1、精選優質文檔-傾情為你奉上第3講二項式定理知 識 梳 理1二項式定理二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二項展開式的通項公式Tr1Canrbr，它表示第r1項二項式系數二項展開式中各項的系數C，C，C2.二項式系數的性質(1)0kn時，C與C的關系是CC.(2)二項式系數先增后減中間項最大當n為偶數時，第1項的二項式系數最大，最大值為Cn；當n為奇數時，第項和項的二項式系數最大，最大值為Cn或Cn.(3)各二項式系數和：CCCC2n，CCCCCC2n1.辨 析 感 悟1二項式定理的理解(1)Canrbr是(ab)n的展開式中的第r項(×)(2)在(1x)9

2、的展開式中系數最大的項是第5項和第6項(×)(3)(教材習題改編)在6的二項展開式中，常數項為160.()2二項式系數的性質(4)(ab)n的展開式中某一項的二項式系數與a，b無關()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，則a7a6a1的值為128.(×)(6)(2013·安徽卷改編)若n的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，且x4的系數為7，則實數a.()感悟·提升1二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)揭示二項展開式的規律，一定牢記通項公式Tr1Canrbr是展開式的第r1項，不是第r項，如(1)2二項式系數與展

3、開式項的系數的異同一是在Tr1Canrbr中，C是該項的二項式系數，與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只與n和r有關，恒為正，后者還與a，b有關，可正可負，如(2)就是混淆兩個概念的區別二是二項式系數的最值與增減性與指數n的奇偶性有關，當n為偶數，中間一項的二項式系數最大，如(6)；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等，且同時取得最大值.考點一通項公式及其應用【例1】 (1)(2013·浙江卷)設二項式5的展開式中常數項為A，則A_.(2)(2013·新課標全國卷改編)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數為5，則a等于_解

4、析(1)Tr1C()5rrC(1)rx，令r0，得r3，AC10.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5，又(1x)5中含有x與x2的項為T2Cx，T3Cx2.展開式中x2的系數為Ca·C5，a1.答案(1)10(2)1規律方法 (1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且nr，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解【

5、訓練1】 (1)(2013·大綱全國卷改編)(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數是_(2)設二項式6(a>0)的展開式中x3的系數為A，常數項為B，若B4A，則a的值是_解析(1)(1x)8的通項為Cxk，(1y)4的通項為Cyt，(1x)8(1y)4的通項為CCxkyt，令k2，t2，得x2y2的系數為CC168.(2)6展開式的通項Tr1(a)rCx6r，A(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解之得a±2.又a>0，所以a2.答案(1)168(2)2學生用書第161頁考點二二項式系數的性質與各項系數和【例2】 (1)(201

6、4·青島模擬)設(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，則展開式中系數最大的項是_(2)若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則該展開式中的系數為_審題路線(1)先賦值求a0及各項系數和，進而求得n值，再運用二項式系數性質與通項公式求解(2)根據二項式系數性質，由CC，確定n的值，求出的系數解析(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，則(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展開式二項式系數最大項的系數最大，(1x)6的展開式系數最大項為T4Cx320x3.(2)由題意知，CC，n8.Tr1C·x8r

7、83;rC·x82r，當82r2時，r5，的系數為CC56.答案(1)20x3(2)56規律方法 (1)第(1)小題求解的關鍵在于賦值，求出a0與n的值；第(2)小題在求解過程中，常因把n的等量關系表示為CC，而求錯n的值(2)求解這類問題要注意：區別二項式系數與展開式中項的系數，靈活利用二項式系數的性質；根據題目特征，恰當賦值代換，常見的賦值方法是使得字母因式的值或目標式的值為1，1.【訓練2】 (1)二項式n的展開式中只有第6項的二項式系數最大，則展開式中常數項是_(2)若(12x)2014a0a1xa2x2a2014x2014(xR)，則的值為_解析(1)由二項式系數的性質，得

8、n10，Tr1C()10rr2rC·x5r，令5r0，則r2，從而T34C180.(2)令x0，得a0(10)20131.令x，則a00，1.答案(1)180(2)1考點三二項式定理的應用【例3】 (2012·湖北卷改編)設aZ，且0a<13，若512 012a能被13整除，則a_.解析512 012a(521)2 012aC·522 012C·522 011C×52·(1)2 011C·(1)2 012a，C·522 012C·522 011C×52·(1)2 011能被13整

9、除且512 012a能被13整除，C·(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.答案12規律方法 (1)本題求解的關鍵在于將512 012變形為(521)2 012，使得展開式中的每一項與除數13建立聯系(2)用二項式定理處理整除問題，通常把底數寫成除數(或與余數密切相關聯的數)與某數的和或差的形式，再用二項式定理展開，但要注意兩點：一是余數的范圍，acrb，其中余數b0，r)，r是除數，切記余數不能為負，二是二項式定理的逆用【訓練3】 190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余數是_解析190C902C(1)k90kC9010C(190)108910

10、(881)108810C889C881，前10項均能被88整除，余數是1.答案11二項展開式的通項Tk1Cankbk是展開式的第k1項，這是解決二項式定理有關問題的基礎在利用通項公式求指定項或指定項的系數要根據通項公式討論對k的限制2因為二項式定理中的字母可取任意數或式，所以在解題時根據題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數和的一種重要方法3二項式定理的應用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯系 創新突破9二項式的和與積問題【典例】 (2014·濟南質檢)5的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為_突破：展開式的常數項來源于：“x”中的x與

11、5展開式中含的項相乘；與5展開式中含x的項相乘解析在5中，令x1，得(1a)(21)51a2，a1.5展開式的通項Tr1C(2x)5rrC·25r(1)r·x52r.令52r1，得2r4，即r2，因此5展開式中x的系數為C252·(1)280.令52r1，得2r6，即r3，因此5展開式中的系數為C253·(1)340.5展開式中常數項為804040.答案40反思感悟 對于求多個二項式的和或積的展開式中某項的系數問題，要注意排列、組合知識的運用，還要注意有關指數的運算性質對于三項式問題，一般是通過合并其中的兩項或進行因式分解，轉化成二項式定理的形式去求解【

12、自主體驗】(12x)3(1x)4展開式中x項的系數為_解析(12x)3(1x)4展開式中的x項的系數為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數項，它為C(2x)0·C(x)1C(2x)1·C14(x)0，其系數為C·C(1)C·2462.答案2基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1(2014·西安調研)若(1)4ab(a，b為有理數)，則ab_.解析(1)41C·C·()2C()3()42816，由題設a28，b16，故ab44.答案442(2013·遼寧卷改編)使n

13、(nN*)的展開式中含有常數項的最小的n為_解析Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，當Tr1是常數項時，nr0，當r2，n5時成立答案53已知8展開式中常數項為1 120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是_解析由題意知C·(a)41 120，解得a±2，令x1，得展開式各項系數和為(1a)81或38.答案1或384已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若數列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一個單調遞增數列，則k的最大值是_解析由二項式定理知anC(n1,2,3，n)又(x1)10展開式中二項式系數最大項是第6項a6C，則k的最大值為6.答案6

14、5若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，則實數m的值為_解析令x0，得a0(10)61，令x1，得(1m)6a0a1a2a6，又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.答案1或36(2013·四川卷)二項式(xy)5的展開式中，含x2y3的項的系數是_(用數字作答)解析Tr1Cx5ryr(r0,1,2,3,4,5)，依題意，r3，含x2y3的系數為C10.答案107(ax)4的展開式中x3的系數等于8，則實數a_.解析(ax)4的展開式中的通項Tr1Ca4rxr，當r3時，有C·a8，所以a2.答案28設n的展開式的各項系數之和為M，二

15、項式系數之和為N，若MN240，則展開式中含x的項為_解析由已知條件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案150x二、解答題9已知二項式()n的展開式中各項的系數和為256.(1)求n；(2)求展開式中的常數項解(1)由題意得CCCC256，2n256，解得n8.(2)該二項展開式中的第r1項為Tr1C()8r·rC·x，令0，得r2，此時，常數項為T3C28.10若(2xx2)3的展開式中的常數項為a，求(3x21)dx.解31，(2xx2)3的展開式中的常數項為a2×11×(3)1&#

16、215;32.因此(3x21)dx(x3x)(x3x)6.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1(2013·陜西卷)設函數f(x)則當x>0時，ff(x)表達式的展開式中常數項為_解析當x>0時，f(x)<0，所以ff(x)f()6，Tr1Cx(6r)·(x)r(1)rCx3，由r30，得r3.所以ff(x)表達式的展開式中常數項為(1)3C20.答案202若將函數f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實數，則a3_.解析f(x)x5(1x1)5，它的通項為Tr1C(1x)r·

17、(1)5r，T4C·(1)2(1x)310(1x)3，a310.答案103若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.解析令x1，則a0a1a2a1236，令x1，則a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，則a01，a2a4a121364.答案364二、解答題4已知(a21)n展開式中的各項系數之和等于5的展開式的常數項，而(a21)n的展開式的系數最大的項等于54，求正數a的值解5展開式的通項為Tr1C5r·r5rCx，令205r0，得r4，故常數項T5C×16.又(a21)n展開式的各項系數之和為2n，由題意得2n16，n4.

18、(a21)4展開式中系數最大的項是中間項T3，從而C(a2)254，解得a.方法強化練計數原理(對應學生用書P359)(建議用時：60分鐘)一、填空題1A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有_解析可先排C，D，E三人，共A種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步乘法計數原理滿足條件的排法共A60種答案60種2(2014·重慶質檢)(13x)n(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n等于_解析(13x)n的展開式中含x5的項為C(3x)5C35x5，展開式中含x6的項為C36x6.由兩項的系數相等得C·

19、;35C·36，解得n7.答案73(2014·濟南調研)只用1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，則這樣的四位數有_解析由題意知，1,2,3中必有某一個數字重復使用2次，第一步確定誰被使用2次，有3種方法；第二步把這2個相等的數放在四位數不相鄰的兩個位置上，也有3種方法；第三步將余下的2個數放在四位數余下的2個位置上，有2種方法故共可組成3×3×218個不同的四位數答案18個4組合式C2C4C8C(2)nC的值等于_解析在(1x)nCCxCx2Cxn中，令x2，得原式(12)n(1)n.答案(1)n5若n的展

20、開式中第3項的二項式系數是15，則展開式中所有項系數之和為_解析由題意知C15，所以n6，則n6，令x1得所有項系數之和為6.答案6(2014·杭州檢測)甲、乙兩人計劃從A，B，C三個景點中各選擇兩個游玩，則兩人所選景點不全相同的選法共有_解析甲、乙各選兩個景點有CC9種方法，其中，入選景點完全相同的有3種滿足條件要求的選法共有936(種)答案6種7若(x1)8a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，則a6_.解析(x1)8(x1)28a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，a6C(2)24C112.答案1128(2014·長沙模擬)已知x，y滿足(xZ，yZ)

21、，每一對整數(x，y)對應平面上一個點，則過這些點中的其中3個點可作不同的圓的個數為_解析如圖所示，陰影中的整點部分為x，y滿足的區域，其中整數點(x，y)共有8個，從中任取3個有C56種取法其中三點共線的有1C11(種)故可作不同的圓的個數為45.答案459(2014·廣州調研)已知a2cosdx，則二項式5的展開式中x的系數為_解析a2cosdx2sin2，則55，Tr1Cx2(5r)r(2)rCx103r.令103r1，得r3.展開式中x的系數為(2)3C80.答案8010(2014·衡水中學模擬)用1,2,3,4,5,6組成六位數(沒有重復數字)，要求任何相鄰兩個數

22、字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是_解析先將3,5排列，有A種排法；再將4,6插空排列，有2A種排法；最后將1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C種排法由分步乘法計數原理知，共有A·2A·C40種答案4011.n的展開式中各項系數之和為729，則該展開式中二項式系數最大的項等于_解析依題意，令x1，有3n729，則n6，展開式第4項的二項式系數最大，則T4C(2x)33160x2.答案160x212(2014·鄭州調研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，而丙、丁兩種不能排在一起，不同的排法共有

23、_種解析甲、乙作為元素集團，內部有A種排法，“甲乙”元素集團與“戊”全排列有A種排法將丙、丁插在3個空檔中有A種方法由分步計數原理，共有AAA24種排法答案2413(2013·新課標全國卷)設m為正整數，(xy)2m展開式的二項式系數的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項式系數的最大值為b，若13a7b，則m_.解析由二項式系數的性質，得aC，bCC，又13a7b，因此13C7C，解得m6.答案614甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是_(用數字作答)解析當每個臺階上各站1人時有AC種站法，當兩個人站在同一個臺階上時有CCC種站法，因此不同的站法種數有ACCCC210126336(種)答案33615(2014·無錫質檢)(x22)5的展開式的常數項是_解析二項式5展開式的通項為：Tr1C5r·(1)rC·x2r10·(1)r.當2r102，即r4時，有x2·Cx2·(1)4C×(1)45；當2r100，即r5時，有2·Cx0·(1)52.展開式中的常數項為523.答案316將6位志愿者分成4個組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人分赴世博會的四個不同場館