1、測繪通報241998年第11期地形圖數字化坐標變換數學模型分析趙廣信常躍廣(撫順市勘察測繪院113008摘要】本文對地形圖數字化中坐標變換常用的兩種數學模型相似變換和仿射變換進行【了比較分析, 認為仿射變換優于相似變換。一、引言在傳統的白紙測圖中, 常遇到兩種坐標系統間的變換問題, 這種變換是利用兩種坐標系中重合點的坐標經相似變換實現的。坐標變換的精度將直接影響測圖精度。在地形圖數字化過程中, 也要進行類似的坐標變換, 即將數字化儀坐標變換為地形圖坐標, 這種變換與白紙測圖的坐標變換一樣, 變換的精度將直接關系到一幅圖數字化成果的精度。與白紙測圖中新舊坐標變換所不同的是, 地形圖數字化坐標變換

2、的目的除實現數字化儀坐標系與地形圖坐標系之間的變換外, 還要通過這種變換消除地形圖中規律性的形變誤差。故此, 在這種坐標變換中, 不但要求定向點的選擇要合適、數據采集精度要高, 而且還要求坐標變換的數學模型須與被數字化地形圖的客觀物理模型相適應, 否則將使這種轉變產生系統誤差, 進而影響數字化成果的質量。在國內流行的一些商業化GIS 軟件及電子平板軟件中, 均附有地圖數字化模塊, 但這些軟件所采用的坐標轉換數學模型卻不盡相同, 有的采用相似變換模型, 有的采用仿射變換模型。這是坐標變換中常用的兩種數學模型, 但它們所適應的客觀物理模型是有區別的。那么, 哪一種數學模型更好一些呢? 本文對這一問

3、題進行了分析。(i =0, 1, 2 為變換參數。仿射變換是基于仿射坐標系而建立的一種坐標變2換數學模型。所謂“仿射坐標系”, 與平面直角坐標系一樣, 有原點和過原點的兩條有向直線, 但與之不同的是, 仿射坐標系的兩條有向直線之間的夾角不一定是90°, 兩條有向直線上的長度單位也不要求相同, 更不要求為單位長。平面直角坐標系是平面仿射坐標系的特例。仿射變換是經過原點平移, 分別相對兩條坐標軸進行旋轉和在兩條坐標軸上分別進行尺度變換實現的, 其數學模型為1X =a 1x +a 2y +a 0Y =b 1y +b 2x +b 0(2式中, X 、Y 為地形圖坐標, x 、y 為數字化儀坐

4、標, a i 、b i (i =0, 1, 2 為變換參數。這種變換要求至少有3個定向點, 但地形圖上的坐標軸(即縱橫坐標線 不要求相互垂直, 在縱橫方向上的形變尺度因子無需相同。三、坐標變換分析由上述可知, 相似變換只適合于直角坐標系間的變換, 而仿射變換則不但可以用于直角坐標系間的變換, 而且還可用于仿射坐標系間的變換, 相似變換是仿射變換的特例。反之, 如果用相似變換來處理仿射坐標系間的坐標變換, 則將產生系統誤差。那么, 地形圖數字化中地形圖坐標與數字化儀坐標間的變換屬于何種坐標系間的變換呢?我們知道, 一臺合格的數字化儀, 它內部設置的坐標系一定是平面直角坐標系, 但是, 一幅要數字

5、化的具體地形圖的客觀實際坐標系就不一定是平面直角坐標系了。只有在地形圖的縱橫坐標線及對角線等數學精度在規定的限差之內, 或地形圖在各方向的形變是均勻的條件下, 其坐標系才能屬于平面直角坐標系。事實上, 被數字化的地形圖, 尤其是繪制時間較長了的地形圖, 不, 二、坐標變換概述由數學理論知, 所謂相似變換, 是基于笛卡爾直角坐標系而建立起來的一種坐標變換數學模型, 它要求坐標系的坐標軸要相互垂直, 且坐標軸上的長度單位要一致。這種變換是經坐標系的平移、旋轉和尺度變化來實現的, 它要求至少有兩個定向點, 并用下列方程求得變換參數1:X =a 1x +a 2y +a 0Y =a 1y -a 2x +

6、b 0(1式X , x , i1998年第11期測繪通報25的形變因子不同、在對角線方向上產生了形變等情況下, 圖上的實際坐標系就不能視為理論上的平面直角坐標系了, 而是變成了仿射坐標系。在這種情況下, 只有采用仿射變換, 才能消除這種規律性形變誤差, 若在數字化時對這種地圖采用相似變換, 則必然產生系統誤差。由于仿射變換包含了相似變換(當(2 式中的a 1=b 1, a 2=b 2時 , 所以, 仿射變換較相似變換所適應的物理模形條件更為廣泛。故此, 地形圖數字化坐標變換, 應用仿射變換要優于相似變換。誤差小的優于誤差大的。一幅圖中有36個采集點, 求其中誤差, 并將兩個不同的中誤差進行比較

7、, 即可反映出兩種坐標轉換模型在一幅圖中坐標轉換精度的優劣。實驗結果表明, 對于數學精度較高的圖幅, 兩種轉換結果的精度無明顯差別, 而在數學精度較差的圖幅中, 則仿射變換的精度高于相似變換, 且圖幅的變形越大, 這種精度差別越明顯。這也證明我們的理論分析結論是符合實際的。現選出3幅有代表性圖幅的實驗結果列于表1。表1實驗結果/mm圖號AB圖廓線長度BCC DDE對角線長度ACDB變換精度相似仿射0. 140. 140. 13四、實際驗證為驗證以上分析結果, 我們在30幅不同時期測繪的聚脂薄膜地形圖上進行了數字化實驗。所用數字化儀為Housto n Instrument HI-9236A 型。

8、首先在A uto CA D 軟件環境下, 用2個圖廓點及當時得到的數字化坐標值進行定向, 之后再對36個格網點進行坐標數據采集, 并作記錄, 這樣得到的數據就是格網點的數字化儀坐標值。最后從每幅圖中取5個點(4個圖廓 點, 1個為圖幅中間的方里網點 , 以相應點的數字化儀坐標值及其所在圖幅格網理論坐標值, 分別利用模型(1 和模型(2 經最小二乘平差求得該圖幅相似變換和仿射變換的兩套坐標轉換參數, 再用(1 、(2 兩式及數字化儀坐標值分別求得所在圖幅中36個格網點的地形圖坐標。這樣, 每一個被數字化的格網點就有3種地形圖坐標值:理論坐標值、用相似變換求得的坐標值和用仿射變換求得的坐標值。將格

9、網點理論值作為其真值, 分別與另外兩種坐標值比較可得2個誤差值, 該誤差值中既包含坐標轉換所產生的誤差, 也包括其他誤差, 如數字化采集對點誤差等, 但就同一個點而言, 其他誤差是相同的, 所以, 2個誤差值的差別即代表了兩種坐標轉換數學模型的差別, (上接第20頁81夏青. 實時戰場環境仿真系統中三維地形模型簡化的研究. 解放軍測繪學院學報, 1997(282陳剛. 一種符合視覺規律的基于地圖數據庫的虛擬地景仿真. 測繪學報, 1997(383宋國民等. 分布交互式作戰指揮訓練模擬系統與軍事測繪保障. 解放軍測繪學院學報, 1997(4 84方炳炎等. 關于地圖學發展問題的思考. 地圖, 1

10、996(385王家耀(執筆. 地圖學與地理信息系統的現狀與趨勢. 測繪通報, 1997(6499. 8499. 9499. 9500. 1707. 1706. 90. 14500. 5500. 4500. 4500. 4707. 7707. 70. 16499. 8499. 9499. 9500. 1708. 5705. 50. 72注:A 、B 、C 、D 為圖廓四角編號五、結束語通過本文的分析可知, 在地形圖數字化的坐標系變換中, 仿射變換優于相似變換, 對于與此有關的商業軟件, 應提供用戶在相似變換和仿射變換兩者間選擇的條件。用戶自己在開發地形圖數字化坐標轉換處理軟件時, 應采用仿射變換數學模型。參考文獻1楊啟和等. 數字化地形圖數據處理方法分析. 測繪通報, 1995(22南開大學數學系. 空間解析幾何引論(上冊 . 北京:人民教育出版社, 19783汪來福. 圖紙數字化程序的設計. 工程勘察, 1998(186陳述彭等. 地理信息系統的基礎研究地球信息科學. 地球信息, 1997(387承繼成. 地球信息科學基礎理論綱要. 地