1、For personal use only in study and research; not forcommercial use與球有關的切、接問題94 Q1 .球的表面積公式： S= 4 tR;球的體積公式 V=aiR32 .與球有關的切、接問題中常見的組合：(1)正四面體與球：如圖，設正四面體的棱長為a,內切球的半徑為 r,外接球的半徑為 R,取AB的中點為D,連接CD SE為正四面體的高，在截 面三角形SDCJ作一個與邊 SD和DCf切，圓心在高 SE上的圓.因為正四面體本身的對稱性，內切球和外接球的球心同為 O此時，CO= OS= R, OE= r,SE= '/ga,CE=

2、喙a,則有 RF r =、履a, Rr2 = | CE 2=_3,解得 R=乎 a, r=a.(2)正方體與球:正方體的內切球：截面圖為正方形EFHG的內切圓，如圖所示.設正方體的棱長為 a,則| OJ = r =泉r為內切球半徑).與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG勺外接圓，則小2|GO=R= ya.正方體的外接球：截面圖為正方形ACCA的外接圓，則|A1O=R'(3)三條側棱互相垂直的三棱錐的外接球:如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且相等，則可以補形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱車B的外接球的球心.即三棱錐A-ABD的外接球的球心和正方體 ABCD1B1C1D的

3、外接球的球心重合.如圖，設 AA皿-3=a,則 R= -a.如果三棱錐的三條側棱互相垂直但不相等，則可以補形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.R2=a2+ b2+ c2 l2-=彳（1為長萬體的體對角線長）.角度一：正四面體的內切球1. （2015長春*II擬）若一個正四面體的表面積為SiSi,其內切球的表面積為 卷，則三=S2解析：設正四面體棱長為 a,則正四面體表面積為Si= 4 *4- a?： 3a?,其內切球半徑3俯視圖為正四面體高的 4,即r = 4a=¥|a，因此內切球表面積為 S2= 4 <2=-,則'="匣 =6a6.

4、3.兀角度二：直三棱柱的外接球2. （2015唐山統考）如圖，直三棱柱 ABCAiBC的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB= AC側面BCCBi是半球底面圓的內接正方形，則側面ABBA的面積為（）A. 2B . 1 C. 啦D*解析：選C由題意知，球心在側面 BCGB的中心O上，BC為截面圓的直徑，/BAC= 90°, ABC的外接圓圓心N是BC的中點，同理 ABCix的外心M是BC的中心.設正方形BCCB的邊長為x, RtAOMCC3, OM=一 XX 2 X 2-_MC= 2, OC= Rh 1（ R 為球的半徑），.+ i = 1,即 x=<2,則 AB= AC= 1,

5、，S矩形 ABEA1=V2X1=.角度三：正方體的外接球3. 一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示（圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形），則該幾何體外接球的體積為解析：依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球，要求的直徑就是正方體的體對角線；，2R= 2y3（ R為球的半徑），R=、/3,，球的體積 V= 3 tiR = 43 .答案：4y3兀角度四：四棱錐的外接球4. （2014大綱卷）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）A.半 B .16% C .9% D. 4解析：選A如圖所示，設球半徑為 R,正四棱錐 P-ABC珅

6、 AEB= 2,，AO=赤. PO =4, .在 RtAOO 中，AO= AO 2+OO 2, . R2=（p）2+（4 R）2,解得 R9 _2巧 ”2 81 兀，一該球的表面積為 4卡=4/ 二1= ,故選A.444類題通法“切” “接”問題的處理規律1. “切”的處理解決與球的內切問題主要是指球內切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過 作截面來解決.如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.2. “接”的處理把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關鍵是抓住 外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.牛刀小試1. （2015云

7、南一檢）如果一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個空間幾何體的表面積等于（）A. 100 兀 B.1002c C . 25兀D. 212t33解析：選A 易知該幾何體為球，其半徑為5,則表面積為 S= 4我=100兀2. （2014陜西高考）已知底面邊長為1 ,側棱長為&的正四棱柱的各頂點均在同一個 球面上，則該球的體積為（）A.32兀D 4_?解析：選D因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑=212+ 12+ （陋 2 = 1，所以 V球=寺、13= ?.故選 D.3. 已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為 3的球面上，當正六棱柱的

8、底面邊長為6時，其高的值為（）A. 3小 B. m C . 2加D. 2鎘h2 一 -解析：選D設正六棱柱的圖為 h,則可得（46）2+彳=32,解得h=243.4. （2015山西四校聯考）將長、寬分別為4和3的長方形ABC冊對角線AC折起，得 到四面體A-BCD則四面體 A-BCD勺外接球白體積為 .解析：設AC與BD相交于 Q折起來后仍然有 OA= OB= OC= OD，外接球的半徑 r =2 =522'從而體積63_125兀送廠6 .5. 一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球 O的球面上，則該 圓錐的體積與球O的體積的比值為.解析：設等邊三角形的邊長為 2a,

9、則 V圓錐=3 - a2 ,73a=坐、3;又 R2= a2+ （3a R）2,所以R=縛a,故3VL3竽a卜峻a3,則其體積比為總高考全國課標卷真題追蹤1.（15課標1理）已知A, B是球O的球面上兩點，/AOB =900, C為該球面上的動點,若O-ABC三棱錐體積的最大值為 36,則球。的表面積為（C ）（A） 36二（B）64 二（C）144二（D）256 ;2. （13課標1理）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器容器高8cm,將一個球放在容器口 ，再向容器注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如不計容器的厚度，則球的體積為(A)500 冗 3cm(B)866 冗 3cm

10、(C) 1372 cm33(D) 2048cm333. （12課標理）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球 。的球面上,AABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC = 2,則此棱錐的體積為（A ）(A)T 9(C) T(D)24. （12課標文）平面ot截千0的球面所得圓的半徑為 1,球心O到平面口的距離為。2,則 此球的體積為（B ）（A）<6兀（B）4<3 兀（C）4乖式（D）6/3 兀5. （10新課標理）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（B ）2721 122（A）二 a（B）-二 a（C）二 a（D） 5二 a6.

11、 （10新課標文）設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（B ）2222（A） 3a（B） 6a（0 124（D） 24冗 a7. （07新課標文）已知三棱錐 S-ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上,SO_L底面ABC, AC = J2r ,則球的體積與三棱錐體積之比是（D）A.冗B. 2 7tC.3 兀D. 4 7t 3.2 -8. （13新課標2文）已知正四棱錐 O-ABCD的體積為-,底面邊長為 J3,則以。為球心，0A為半徑的球的表面積為 24n。9. （13新課標1文）已知H是球0的直徑AB上一點，AH :HB=1:2, A

12、B_L平面支,H為垂足，a截千0所得截面的面積為 n ,則球0的表面積為_。鼻”10. （11新課標理）已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球0的球面上，且AB = 6,BC = 2 J3,則棱錐 0 ABCD 的體積為 8®.11. （11新課標文）已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的,則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較16，一，-1大者的高的比值為1. 312. （08新課標理）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長為3,那么這個球的體積為 4

13、n83僅供個人用于學習、研究；不得用于商業用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquement d des fins personnelles; pas d des fins commerciales.t o Ji b k oJiiOAe 說， KOTOpbie Hcnojib3yiOTCflodyneHHA, HccjieAOBaHHH n He aojijkhbi HcnojibsoBaTbca b KOMMepnecKHx uejiax.僅供個人用于學習、研究；不得用于商業用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l &