邊長,那么有a2+b2<c2,在銳角三角形中,三角形三邊長分別為a,b,c,假設(shè)c為最大邊長,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由來.2.勾股定理的探究方法:測量法和數(shù)格子法.3.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.假如a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的兩直角邊BC=12,AC=16,那么ABC

10、的斜邊AB的長是A.20B.10C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.應(yīng)選A.2.直角三角形兩直角邊長分別是6和8,那么周長與最短邊長的比是A.71B.41C.257D.317解析:利用勾股定理求出斜邊的長為10.應(yīng)選B.3.2019·溫州模擬如下圖,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分線,假設(shè)BC=10,AD=12,那么AC=. 解析:根據(jù)等腰三角形三線合一,判斷出ADC為直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的長為13.故填13.4. 如下圖,在RtABC中,ACB=90°,AB=1

11、0,分別以AC,BC為直徑作半圓,面積分別記為S1,S2,那么S1+S2的值等于. 解析:根據(jù)半圓面積公式結(jié)合勾股定理,知S1+S2等于以斜邊為直徑的半圓的面積.所以S1+S2=18AB2=12.5.故填12.5.第1課時(shí)1.概念:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.表示法:假如用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊,那么a2+b2=c2.一、教材作業(yè)【必做題】教材第3頁隨堂練習(xí)第1,2題.【選做題】教材第4頁習(xí)題1.1第2題.二、課后作業(yè)【根底穩(wěn)固】1.在RtABC中,AB=6,BC=10,A=90°,那么AC=. 2.假設(shè)三角形是直角三角形,

12、且兩條直角邊長分別為5,12,那么此三角形的周長為,面積為. 3.2019·涼山中考直角三角形的兩邊長分別是3和4,那么第三邊長為. 4.假如梯子的底端離建筑物9米,那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是. 【才能提升】5.如下圖,在正方形網(wǎng)格中,ABC的三邊長a,b,c的大小關(guān)系是 A.a<b<cB.c<a<b C.c<b<aD.b<a<c6.如下圖,在一個(gè)由4×4個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中,以EF為邊的小正方形與正方形ABCD的面積比是. 7.如下圖,陰影部分是一個(gè)正方形,它的面

13、積為. 8.如下圖,三個(gè)正方形的面積中,字母A所在的正方形的面積是. 9.飛機(jī)在空中程度飛行,某一時(shí)刻飛機(jī)剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000米處,過20秒,飛機(jī)間隔 這個(gè)男孩頭頂5000米,飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米?10.一個(gè)門框的尺寸如下圖,一塊長3 m,寬2.2 m的薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么? 11.在ABC中,AB=25,AC=30,BC邊上的高AD=24,求BC的長.【拓展探究】12.如下圖,在RtABC中,ACB=90°,AC=3,BC=4,以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)D,那么BD=. 13.如下圖,一個(gè)機(jī)器人從O點(diǎn)出發(fā),向正

14、東方向走3米到A1點(diǎn),再向正北方向走6米到達(dá)A2點(diǎn),再向正西方向走9米到達(dá)A3點(diǎn),按此規(guī)律走下去,當(dāng)機(jī)器人走到A6點(diǎn)時(shí),離O點(diǎn)的間隔 是. 【答案與解析】1.8解析:AC2=BC2-AB2=64.2.3030解析:由題意得此直角三角形的斜邊長為13.3.5或7 4.12米5.D解析:兩個(gè)正數(shù)比較大小,可以按照下面的方法進(jìn)展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長為1,在直角三角形BDC中,根據(jù)勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因?yàn)閍>0,b>0,c>0,且b2<a2<

15、c2,所以b<a<c.6.58解析:可以設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1,那么正方形ABCD的面積就是4×4=16,斜放的小正方形的邊長應(yīng)該是直角三角形DEF的斜邊長,另外兩條直角邊長分別是1和3,根據(jù)勾股定理可以求出小正方形的面積是10.所以以EF為邊的小正方形與正方形ABCD的面積比是1016=58.7.64 cm2解析:設(shè)陰影部分的邊長為x,那么它的面積為x2=172-152=64cm2.8.7解析:根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理,知以直角三角形的兩條直角邊為邊的正方形的面積和等于以斜邊為邊的正方形的面積,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面積為7.9.解:根據(jù)題意可以

16、先畫出符合題意的圖形.如下圖,在ABC中,C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米,就要知道飛機(jī)在20秒的時(shí)間里飛行的路程,即圖中的CB長,由于RtABC的斜邊AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飛機(jī)20秒飛行3千米,那么它1小時(shí)飛行的間隔 為360020×3=540千米.答:飛機(jī)每小時(shí)飛行540千米. 10.解:連接AC,在RtABC中,根據(jù)勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因?yàn)?.22=4.84<5.所以AC>木板的寬,所以木板可以從門框內(nèi)

17、通過.11.解:在RtABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2解析:在RtABC中,AC=3,BC=4,AB=5,以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)D,AD=AC,AD=3,BD=AB-AD=5-3=2.13.15解析:解此題時(shí)要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各線段的長,再利用勾股定理求解.從本節(jié)課教案的思路設(shè)計(jì)看,始終貫徹以學(xué)生為主體,充分運(yùn)用各種手段調(diào)動(dòng)學(xué)生參與探究活動(dòng)的積極性.課

18、前的導(dǎo)入利用生活中的問題,喚起學(xué)生帶著問題進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí).在探求直角三角形三邊平方關(guān)系時(shí),遵循了發(fā)現(xiàn)問題、證實(shí)問題到推導(dǎo)問題的認(rèn)識(shí)過程.在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展探究的過程中,對學(xué)生的指導(dǎo)過多,不敢放手讓學(xué)生自己進(jìn)展嘗試.比方在利用教材第2頁下面的兩幅圖的時(shí)候,要求學(xué)生選取與教材一致的數(shù)據(jù).在這里應(yīng)該放手讓學(xué)生自己選取數(shù)據(jù).在總結(jié)勾股定理的時(shí)候,可以讓學(xué)生自己總結(jié)勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式.在利用教材給出的例如進(jìn)展勾股定理結(jié)論探究的時(shí)候,一定要立足于“面積相等這個(gè)探究的立足點(diǎn),這樣才能保證學(xué)生找準(zhǔn)探究活動(dòng)的方向.隨堂練習(xí)教材第3頁1.解:字母A代表的正方形的面積=225+400=625,字母B代表的正方形的面積=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因?yàn)?9 in的電視機(jī)是指屏幕長方形的對角線長為29 in,由屏幕的長為58 cm,寬為46 cm,可知屏幕的對角線長的平方=46025.42+58025.42,所以對角線長29 in.習(xí)題1.1教材第4頁1.解:x2=62+82=100,x=10.y2=132-52=144,y=12.2.解:172-1