1、.任意角的三角函數（第一課時）教學目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切函數的定義（包括定義域、正負符號判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數的定義. 2經歷從銳角三角函數定義過度到任意角三角函數定義的推廣過程，體驗三角函數概念的產生、發展過程. 領悟直角坐標系的工具功能，豐富數形結合的經驗. 3培養學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀. 4培養學生求真務實、實事求是的科學態度. 一、 重點、難點、關鍵重點：任意角的正弦、余弦、正切函數的定義、定義域、（正負）符號判斷法. 難點：把三角函數理解為以實數為自變量的函數. 關鍵：如何想到建立直角坐標系

2、；六個比值的確定性（ 確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著的變化而變化）. 二、 教學過程執教線索：回想再認：函數的概念、銳角三角函數定義（銳角三角形邊角關系）問題情境：能推廣到任意角嗎.它山之石：建立直角坐標系（為何.）優化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數探索發展：對任意角研究六個比值（與角之間的關系：確定性、依賴性，滿足函數定義嗎.）自主定義：任意角三角函數定義登高望遠：三角函數的要素分析（對應法則、定義域、值域與正負符號判定）例題與練習回顧小結布置作業 （一）復習引入、回想再認開門見山，面對全體學生提問： 在初中我們初步學習了銳角三角函數，前幾節課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了

3、角度制和弧度制，這節課該研究什么呢.探索任意角的三角函數（板書課題），請同學們回想，再明確一下：（情景1）什么叫函數.或者說函數是怎樣定義的.讓學生回想后再點名回答，投影顯示規范的定義，教師根據回答情況進行修正、強調：傳統定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數的定義域.現代定義：設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數 f（x）和它對應，那么就稱映射：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作：y= f（x），xA ，其

4、中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域. （情景2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數. 請回想：這三個三角函數分別是怎樣規定的.對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1）引伸鋪墊、創設情景（情景3）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎.試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發引導. 能推廣嗎.怎樣推廣.針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會

5、想到（否則教師進行提示）繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數. 教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！把銳角安裝（如何安裝.角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角終邊上任取一點P，作PMx軸于M，構造一個RtOMP，則 MOP=（銳角），設P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP=r.根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數比值：xOMP(x,y)ysin=，con=，tan= = = =（圖2）（情景4）各個比值與角之間有怎樣的關

6、系.比值是角的函數嗎.追問：銳角大小發生變化時，比值會改變嗎.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點O旋轉即在銳角范圍內變化，六個比值 隨之變化的直觀形象。結論是：比值隨的變化而變化. xOMPy（圖3）PM引導學生觀察圖3，聯系相似三角形知識，探索發現： 對于銳角的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 得出結論(強調)：當為銳角時，六個比值隨的變化而變化；但對于銳角的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 所以，六個比值分別是以角為自變量、以比值為函數值的函數. （三）分析歸納、自主

7、定義（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角嗎水到渠成，師生共同進行探索和推廣：對于一個任意角，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：終邊分別在四個象限的情形： 終邊分別在四個半軸上的情形：P(x,y)yxOyxP(x,y)O角終邊P(x,y)yxOP(x,y)yxO（圖4）P(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxO（圖5）；（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）怎樣刻畫任意角的三角函數呢.研究它的六個比值：（板書）設是一個任意角，在終邊上除原點外任意取一點P（x，y），P與原點O之間的距離記作r（r=0），列出六個比值：=k+/2時，x

8、=0，比值 y/x、r/x 無意義；= k時，y=0，比值x /y、r /y無意義.追問：大小發生變化時，比值會改變嗎.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點O逆時針、順時針旋轉即角變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結論是：各比值隨的變化而變化. 再引導學生利用相似三角形知識，探索發現： 對于任意角的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 綜上得到（強調）：當角變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角， 六個比值（如果存在的話）都不會隨P在角終邊上的改變而改變，六個比值是確定的(對應的多值性即誘導公式一留到下節課分

9、析). 因此，六個比值分別是以角為自變量、以比值為函數值的函數.根據歷史上的規定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：=sin（正弦） =cos（余弦） =tan（正切） =csc（余割） =sec（正弦） =cot（余切） 教師強調：sin表示sin與的乘積嗎.不是，sin是函數記號，是一個整體,相當于函數記號f（x）. 其它幾個三角函數也如此投影顯示圖六，指導學生分析其對應關系，進一步體會其函數內涵：yr正弦xr余弦yx正切ry余割rx正割xy余切（圖六）指導學生識記六個比值及函數名稱. 教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數統稱為三角函數，三角函數有

10、非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數的相關知識和方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）. 引導學生進一步分析理解：已知角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，對于每一個確定的實數，把它看成一個弧度數，就對應著唯一的一個角，從而分別對應著六個唯一的三角函數值. 因此，（板書）三角函數可以看成是以實數為自變量的函數，這將為以后的應用帶來很多方便. （四） 探索定義域（情景6）（1）函數概念的三要素是什么.函數三要素：對應法則、定義域、值域. 正弦函數sin的對應法則是什么.正弦函數sin的對應法則，實質上就是sin的定義：對的每一

11、個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即 y/r= sin.(2)布置任務情景：什么是三角函數的定義域.請求出六個三角函數的定義域，填寫下表：三角函數sincostancotcscsec定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關于sin=y/r、cos=x/r，對于任意角（弧度數），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數集R. 對于tan=y/x，= k+/2 時x=0，y/x無意義，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊

12、扣三角函數定義在理解的基礎上記熟，cot、csc、sec的定義域不要求記憶. （關于值域，到后面再學習）.（五）符號判斷、形象識記（情景7）能判斷三角函數值的正、負嗎.試試看！引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r0,三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：yxyxyx（同好得正、異號得負）sin= y/r：上正下負橫為0 cos=x/r：左負右正縱為0 tan=y/x：交叉正負練習鞏固、理解記憶1、 自學 例1：已知角的終邊經過點P（2，-3），求的六個三角函數值. 要求：讀完題目，思考：計算什么需要準備什么閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義.

13、 課堂練習：p19題1：已知角的終邊經過點P（-3，-1），求的六個三角函數值. 要求心算，并提問中下學生檢驗，- -點評：角終邊上有無窮多個點，根據三角函數的定義，只要知道終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數值（或判斷其無意義）. 補充例題：已知角的終邊經過點P（x，-3），cos=4/5，求的其它五個三角函數值. 師生探索：已知y=-3，要求其它五個三角函數值，須知r=.，x=.根據定義得=（方程思想）， x0，解得x=4，從而- -.解答略.2、 自學 例2：求下列各角的六個三角函數值：(1) 0；(2)/2 ；(3) 3/2.提問，據反饋信息作點評、修正. 師生探索：緊扣三角函數定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢.取定哪一點呢.任意點、還是特殊點.要靈活，只要能夠算出三角函數值，都可以。取特殊點能使計算更簡明。課堂練習：p19題2.（改編）填表：角（角度）090180270360角（弧度）sincostan處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義. 強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值. （六） 回顧小結、建構網絡要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢