1、2.2 最大值、最小值問題最大值、最小值問題 求極值的步驟：求極值的步驟： 1. 求導數求導數 ；)(xf 2. 解方程解方程 ；0)( xf 3. 對于方程對于方程 的每一個解的每一個解 ，分析，分析 在在 左右兩側的符號，確定極值點：左右兩側的符號，確定極值點： 在在 兩側若兩側若 的符號的符號)(xf 0)( xf0 x0 x)(xf 0 x （1） “左正右負左正右負”，則，則 為為極大值極大值點；點；0 x （2） “左負右正左負右正”，則，則 為為極小值極小值點；點；0 x （3）相同，則）相同，則 不是極值點；不是極值點；0 x復習回憶復習回憶 極值是函數的局部性質，而不是在整個

2、定義域內極值是函數的局部性質，而不是在整個定義域內的性質，即：如果的性質，即：如果 是是 的極大的極大( (小小) )值點，那值點，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大( (小小) )的值的值。 但是，解決實際問題或研究函數性質時，我們往但是，解決實際問題或研究函數性質時，我們往往更關心在某個區間上，函數的哪個值最大，哪個值往更關心在某個區間上，函數的哪個值最大，哪個值最小。最小。)(xfy 0 x)(0 xf0 x觀察下面區間a,b上函數y=f (x)的圖象，找出它的極大值點，極小值點？oxdhfcaebgy極大值點 ，ceg極小值點dhf你能說出函數的最大值點和最小值點嗎？最大值

3、點 ：a ，最小值點：d抽象概括：函數y=f(x)在區間a,b上的最大(小)值點 指的是：函數在這個區間上所有點的函數值都不超過(不小于) 。其中 叫函數在這個區間上的最大(小)值。 函數的最大值和最小值統稱為最值。 0 x)(0 xf)(0 xf問題1. 函數的最值與極值有什么區別?oxdhfcaebgy 1函數的最值是一個整體性概念，最大值必須函數的最值是一個整體性概念，最大值必須是整個區間上所有函數值中的最大者，最小值必須是整個區間上所有函數值中的最大者，最小值必須是整個區間上所有函數值中的最小者。是整個區間上所有函數值中的最小者。 2函數的最大值和最小值是比較整個定義區間函數的最大值和

4、最小值是比較整個定義區間的所有函數值得到的；極大值和極小值是比較極值的所有函數值得到的；極大值和極小值是比較極值點附近的函數值得出的。點附近的函數值得出的。 極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區間內取得，最值可以在端點取得。能在區間內取得，最值可以在端點取得。注意：注意：概括總結概括總結問題2.函數y=f (x)在區間a ,b內的最大值和最小值可能在什么地方取到?oxyab)(xfy最小值是f (b).單調函數的最大值和最小值容易被找到。函數y=f(x)在區間a,b上最大值是f (a),圖1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是f

5、(x3),圖2函數y=f (x)在區間a,b上最小值是f (x4).xyoa(b)0 x圖3一般地，如果在區間a,b上函數y=f (x)的圖象是一條連續不斷的曲線,最大最大(小小)值在極大值在極大(小小)值點或區間的值點或區間的端點處取得。端點處取得。結論：結論：怎樣求函數y=f (x)在區間a ,b內的最大值和最小值？只要把函數y=f (x)的所有極值連同端點的函數值進展比較即可。 例例1 求函數求函數 在區間在區間 上的上的最值。最值。52)(23xxxf2 , 2分析：分析： 最值是在極值點或者區間的端點取得的，所以最值是在極值點或者區間的端點取得的，所以要想求最值，應首先求出函數的極值

6、點，然后將所要想求最值，應首先求出函數的極值點，然后將所有的極大有的極大(小小)值與端點的函數值進展比較，其中最值與端點的函數值進展比較，其中最大大(小小)的值即為函數的最大的值即為函數的最大(小小)值。值。20+004+-解：解：求導得求導得xxxf43)(234, 021xx令令 ，得，得0)( xf5- -11 極大值極大值 極小值極小值xyo-234通過比較可知：通過比較可知：函數函數 在區間在區間 上的上的52)(23xxxf2 , 2最大值是最大值是 f (2)= 5 ；最小值是；最小值是 f (-2)= -11； 列表可知，列表可知， 是函數的極大值點，是函數的極大值點， 是是極

7、小值點，計算極值和端點的函數值得極小值點，計算極值和端點的函數值得0 x34x5)2(,11)2(,27103)34(, 5)0(ffff求最值的步驟：求最值的步驟：1求求 f (x)在在 (a，b) 內的極值；內的極值；2將將 f (x) 的各極值與的各極值與 f (a)，f (b) 進展比較，進展比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。概括總結概括總結 例例2 邊長為邊長為 48 cm 的正方形鐵皮，四角各截去一的正方形鐵皮，四角各截去一大小一樣的正方形后折起，可做成無蓋的長方體容大小一樣的正方形后折起，可做成無蓋的長方體容器，其容積器

8、，其容積 V 是關于截去小正方形邊長是關于截去小正方形邊長 x 的函數。的函數。 1隨隨 x 的變化，容積的變化，容積 V 如何變化？如何變化？ 2截去小正方形邊長為多少時，容積最大？截去小正方形邊長為多少時，容積最大？最大容積是多少？最大容積是多少？分析：分析： 解決實際應用問題，首先解決實際應用問題，首先要分析并列出函數關要分析并列出函數關系系，要注意根據實際意義寫出，要注意根據實際意義寫出定義域定義域,再求最值。再求最值。解：解：求導得求導得24, 0 xxxxfV2)248()(，2)248()248(4)(xxxxf)8)(24(12)48)(248(xxxx -6令令 ，得，得0)

9、( xf24, 821xx+ 0極大值極大值- vo248192x8分析可知，分析可知，x = 8 是極大值點，極大值為是極大值點，極大值為)(81928)1648()8(32cmVV= f (x)在在 上遞增，在上遞增，在 上遞減。上遞減。8 , 0()24, 8由表知：由表知：2由函數的單調性和圖像可知，由函數的單調性和圖像可知，x = 8時最大值點，時最大值點，此時此時38192cmV = f (8) = 即當截去小正方形邊長為即當截去小正方形邊長為 8 cm時，得到最大容時，得到最大容積為積為 。38192cm練習：練習：1. 求函數求函數 在區間在區間-3，3上的最值。上的最值。3( )12f xxx 2. 已知函數已知函數 ， （1）求）求f (x) 單調單調減區間；減區間； （2）若）若f (x) 在在-2，2上的最大值是上的最大值是20，求它在該，求它在該區間上的最小值。區間上的最小值。axxxy9323小結：小結： 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值點，則值點，則 不小不小 (大大)于于 在此區間上的所有函數值。在此區間上的所有函數值。)(xfy 0 x)(xfy ba,)(0 xf 函