1、精選優質文檔-傾情為你奉上平面向量題型歸納一向量有關概念：【任何時候寫向量時都要帶箭頭】1向量的概念：既有大小又有方向的量，記作：或。注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。例：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或長度），記作：或。3零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；4單位向量：單位向量：長度為1的向量。若是單位向量，則。(與共線的單位向量是)；5相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；6平行向量（也叫共線向

2、量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性！（因為有)； 三點共線共線；如圖，在平行四邊形中，下列結論中正確的是 （ ）A. B.C. D.7相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是、。例：下列命題：（1）若，則。（2）若，則。（6）若，則。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。其中正確的是_題型1、基本概念1：給出下列命題：若|，則=；向量可

3、以比較大小；方向不相同的兩個向量一定不平行；若=，=，則=；若/，/，則/；其中正確的序號是 。2、基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是。（5）若，則A、B、C、D四點構成平行四邊形。（6）因為向量就是有向線段，所以數軸是向量。（7）若與共線， 與共線，則與共線。（8）若，則。 （9）若，則。（10）若與不共線，則與都不是零向量。（11）若，則。 （12）若，則。二、向量加減運算8.三角形法則：；（指向被減數）9.平行四邊形法則： 以為臨邊的

4、平行四邊形的兩條對角線分別為，。題型2.向量的加減運算1、化簡 。2、已知,則的最大值和最小值分別為 、 。3、在平行四邊形中，若，則必有 ( ) A. B. C. 是矩形 D. 是正方形題型3.向量的數乘運算1、計算：（1） （2）題型4.作圖法求向量的和1、已知向量，如下圖，請做出向量和。 題型5.根據圖形由已知向量求未知向量1、 已知在中，是的中點，請用向量表示。2、 在平行四邊形中，已知，求。題型6.向量的坐標運算1、已知，則 。練習：若物體受三個力,則合力的坐標為 。2、已知，則點的坐標是 。3、.已知，求，。2、 已知,向量與相等，求的值。5、已知是坐標原點，且，求的坐標。3 平面

5、向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a=e1e2。基底：任意不共線的兩個向量稱為一組基底。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底1、已知是平面內的一組基底，判斷下列每組向量是否能構成一組基底：A. B. C. D.練習：下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）(A) (B) (C) (D) 2、.已知，能與構成基底的是（ ）A. B. C. D.3、知向量e1、e2不共線，實數(3x-4y)e1(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,則xy的值等于 4、設是兩個不共線的向量，若A、B、D三點共線，求k的值.5、平面直角坐標系

6、中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C(x, y)滿足=+，其中,R且+=1，則x, y所滿足的關系式為 （ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0四平面向量的數量積：1兩個向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當0時，同向，當時，反向，當時，垂直。實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當0時，注意：0。例1、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_例2、已知中，點在邊上，且，則的值是 2 平面

7、向量的數量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量。3向量的運算律：1交換律：，；2結合律：，；3分配律：，。題型8：有關向量數量積的判斷1：判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）若，則當且僅當時成立；（3）；（4）對任意向量都成立；（5）若，則；（6）對任意向量，有。 (7)m（）=m+m 其中正確的序號是 。2、下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_題型9、求單位向量 【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是 。2.與平行的單位向量是 題型10、

8、數量積與夾角公式：； 向量的模：若，則，1、ABC中，則_2、已知，與的夾角為，則等于_3、已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）。4、已知是兩個非零向量，且，則的夾角為_5、已知，求與的夾角。6、已知，求。 7、已知非零向量滿足，則的夾角為 8：已知中,則與的夾角為 9：已知向量與向量的夾角為120°，若向量=+，且，則的值為 10：已知|1|2，|2，則與2-的夾角余弦值為 11：已知向量=，=2，和的夾角為，當向量+與+的夾角為銳角時，求的取值范圍。題型11、求向量的模的問題 如向量的模：若，則，1、已知零向量 2、已知向量滿足 3、已知向量， 4、已知向量的最大

9、值為 5、設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外， (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 6、 設向量，滿足及，求的值練習：已知向量滿足求7、 設向量，滿足 8、已知向量、滿足，則|的最大值是 最小值是 。題型12、結合三角函數求向量坐標1. 已知是坐標原點，點在第二象限，求的坐標。2.已知是原點，點在第一象限，求的坐標。五、平行與垂直知識點：；題型13：向量共線問題1、已知平面向量，平面向量若，則實數 2、設向量若向量與向量共線，則 3、已知向量若平行，則實數的值是（ ）A-2B0C1D2練習：設，則k_時，A,B,C共線5、已知不共線，如果，那么k= ,與的方向關系是 練習：已

10、知，且，則x_6、已知向量，則 題型14、 向量的垂直問題1、已知向量，則實數的值為 2、已知向量 練習：已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4垂直，求實數k的值3、已知單位向量4、 練習： ，5、以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，則點B的坐標是_ 題型15、在上的投影為，它是一個實數，但不一定大于0。1、已知，且，則向量在向量上的投影為_2、已知，是單位向量，當它們之間的夾角為時，在方向上的投影為 。練習：已知，的夾角，則向量在向量上的投影為 題型16、三點共線問題1.已知，求證：三點共線。2.設，求證：三點共線。練習：已知，則一定共線的三點是 。3.已知，若

11、點在直線上，求的值。4.已知四個點的坐標，是否存在常數，使成立？5：是平面內不共線兩向量，已知，若 三點共線，則= 6：設O是直線外一定點，A、B、C在直線上，且,則= 7：設，是兩個不共線向量，若與起點相同，tR，t= 時，t，()三向量的終點在一條直線上。8：如圖，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn的值為_9:在OAB的邊OA，OB上分別取點M，N，使|13，|14，設線段AN與BM交于點P，記a，b，用a，b表示向量.練習：如圖，在OAB中，AD與BC交于點M，設a，b.(1)用a、b表示；(2)已知在線段AC上取一點E，在

12、線段BD上取一點F，使EF過M點，設p，q，求證：1.六、線段的定比分點：1定比分點的概念：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數 ，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；2的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段 PP上時>0；當P點在線段 PP的延長線上時<1；當P點在線段PP的延長線上時；例1、若點分所成的比為，則分所成的比為_3線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當1時，就得到線段PP的中點公式。題型17、定比分點2、若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標為_3、已知，直線與線段交于

13、，且，則等于七、平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數按向量平移與平常“左加右減”有何聯系？（2）向量平移具有坐標不變性，題型18、平移1、按向量把平移到，則按向量把點平移到點_2、函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則_八、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標為。如1、若ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標為_為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直

14、線過的內心(是的角平分線所在直線)；的內心；（3）若P分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；（4）向量中三終點共線存在實數使得且.如2、平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_題型19、判斷多邊形的形狀1.若，且,則四邊形的形狀是 。2.已知，證明四邊形是梯形。3.已知，求證：是直角三角形。4、在ABC中，若 ，則的形狀為 （ ） A等腰三角形 B等邊三角形C等腰直角三角形 D直角三角形5、在平面直角坐標系內，,求證：是等腰直角三角形。6、平面四邊形中，且，判斷四邊形的形狀題型20：三角形四心1、已知的三個頂點A、B、C及所在平面內的一點

15、P，若 則點P是DABC的 （ ）A 重心 B垂心 C內心 D外心 2. 已知點是三角形所在平面上一點，若,則是三角形的（ ）（A） 內心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心3、已知點是三角形所在平面上一點，若，則是三角形的（ ）（A） 內心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心練習、已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的（ ）（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內心4、在平面內有DABC和點O，若，則點O是DABC的 A 重心 B垂心 C內心 D外心 5、已知點是平面上一個定點，、是平面內不共線三點，動點滿足,，則動點一

16、定通過的（ ）（A）內心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心6、已知點是平面上一個定點，、是平面內不共線三點，動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心7、已知點是平面上一個定點，、是平面內不共線三點，動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心8、已知平面上一個定點，、是平面內不共線三點，動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心題型21.平面向量與三角函數結合題1、已知向量，設函數 求函數的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值練習：已知向 且（1）求函數的解析式；（2）當時，的最小值是，求此時函數的最大值，并求出相應的的值練習2、.已知向量 , ，且