1、湖州市弘大培訓學校 圓與方程 1. 圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是. 特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.2. 點與圓的位置關系： (1). 設點到圓心的距離為d，圓半徑為r： a.點在圓內 dr； b.點在圓上 d=r； c.點在圓外 dr (2). 給定點及圓. 在圓內 在圓上 在圓外（3）涉及最值：1 圓外一點，圓上一動點，討論的最值2 圓內一點，圓上一動點，討論的最值 思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）3. 圓的一般方程： .(1) 當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.(2) 當時，方程表示一個點.(3) 當時，方程不表示任何圖形.注：方程表示圓的充要條件

2、是：且且.4. 直線與圓的位置關系： 直線與圓 圓心到直線的距離1）；2）；3）；弦長|AB|=2還可以利用直線方程與圓的方程聯立方程組求解，通過解的個數來判斷：（1）當時，直線與圓有2個交點，直線與圓相交；（2）當時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切；（3）當時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離；5. 兩圓的位置關系（1）設兩圓與圓， 圓心距1 ；2 ；3 ；4 ；5 ； 外離 外切 相交 內切 （2）兩圓公共弦所在直線方程圓：， 圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：1 若與相切，則表示其中一條公切線方程；2 若與相離，則表示連心線的中垂線方程.（3）圓系問題過兩圓：和：交點的圓系方程為

3、（）補充：1 上述圓系不包括；2 2）當時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）3 過直線與圓交點的圓系方程為6. 過一點作圓的切線的方程：(1) 過圓外一點的切線：k不存在，驗證是否成立k存在，設點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，即求解k，得到切線方程【一定兩解】例1. 經過點P(1，2)點作圓(x+1)2+(y2)2=4的切線，則切線方程為 。(2) 過圓上一點的切線方程：圓(xa)2+(yb)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特別地，過圓上一點的切線方程為.例2.經過點P(4，8)點作圓(x+7)2+(y+8)2=9

4、的切線，則切線方程為 。7切點弦(1)過C：外一點作C的兩條切線，切點分別為，則切點弦所在直線方程為：8. 切線長：若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，則過圓外一點P(x0,y0)的切線長為 d=9. 圓心的三個重要幾何性質：1 圓心在過切點且與切線垂直的直線上；2 圓心在某一條弦的中垂線上；3 兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。10. 兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例.已知圓C1：x2 +y2 2x =0和圓C2：x2 +y2 +4 y=0，試判斷圓和位置關系，若相交，則設其交點為A、B，試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長。一、求圓的方程例1 (06重

5、慶卷文) 以點為圓心且與直線相切的圓的方程為( )(A) (B)(C) (D)二、位置關系問題例2 (06安徽卷文) 直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是( )(A) (B)(C) (D)三、切線問題例3 (06重慶卷理) 過坐標原點且與圓相切的直線方程為( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或四、弦長問題例4 (06天津卷理) 設直線與圓相交于兩點，且弦的長為，則 .五、夾角問題例5 (06全國卷一文) 從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為( )(A) (B) (C) (D) 0六、圓心角問題例6 (06全國卷二) 過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜

6、率 .七、最值問題例7 (06湖南卷文) 圓上的點到直線 的最大距離與最小距離的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)八、綜合問題例8 (06湖南卷理) 若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率k取值范圍_圓的方程1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A.1<t< B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22. 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程.3.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲線關于x+

7、y=0成軸對稱圖形，則（ ）A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=04.（2004年全國，8）在坐標平面內，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條5. （2005年黃岡市調研題）圓x2+y2+x6y+3=0上兩點P、Q關于直線kxy+4=0對稱，則k=_.6.（2004年全國卷，16）設P為圓x2+y2=1上的動點，則點P到直線3x4y10=0的 距離的最小值為_.7.已知實數x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.經過兩已知圓的交點的圓系例1 求經過兩已知圓：和的交點且圓心的橫坐標為3的圓的方程。例2 設圓方程為： 其中4 求證： 不論為何值，所給圓必經過兩個定點。 直線與圓的位置關系例1：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程；(1) 經過點，(2)經過點，(3)斜率為直線和圓1 自點（3，3）發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線